I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

I

2

1

4

1

3

3

2

+20°C

+20°C

+20°C

-20°C

-20°C

-20°C

t

m

=+15°C

Rys.1.60. Układ statycznie niewyznaczalny poddany działaniu temperatury

SGN =

∑



∑



∑



∑



∑

=

∑

=

SGN =

Metoda przemieszczeń

AlmaMater

I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

I

2

1

4

1

3

3

2

+20°C

+20°C

+20°C

-20°C

-20°C

-20°C

t

m

=+15°C

u

3

=z

1

R

1

u

6

=z

2

φ

4

=z

3

1

0

3

4

6

2

5

R

3

R

2

Rys.1.61.Układ podstawowy poddany działaniu temperatury

numer pręta

moment bezwładności

I[cm

4

]

wysokość przekroju

h [m]

|∆t|

[˚C]

t

0

[˚C]

Tab.1 Zestawienie charakterystyk prętów

{

R

1

=

R

2

=

R

3

=

}

{

r

1

1

z

1

r

1

2

z

2

r

1

3

z

3

R

1

t

=

r

2

1

z

1

r

2

2

z

2

r

2

3

z

3

R

2

t

=

r

3

1

z

1

r

3

2

z

2

r

3

3

z

3

R

3

t

=

}

R

it

Metoda przemieszczeń

AlmaMater

M

ik

=M

ik

 t

M

ik

t

0

(1.48)

Wartości momentów zginających powstałych w wyniku ogrzania nierównomiernego wyznaczam
wg odpowiednich wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń. Otrzymuję:

M

01

 t

=−

3
2

⋅EI

1

⋅

t

⋅

 t

h

=−1,5 ⋅6273 ⋅1,2 ⋅10

−5

⋅

40

0,22

=−20,52982

M

10

 t

=0

M

12

 t

=M

21

 t

=0

M

23

 t

=M

32

 t

=0

M

34

 t

=0

M

43

 t

=

3
2

⋅EI

1

⋅

t

⋅

 t

h

=1,5 ⋅6273 ⋅1,2 ⋅10

−5

⋅

40

0,22

=20,52982

M

14

 t

=M

41

 t

=0

M

45

 t

=M

54

 t

=0

M

64

 t

=0

M

46

 t

=−

3
2

⋅EI

2

⋅

t

⋅

 t

h

=−1,5 ⋅6273⋅1,389 ⋅1,2 ⋅10

−5

⋅

40

0,24

=−36,13959

[kNm]

(1.49)

Wartości momentów zginających powstałych w wyniku ogrzania równomiernego wyznaczam wg wzorów
transformacyjnych metody przemieszczeń pamiętając, że φ

i

to

=0. Otrzymuję:

M

01

t

0

=

3 EI



5

⋅−

01

t

0



M

10

t

0

=0

M

12

t

0

=M

21

t

0

=0

M

23

t

0

=M

32

t

0

=0

M

34

t

0

=0

M

43

t

0

=

3 EI

3

⋅−

34

t

0



M

14

t

0

=0

M

41

t

0

=

3⋅1,389 EI

4

⋅−

14

t

0



M

45

t

0

=M

54

t

0

=

2 EI



5

⋅−3 

45

t

0



M

64

 t

=0

M

46

 t

=

3⋅1,389 EI

4

⋅−

46

t

0



[kNm]

(1.50)

Na skutek ogrzania równomiernego długości prętów ulegają zmianie, co powoduje obrót prętów. Wartości
kątów



ik

t

0

określam z równań łańcucha kinematycznego w układzie podstawowym:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

I

2

1

4

1

3

3

2

t

0

=-15°C

1

0

3

4

6

2

5

t

0

=-15°C

t

0

=-15°C

t

0

=-15°C

t

0

=-15°C

t

0

=+5°C

t

0

=+5°C

Rys.1.62. Łańcuch kinematyczny dla ramy poddanej ogrzaniu równomiernemu

Rozpisuję równanie łańcucha kinematycznego dla podanych niżej dróg:

