I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
I
2
1
4
1
3
3
2
+20°C
+20°C
+20°C
-20°C
-20°C
-20°C
t
m
=+15°C
Rys.1.60. Układ statycznie niewyznaczalny poddany działaniu temperatury
SGN =
∑
∑
∑
∑
∑
=
∑
=
SGN =
Metoda przemieszczeń
AlmaMater
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
I
2
1
4
1
3
3
2
+20°C
+20°C
+20°C
-20°C
-20°C
-20°C
t
m
=+15°C
Rys.1.60. Układ statycznie niewyznaczalny poddany działaniu temperatury
SGN =
∑
∑
∑
∑
∑
=
∑
=
SGN =
Metoda przemieszczeń
AlmaMater
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
I
2
1
4
1
3
3
2
+20°C
+20°C
+20°C
-20°C
-20°C
-20°C
t
m
=+15°C
u
3
=z
1
R
1
u
6
=z
2
φ
4
=z
3
1
0
3
4
6
2
5
R
3
R
2
Rys.1.61.Układ podstawowy poddany działaniu temperatury
numer pręta
moment bezwładności
I[cm
4
]
wysokość przekroju
h [m]
|∆t|
[˚C]
t
0
[˚C]
Tab.1 Zestawienie charakterystyk prętów
{
R
1
=
R
2
=
R
3
=
}
{
r
1
1
z
1
r
1
2
z
2
r
1
3
z
3
R
1
t
=
r
2
1
z
1
r
2
2
z
2
r
2
3
z
3
R
2
t
=
r
3
1
z
1
r
3
2
z
2
r
3
3
z
3
R
3
t
=
}
R
it
Metoda przemieszczeń
AlmaMater
M
ik
=M
ik
t
M
ik
t
0
(1.48)
Wartości momentów zginających powstałych w wyniku ogrzania nierównomiernego wyznaczam
wg odpowiednich wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń. Otrzymuję:
M
01
t
=−
3
2
⋅EI
1
⋅
t
⋅
t
h
=−1,5 ⋅6273 ⋅1,2 ⋅10
−5
⋅
40
0,22
=−20,52982
M
10
t
=0
M
12
t
=M
21
t
=0
M
23
t
=M
32
t
=0
M
34
t
=0
M
43
t
=
3
2
⋅EI
1
⋅
t
⋅
t
h
=1,5 ⋅6273 ⋅1,2 ⋅10
−5
⋅
40
0,22
=20,52982
M
14
t
=M
41
t
=0
M
45
t
=M
54
t
=0
M
64
t
=0
M
46
t
=−
3
2
⋅EI
2
⋅
t
⋅
t
h
=−1,5 ⋅6273⋅1,389 ⋅1,2 ⋅10
−5
⋅
40
0,24
=−36,13959
[kNm]
(1.49)
Wartości momentów zginających powstałych w wyniku ogrzania równomiernego wyznaczam wg wzorów
transformacyjnych metody przemieszczeń pamiętając, Ŝe φ
i
to
=0. Otrzymuję:
M
01
t
0
=
3 EI
5
⋅−
01
t
0
M
10
t
0
=0
M
12
t
0
=M
21
t
0
=0
M
23
t
0
=M
32
t
0
=0
M
34
t
0
=0
M
43
t
0
=
3 EI
3
⋅−
34
t
0
M
14
t
0
=0
M
41
t
0
=
3⋅1,389 EI
4
⋅−
14
t
0
M
45
t
0
=M
54
t
0
=
2 EI
5
⋅−3
45
t
0
M
64
t
=0
M
46
t
=
3⋅1,389 EI
4
⋅−
46
t
0
[kNm]
(1.50)
Na skutek ogrzania równomiernego długości prętów ulegają zmianie, co powoduje obrót prętów. Wartości
kątów
ik
t
0
określam z równań łańcucha kinematycznego w układzie podstawowym:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
I
2
1
4
1
3
3
2
t
0
=-15°C
1
0
3
4
6
2
5
t
0
=-15°C
t
0
=-15°C
t
0
=-15°C
t
0
=-15°C
t
0
=+5°C
t
0
=+5°C
Rys.1.62. Łańcuch kinematyczny dla ramy poddanej ogrzaniu równomiernemu
Rozpisuję równanie łańcucha kinematycznego dla podanych niŜej dróg:
645
0 2
45
t
0
4 1,2 10
−
5
15 1 1,2 10
−
5
5 0
45
t
0
3,9 10
−
4
645
0
45
t
0
4
46
t
0
2 1,2 10
−
5
5 0
46
t
0
1,275 10
−
4
346
0 3
34
t
0
4 1,2 10
−
5
15 0
34
t
0
2,4 10
−
4
0146
0 2
01
t
0
1 1,2 10
−
5
