Krzysztof Wójtowicz
Strona 1
Politechnika Poznańska Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz
Instytut Konstrukcji Budowlanych Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka
Zakład Mechaniki Budowli
Obliczenie Ramy Metodą Przemieszczeń
Zakładamy przekroje dwuteowe:
I1- I220 -I1=3060 cm
4
I2- I240 -I2=4250 cm
4
1,389I1
I2
1,389
3060
4250
I1
I2
=
⇒
=
=
α
t
=1,2·10
-5
1/
o
C
EI
1
=6273kNm
2
Krzysztof Wójtowicz
Strona 2
Układ podstawowy
SGN=3
Ponieważ układ podstawowy jest identyczny jak dla ramy obliczonej dla sił zewnętrznych
reakcje r
ik
pozostają takie same pozostaje tylko obliczyć r
it.
Obliczamy momenty od nierównomiernego ogrzania korzystając z wzorów
EI
1
·
α
t
=6273·1,2·10
-5
=0,075276 kNm
2
/
o
C
kNm
kNm
t
t
2649
,
10
22
,
0
30
075276
,
0
M
2649
,
10
22
,
0
30
075276
,
0
M
10
01
=
⋅
=
−
=
⋅
−
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
⇒
=
=
=
0
r
z3
r
z2
r
z1
r
0
r
z3
r
z2
r
z1
r
0
r
z3
r
z2
r
z1
r
0
R3
0
R2
0
R1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
t
t
t
∆
α
α ∆
α ∆
Krzysztof Wójtowicz
Strona 3
kNm
kNm
kNm
kNm
kNm
kNm
t
t
t
t
t
t
4216
,
3
22
,
0
10
075276
,
0
M
4216
,
3
22
,
0
10
075276
,
0
M
5298
,
20
22
,
0
40
075276
,
0
2
3
M
1396
,
26
24
,
0
40
075276
,
0
389
,
1
2
3
M
0698
,
13
24
,
0
30
075276
,
0
389
,
1
M
0698
,
13
24
,
0
30
075276
,
0
389
,
1
M
25
52
43
23
21
12
=
⋅
=
−
=
⋅
−
=
=
⋅
⋅
=
−
=
⋅
⋅
⋅
−
=
=
⋅
⋅
=
−
=
⋅
⋅
−
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
Równomierne ogrzanie powoduje wydłużenie (skrócenie) prętów co powoduje powstawanie
kątów
Ψ
. Korzystając z łańcucha kinematycznego obliczymy kąty
Ψ
, a następnie korzystając
z wzorów transformacyjnych obliczamy momenty.
Łańcuch kinematyczny
α
t
=1,2·10
-5
1/
o
C
Obliczanie kątów
Ψ
43
→
523
→
5234
↓
0+
Ψ
43
·
4,0=0
Ψ
52
·
4,0-
α
t
·
6,0·20=0 0+
Ψ
52
·
0+
Ψ
23
·
6,0+
Ψ
34
·
0+
α
t
·4
,0·5-
α
t
·4
,0·20=0
Ψ
43
=0
Ψ
52
=0,00036rad
Ψ
23
=0,00012rad
0125
↓
0+
Ψ
01
·
0+
Ψ
12
·
4,0+
Ψ
25
·
0+
α
t
·
3,0·25+
α
t
·1
,0·25-
α
t
·
4,0·5=0
Ψ
12
= -0,00024rad
0123
→
0+
Ψ
01
·
3,0+
Ψ
12
·
1,0+
Ψ
23
·
0-
α
t
·
4,0·25-
α
t
·
6,0·20=0
Ψ
01
=0,00096rad
∆
Krzysztof Wójtowicz
Strona 4
Obliczanie momentów