645

0 2

45

t

0

4 1,2 10

−

5

15 1 1,2 10

−

5

5 0

45

t

0

3,9 10

−

4

645

0

45

t

0

4

46

t

0

2 1,2 10

−

5

5 0

46

t

0

1,275 10

−

4

346

0 3

34

t

0

4 1,2 10

−

5

15 0

34

t

0

2,4 10

−

4

0146

0 2

01

t

0

1 1,2 10

−

5

15 4 1,2 10

−

5

5 4 1,2 10

−

5

15 0

01

t

0

3,3 10

−

4

0146

01

t

0

4

14

t

0

4

46

t

0

2 1,2 10

−

5

15 0

14

t

0

3 10

−

4

[rad]

(1.51)

Stąd wartości przęsłowych momentów przywęzłowych powstałych w wyniku ogrzania równomiernego
wynoszą:

M

01

t

0

2,77732

M

10

t

0

0

M

12

t

0

M

21

t

0

0

M

23

t

0

M

32

t

0

0

M

34

t

0

0

M

43

t

0

1,50552

M

14

t

0

0

M

41

t

0

1,96047

M

45

t

0

M

54

t

0

6,56457

M

64

t

0

0

M

46

t

0

0,83320

[kNm]

(1.52)

Wartości momentów od ogrzania równomiernego i nierównomiernego zgodnie z zasadą superpozycji (patrz
wzór 1.48.):

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

M

01

t

=−23,30714

M

10

t

=0

M

12

t

=M

21

t

=0

M

23

t

=M

32

t

=0

M

34

t

=0

M

43

t

=22,03534

M

14

t

=0

M

41

t

=1,96047

M

45

t

=M

54

t

=−6,56457

M

64

t

=0

M

46

t

=−26,97279

[kNm]

(1.53)

Wykres momentów przyjmie więc postać:

R

1∆

R

3∆

R

2∆

1,96047

1,96047

6,56457

23,30714

22,03534

-6,56457

-26,97279

-6,56457

22,03534

-23,30714

6,56457

26,97279

Rys.1.63. Stan t - wpływ ogrzania równomiernego i nierównomiernego M

t

[kNm]

Określenie współczynnika

R

3 t

z równowagi węzła 4:

R

3 t

=22,035341,96047−6,56457−26,97279=−9,54155 [kNm]

Rys.1.64. - Równowaga węzła 4 w stanie t

Wartości współczynników

R

1 t

, R

2 t

określam korzystając jak w poprzedniej części zadania z zasady pracy

wirtualnej przy wirtualnym stanie przemieszczeń (patrz rysunek 1.21 oraz 1.22).

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

R

3∆

1,96047

-6,56457

-26,97279

22,03534

Dla wirtualnego stanu I -

z

1

1

obliczając pracę sił w stanie t na przemieszczeniach wirtualnych jak na

rysunku 1.21 otrzymujemy:

R

1 t

1 22,03534

1
3

0

R

1 t

7,34511 kN

(1.54)

Dla wirtualnego stanu II -

z

2

1

obliczając pracę sił w stanie t na przemieszczeniach wirtualnych jak na

rysunku 1.22 otrzymujemy:

R

2 t

1 23,30714

1
2

1,96047

1

4

22,03534

1

3

26,97279

1
8

2

6,56457

1
2

0

R

2 t

29,42497 kN

(1.55)

Uwzględniając powyższe wartości współczynników r

ik

układ równań kanonicznych 1.47. przyjmie postać:

EI

9

z

1

EI

9

z

2

EI

3

z

3

7,34511 0

EI

9

z

1

1,87 EI z

2

0,879 EI z

3

29,42497 0

EI

3

z

1

0,879 EI z

2

4,873 EI z

3

9,54155 0

(1.56)

Rozwiązanie powyższego układu jest następujące:

EI z

1

73,42319

EI z

2

8,84418

EI z

3

5,38713

(1.57)

Ostateczne wartości momentów zginających w ramie statycznie niewyznaczalnej poddanej działaniu
temperatury jest superpozycją stanów z

1

, z

2

, z

3

, t:

M

ik



n



M

1



0



z

1

M

2



0



z

2

M

3



0



z

3

M

ik

t

(1.58)