15 4 1,2 10
−
5
5 4 1,2 10
−
5
15 0
01
t
0
3,3 10
−
4
0146
01
t
0
4
14
t
0
4
46
t
0
2 1,2 10
−
5
15 0
14
t
0
3 10
−
4
[rad]
(1.51)
Stąd wartości przęsłowych momentów przywęzłowych powstałych w wyniku ogrzania równomiernego
wynoszą:
M
01
t
0
2,77732
M
10
t
0
0
M
12
t
0
M
21
t
0
0
M
23
t
0
M
32
t
0
0
M
34
t
0
0
M
43
t
0
1,50552
M
14
t
0
0
M
41
t
0
1,96047
M
45
t
0
M
54
t
0
6,56457
M
64
t
0
0
M
46
t
0
0,83320
[kNm]
(1.52)
Wartości momentów od ogrzania równomiernego i nierównomiernego zgodnie z zasadą superpozycji (patrz
wzór 1.48.):
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
M
01
t
=−23,30714
M
10
t
=0
M
12
t
=M
21
t
=0
M
23
t
=M
32
t
=0
M
34
t
=0
M
43
t
=22,03534
M
14
t
=0
M
41
t
=1,96047
M
45
t
=M
54
t
=−6,56457
M
64
t
=0
M
46
t
=−26,97279
[kNm]
(1.53)
Wykres momentów przyjmie więc postać:
R
1∆
R
3∆
R
2∆
1,96047
1,96047
6,56457
23,30714
22,03534
-6,56457
-26,97279
-6,56457
22,03534
-23,30714
6,56457
26,97279
Rys.1.63. Stan t - wpływ ogrzania równomiernego i nierównomiernego M
t
[kNm]
Określenie współczynnika
R
3 t
z równowagi węzła 4:
R
3 t
=22,035341,96047−6,56457−26,97279=−9,54155 [kNm]
Rys.1.64. - Równowaga węzła 4 w stanie t
Wartości współczynników
R
1 t
, R
2 t
określam korzystając jak w poprzedniej części zadania z zasady pracy
wirtualnej przy wirtualnym stanie przemieszczeń (patrz rysunek 1.21 oraz 1.22).
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
R
3∆
1,96047
-6,56457
-26,97279
22,03534
Dla wirtualnego stanu I -
z
1
1
obliczając pracę sił w stanie t na przemieszczeniach wirtualnych jak na
rysunku 1.21 otrzymujemy:
R
1 t
1 22,03534
1
3
0
R
1 t
7,34511 kN
(1.54)
Dla wirtualnego stanu II -
z
2
1
obliczając pracę sił w stanie t na przemieszczeniach wirtualnych jak na
rysunku 1.22 otrzymujemy:
R
2 t
1 23,30714
1
2
1,96047
1
4
22,03534
1
3
26,97279
1
8
2
6,56457
1
2
0
R
2 t
29,42497 kN
(1.55)
Uwzględniając powyŜsze wartości współczynników r
ik
układ równań kanonicznych 1.47. przyjmie postać:
EI
9
z
1
EI
9
z
2
EI
3
z
3
7,34511 0
EI
9
z
1
1,87 EI z
2
0,879 EI z
3
29,42497 0
EI
3
z
1
0,879 EI z
2
4,873 EI z
3
9,54155 0
(1.56)
Rozwiązanie powyŜszego układu jest następujące:
EI z
1
73,42319
EI z
2
8,84418
EI z
3
5,38713
(1.57)
Ostateczne wartości momentów zginających w ramie statycznie niewyznaczalnej poddanej działaniu
temperatury jest superpozycją stanów z
1
, z
2
, z
3
, t:
M
ik
n
M
1
0
z
1
M
2
0
z
2
M
3
0
z
3
M
ik
t
(1.58)
M
01
3 EI
5
z
2
2
23,30714
17,374
M
10
M
12
M
21
M
14
0
M
41
4,167 EI
4
z
3
z
2
4
1,96047 5,269
M
23
M
32
0
M
34
0
M
43
EI z
3
z
1
3
z
2
3
22,03534 0
M
45
2 EI
5
2 z
3
3
2
z
2
6,56457 14,938
M
54
2 EI
5
z
3
3
2
z
2
6,56457 10,120
M
64
0
M
46
4,167 EI
4
z
3
z
2
8
26,97279
20,209
[kNm]
(1.59)