kNm
M
t
t
0442
,
12
)
00096
,
0
3
(
3
6273
2
M
0
0
10
01
−
=
⋅
−
⋅
=
=
kNm
kNm
kNm
kNm
t
t
t
t
t
t
3874
,
3
)
00036
,
0
3
(
4
6273
2
M
M
0
)
0
(0
4
6273
3
M
5228
,
0
)
00012
,
0
(0
6
6273
1,389
3
M
0432
,
3
))
00024
,
0
(
3
(
4,123
6273
1,389
2
M
M
0
0
0
0
0
0
25
52
43
23
21
12
−
=
⋅
−
⋅
=
=
=
−
⋅
=
−
=
−
⋅
⋅
=
=
−
⋅
−
⋅
⋅
=
=
Korzystając z zasady superpozycji obliczamy M
t
0
t
∆t
t
M
M
M
+
=
kNm
kNm
t
t
7793
,
1
M
3091
,
22
M
10
01
−
=
−
=
kNm
kNm
kNm
kNm
kNm
kNm
t
t
t
t
t
t
0342
,
0
M
809
,
6
M
5298
,
20
M
6624
,
26
M
113
,
16
M
0266
,
10
M
25
52
43
23
21
12
=
−
=
=
−
=
=
−
=
Z równowagi węzłów otrzymujemy
r
1t
+10,0266+1,7793=0 r
2t
+26,6624-16,113-0,0342=0
r
1t
= -11,8059kNm
r
2t
= -10,5152kNm
Korzystając z pracy wirtualnej obliczamy r
3t
Ψ=0,3333
Ψ=0,25
Ψ=0,25
_
_
_
_
− −
Krzysztof Wójtowicz
Strona 5
kN
r
r
t
t
5899
,
4
0
25
,
0
5298
,
20
25
,
0
)
0342
,
0
809
,
6
(
3333
,
0
)
7793
,
1
3091
,
22
(
1
3
_____
_____
________
_
3
=
=
⋅
+
⋅
+
−
+
⋅
−
−
+
⋅
Podstawiamy do równań kanonicznych
=
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
0
5899
,
4
6787
,
0
375
,
0
6666
,
0
0
5152
,
10
375
,
0
0425
,
3
6738
,
0
0
8059
,
11
6666
,
0
6738
,
0
681
,
2
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
1
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
−
=
=
=
2279
,
2
4662
,
2
2298
,
3
1
3
1
2
1
1
EI
z
EI
z
EI
z
Podstawiając wartości do równań momentowych(wzory transformacyjne), uwzględniając
momenty od temperatury otrzymujemy.
kNm
0111
,
4
7793
,
1
)
2279
,
2
(
0,6666
2298
,
3
1,333
M
6707
,
18
3091
,
22
)
2279
,
2
(
0,6666
2298
,
3
0,6667
M
10
01
=
−
−
⋅
−
⋅
=
−
=
−
−
⋅
−
⋅
=
kNm
kNm
3359
,
3
0342
,
0
)
2279
,
2
(
0,3750
4662
,
2
1
M
kNm
7404
,
4
809
,
6
)
2279
,
2
(
375
,
0
4662
,
2
5
,
0
M
9475
,
20
5298
,
20
)
2279
,
2
(
0,1875
M
9496
,
24
6624
,
26
4662
,
2
0,6945
M
6137
,
21
113
,
16
2298
,
3
0,6738
4662
,
2
1,348
M
0111
,
4
0266
,
10
4662
,
2
0,6738
2298
,
3
1,348
M
25
52
43
23
21
12
=
+
−
⋅
−
⋅
=
−
=
−
−
⋅
−
⋅
=
=
+
−
⋅
−
=
−
=
−
⋅
=
=
+
⋅
+
⋅
=
−
=
−
⋅
+
⋅
=
kNm
kNm
kNm
kNm
Krzysztof Wójtowicz
Strona 6
Kontrola kinematyczna
∑∫
∑∫
∑∫
=
+
+
⇒
=
0
dx
h
∆t
α
M
dx
t
α
N
dx
EI
M
M
0
H
t