M

01

3 EI

5

z

2

2

23,30714

17,374

M

10

M

12

M

21

M

14

0

M

41

4,167 EI

4

z

3

z

2

4

1,96047 5,269

M

23

M

32

0

M

34

0

M

43

EI z

3

z

1

3

z

2

3

22,03534 0

M

45

2 EI

5

2 z

3

3
2

z

2

6,56457 14,938

M

54

2 EI

5

z

3

3
2

z

2

6,56457 10,120

M

64

0

M

46

4,167 EI

4

z

3

z

2

8

26,97279

20,209

[kNm]

(1.59)

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

5,269

14,938

17,374

10,120

20,209

Rys.1.65. Momenty zginające w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym działaniu temperatury M

(n)

[kNm]

Wstępną poprawność wyników wykazuję poprzez sprawdzenie równowagi węzła 4:

5,269

14,938

20,209

Rys.1.66. Równowaga węzła 4

∑

M =20,209−5,269−14,938=0,002 ≈0 [ kNm]

(1.60)

Mając określone wartości momentów zginających na każdym pręcie układu mogę obliczyć wartości sił
tnących w tych prętach :

T

10

=T

01

=7,770 [kN ]

Rys.1.67. Pręt 01

T

12

=T

21

=0 [kN ]

T

34

=T

43

=0 [kN ]

T

23

=T

32

=0 [kN ]

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

1

0

N

01

N

10

T

10

T

01

17,374

T

41

=T

14

=−1,317 [kN ]

Rys.1.68. Pręt 14

T

54

=T

45

=−11,206 [kN ]

Rys.1.69. Pręt 45

T

64

=T

46

=5,052 [kN ]

Rys.1.70. Pręt 46

Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:

5,052

7,770

11,206

1,317

+

-

+

-

Rys.1.71. Siły tnące w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym działaniu temperatury T

(n)

[kN]

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

1

4

N

14

N

41

T

41

T

14

5,269

N

54

N

45

T

54

T

45

14,938

4

5

10,120

4

6

N

46

N

64

T

64

T

46

20,209

Wyznaczając wartości sił normalnych występujących w zadanej ramie korzystam z równowagi węzłów.

N

21

2

3

N

34

N

23

N

32

Rys.1.72. Równowaga węzłów 2 i 3

Z równowagi węzła 2:

N

12

=N

21

=0 [kN ]

N

23

=N

32

=0 [kN ]

(1.61)

Z równowagi węzła 3:

N

34

=N

43

=0 [kN ]

(1.62)

N

14

=N

41

1,317

7,770

N

01

=N

10

α

α

1

Rys.1.73.Równowaga węzła 1

Dane:

sin =



5

5

; cos =

2



5

5

Z równowagi węzła 1:

∑

Y =0 :−N

01

cos 7,77 sin 1,317=0 ⇒ N

01

=N

10

=5,357 [kN ]

∑

X =0 : N

14

=7,77 cos N

01

sin  ⇒ N

14

=N

41

=9,345 [kN ]

(1.63)

Dla pręta 46 otrzymujemy:

N

46

=N

64

=0 [kN ]

(1.64)

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

9,345

1,317

5,052

N

45

=N

54

α

α

11,206

N

46

=N

64

=0

4

Rys.1.74.Równowaga węzła 4

Dane:

sin

5

5

; cos

2 5

5

Z równowagi węzła 4:

Y

0 : 1,317 11,206 sin

N

45

cos

5,052 0

N

45

N

54

1,518 kN

(1.65)

Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:

-

+

5,357

+

3,345

1,518

Rys.1.75. Siły normalne w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym działaniu temperatury N

(n)

[kN]

Aby sprawdzić poprawność uzyskanych wyników dokonuję kontroli statycznej:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

Rys.1.76. Kontrola statyczna-siły działające na zadany układ

∑

X =0 :−7,77 cos −5,357 sin −1,518 sin 11,206 cos =−0,001 ≈0 [ kN ]

∑

Y =0 : 7,77 sin −5,357 cos 1,518 cos 11,206 sin −5,052=0,001 ≈0 [ kN ]

∑

M

o

=0 : 7,77



45−17,37410,120−11,206



455,052 ⋅6 =0,009 ≈0 [ kNm]

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

7,770

5,357

α

α

5,052

1,518

α

α

11,206

17,374

10,120

o