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
5,269
14,938
17,374
10,120
20,209
Rys.1.65. Momenty zginające w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym działaniu temperatury M
(n)
[kNm]
Wstępną poprawność wyników wykazuję poprzez sprawdzenie równowagi węzła 4:
5,269
14,938
20,209
Rys.1.66. Równowaga węzła 4
∑
M =20,209−5,269−14,938=0,002 ≈0 [ kNm]
(1.60)
Mając określone wartości momentów zginających na kaŜdym pręcie układu mogę obliczyć wartości sił
tnących w tych prętach :
T
10
=T
01
=7,770 [kN ]
Rys.1.67. Pręt 01
T
12
=T
21
=0 [kN ]
T
34
=T
43
=0 [kN ]
T
23
=T
32
=0 [kN ]
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
1
0
N
01
N
10
T
10
T
01
17,374
T
41
=T
14
=−1,317 [kN ]
Rys.1.68. Pręt 14
T
54
=T
45
=−11,206 [kN ]
Rys.1.69. Pręt 45
T
64
=T
46
=5,052 [kN ]
Rys.1.70. Pręt 46
Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:
5,052
7,770
11,206
1,317
+
-
+
-
Rys.1.71. Siły tnące w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym działaniu temperatury T
(n)
[kN]
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
1
4
N
14
N
41
T
41
T
14
5,269
N
54
N
45
T
54
T
45
14,938
4
5
10,120
4
6
N
46
N
64
T
64
T
46
20,209
Wyznaczając wartości sił normalnych występujących w zadanej ramie korzystam z równowagi węzłów.
N
21
2
3
N
34
N
23
N
32
Rys.1.72. Równowaga węzłów 2 i 3
Z równowagi węzła 2:
N
12
=N
21
=0 [kN ]
N
23
=N
32
=0 [kN ]
(1.61)
Z równowagi węzła 3:
N
34
=N
43
=0 [kN ]
(1.62)
N
14
=N
41
1,317
7,770
N
01
=N
10
α
α
1
Rys.1.73.Równowaga węzła 1
Dane:
sin =
5
5
; cos =
2
5
5
Z równowagi węzła 1:
∑
Y =0 :−N
01
cos 7,77 sin 1,317=0 ⇒ N
01
=N
10
=5,357 [kN ]
∑
X =0 : N
14
=7,77 cos N
01
sin ⇒ N
14
=N
41
=9,345 [kN ]
(1.63)
Dla pręta 46 otrzymujemy:
N
46
=N
64
=0 [kN ]
(1.64)
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
9,345
1,317
5,052
N
45
=N
54
α
α
11,206
N
46
=N
64
=0
4
Rys.1.74.Równowaga węzła 4
Dane:
sin
5
5
; cos
2 5
5
Z równowagi węzła 4:
Y
0 : 1,317 11,206 sin
N
45
cos
5,052 0
N
45
N
54
1,518 kN
(1.65)
Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:
-
+
5,357
+
3,345
1,518
Rys.1.75. Siły normalne w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym działaniu temperatury N
(n)
[kN]
Aby sprawdzić poprawność uzyskanych wyników dokonuję kontroli statycznej:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
Rys.1.76. Kontrola statyczna-siły działające na zadany układ
∑
X =0 :−7,77 cos −5,357 sin −1,518 sin 11,206 cos =−0,001 ≈0 [ kN ]
∑
Y =0 : 7,77 sin −5,357 cos 1,518 cos 11,206 sin −5,052=0,001 ≈0 [ kN ]
∑
M
o
=0 : 7,77
45−17,37410,120−11,206
455,052 ⋅6 =0,009 ≈0 [ kNm]
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
7,770
5,357
α
α
5,052
1,518
α
α
11,206
17,374
10,120
o