_
0
t
_
_
A
m
0
01827
,
0
01827
,
0
)
5455
,
1454
1200
5125
,
1391
6364
,
613
32
120
9975
,
109
30
(
10
2
,
1
)
72
,
111
2189
,
86
0876
,
56
9845
,
43
0394
,
40
(
6273
1
22
,
0
40
4
4
2
1
24
,
0
40
6
4
,
2
2
1
24
,
0
30
123
,
4
4
,
5
2
1
22
,
0
30
3
3
2
1
)
20
(
4
4
,
0
)
20
(
6
)
1
(
)
25
(
123
,
4
)
06716
,
1
(
)
25
(
3
)
4
,
0
(
10
2
,
1
9475
,
20
3
2
4
4
2
1
9496
,
24
3
2
6
4
,
2
2
1
389
,
1
1
0111
,
4
3
1
6137
,
21
3
2
123
,
4
4
,
2
2
1
389
,
1
1
6137
,
21
3
1
0111
,
4
3
2
123
,
4
3
2
1
389
,
1
1
6707
,
18
3
1
0111
,
4
3
2
3
3
2
1
6273
1
5
5
=
−
=
+
−
−
−
−
+
+
⋅
+
−
+
+
+
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
−
+
−
⋅
⋅
−
+
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
Krzysztof Wójtowicz
Strona 7
Obliczenie sił tnących
(
siły tnące obliczamy z sumy momentów, dlatego siły normalne pomijamy na rysunkach gdyż
nie wchodzą one do równań momentowych)
kN
T
T
T
M
8865
,
4
0
6707
,
18
0111
,
4
3
:
01
10
10
0
=
=
=
−
+
⋅
∑
kN
T
T
T
M
2694
,
4
0
0111
,
4
6137
,
21
123
,
4
:
12
21
21
1
−
=
=
=
−
+
⋅
∑
kN
T
T
T
M
1583
,
4
0
9496
,
24
0
,
6
:
23
32
32
2
=
=
=
−
⋅
∑
kN
T
T
T
M
2369
,
5
0
9475
,
20
0
,
4
:
43
34
43
3
−
=
=
=
+
⋅
∑
kN
T
T
T
M
3511
,
0
0
7404
,
4
3359
,
3
4
:
52
25
25
5
=
=
=
−
+
⋅
∑
Krzysztof Wójtowicz
Strona 8
Obliczenie sił normalnych
(siły normalne obliczamy z sumy na poszczególne osie dlatego momenty pomijamy na rysunkach gdyż
nie wchodzą one w skład równań)
sin
α
=0,24254 cos
α
=0,97014
N
23
=N
32
= -5,2369kN
Σ
X: -4,8865-4,2694·0,24254+N
12
·
0,97014=0
N
43
=N
34
=4,1583kN N
12
=N
21
=6,1043kN
Σ
Y: -N
10
+6,1043·0,24254+4,2694·0,97014=0
N
10
=N
01
=5,6225kN
Σ
Y: -N
25
-4,15838-4,2694·0,97014-6,1043·0,24254=0
N
25
=N
52
= -9,7808kN
Ν
32
Ν
4,1583
−5,2369
α
4,8865
−4,2694
α
25
Ν
6,1043
−5,2369
−4,2694
4,1583
0,3511
Krzysztof Wójtowicz
Strona 9
Kontrola statyczna
Σ
X: -4,8865-0,3511+5,2369=0,0007kN
%
01
,
0
%
100
2369
,
5
0007
,
0
=
⋅
Σ
Y: 9,7808-5,6225-4,1583=0kN
Krzysztof Wójtowicz
Strona 10
Σ
M
A
: -18,6707-4,7404+20,9475-5,6225·4+4,8865·4+0,3511·4-5,2369·4+4,1583·6=
-18,6707-4,7404+20,9475-22,49+19,546+1,4044-20,9476+24,9498= -0,001kNm
%
004
,
0
%
100
9498
,
24
001
,
0
=
⋅