I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

I

2

1

4

1

3

3

2

0,002 [rad]

0,005[m]

0,004[m]

Rys.1.36. Układ statycznie niewyznaczalny poddany osiadaniu podpór

SGN =

∑



∑



∑



∑



∑

=

∑

=

SGN =

Metoda przemieszczeń

AlmaMater

0,002 [rad]

0,005[m]

0,004[m]

I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

I

2

u

3

=z

1

R

1

u

6

=z

2

R

2

φ

4

=z

3

R

3

1

0

2

3

4

5

6

1

4

1

3

3

2

Rys.1.37.Układ podstawowy poddany osiadaniu podpór

{

R

1

=

R

2

=

R

3

=

}

{

r

1

1

z

1

r

1

2

z

2

r

1

3

z

3

R

1



=

r

2

1

z

1

r

2

2

z

2

r

2

3

z

3

R

2



=

r

3

1

z

1

r

3

2

z

2

r

3

3

z

3

R

3



=

}

R

i







M

0

1



=

EI

1

l

0

1

⋅

0



−

0

1



=

− EI



⋅

0

1



M

1

0

=

Rys.1.38. Pręt 01

Metoda przemieszczeń

AlmaMater

I

1

1

0

M

12



0

M

21



0

[kNm]

Rys.1.39. Pręt 12

M

14



0

M

41



3 EI

2

l

14

4



14



3 1,389 EI

4

14



[kNm]

Rys.1.40. Pręt 14

M

23



0

M

32



0

[kNm]

Rys.1.41. Pręt 23

M

34



0

M

43



3 EI

1

l

34

4



34



EI

34



[kNm]

Rys.1.42. Pręt 34

M

45



2 EI

1

l

45

2

4



5



3

01



2 EI

5

0,002 3

45



M

54



2 EI

1

l

45

4



2

5



3

01



2 EI

5

0,004 3

45



[kNm]

Rys.1.43. Pręt 45

M

64



0

M

46



3 EI

2

l

46

4



46



3 1,389 EI

4

46



[kNm]

Rys.1.44. Pręt 46

Wartości kątów

ik



określam z równań łańcucha kinematycznego:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

I

1

1

2

I

2

4

6

4

3

I

2

1

4

I

2

2

3

I

1

4

5

0,002

I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

I

2

0,002 [rad]

0,005[m]

0,004[m]

1

0

2

3

4

5

6

Rys.1.45. Łańcuch kinematyczny dla ramy poddanej osiadaniu podpór

Rozpisuję równanie łańcucha kinematycznego dla podanych niżej dróg:

546

0 2

45



0

45



0

546

0

45



4

46



0,004

46



0,001

345

0 3

34



2

45



0

34



0

0145

0 2

01



2

45



0

01



0

0145

0,005

01



4

14



45



0

14



1,25 10

−

3

12341

v

1

4

23



4

14



v

1

23



1,25 10

−

3

0123

0 2

01



3

12



0

12



0

[rad]

(1.31)

Stąd wartości momentów przęsłowych wynoszą:

M

01



M

10



0

M

12



M

21



0

M

14



0

M

41



3 1,389 EI

4

1,25 10

−

3

8,169

M

23



M

32



0

M

34



M

43



0

M

45



2 EI

5

0,002 3 0

11,2215

M

54



2 EI

5

0,004 3 0

22,443

M

64

0

M

46



3 1,389 EI

4

0,001

6,535

[kNm]

(1.32)

Wykres momentów w stanie

przyjmie więc postać:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

R

1∆

R

3∆

R

2∆

8,168

8,169

6,535

11,2215

22,443

11,2215

-6,535

22,443

Rys.1.46. Stan

- wpływ osiadania podpór M

∆

[kNm]

Określenie współczynnika

R

3



z równowagi węzła 4:

R

3



11,2215 8,169 6,535 12,8555 kNm

Rys.1.47. - Równowaga węzła 4 w stanie

Wartości współczynników

R

1



, R

2



określam korzystając jak w poprzedniej części zadania z zasady pracy

wirtualnej przy wirtualnym stanie przemieszczeń (patrz rysunek 1.21 oraz 1.22).

Dla wirtualnego stanu I -

z

1

1

obliczając pracę sił w stanie

na przemieszczeniach wirtualnych jak

na rysunku 1.21 otrzymujemy:

R

1



1 0

R

1



0 kN

(1.33)

Dla wirtualnego stanu II -

z

2

1

obliczając pracę sił w stanie

na przemieszczeniach wirtualnych jak

na rysunku 1.22 otrzymujemy:

R

2



1 8,169

1

4

6,535

1
8

11,2215 22,443

1
2

0

R

2



13,9731 kN

(1.34)

Uwzględniając powyższe wartości współczynników r

ik

układ równań kanonicznych 1.30. przyjmie postać:

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

R

3∆

8,169

11,2215

-6,535

{

EI

9

z

1

−

EI

9

z

2

−

EI

3

z

3

=0

−

EI

9

z

1

1,87 EI z

2

−0,879 EI z

3

−13,9731=0

−

EI

3

z

1

−0,879 EI z

2

4,873 EI z

3

12,8555=0

}

(1.35)

Rozwiązanie powyższego układu jest następujące:

EI z

1

=4,02788

EI z

2

=7,21258

EI z

3

=−1,06157

(1.36)

Ostateczne wartości momentów zginających w ramie statycznie niewyznaczalnej poddanej osiadaniu podpór
jest superpozycją stanów z

1

, z

2

, z

3

,



:

M

ik

n

=M

1

0

⋅z

1

M

2

0

⋅z

2

M

3

0

⋅z

3

M

ik



(1.37)

M

01

=

−3 EI



5

⋅

z

2

2

=−4,838

M

10

=0

M

12

=0

M

21

=0

M

14

=0

M

41

=

4,167 EI

4

⋅ z

3



z

2

4

8,169=8,942

M

23

=0

M

32

=0

M

34

=0

M

43

=EI⋅ z

3

−

z

1

3



z

2

3

=0

M

45

=

2 EI



5

⋅2 z

3

−

3
2

⋅z

2

11,2215=−0,354

M

54

=

2 EI



5

⋅ z

3

−

3
2

⋅z

2

22,443=11,817

M

64

=0

M

46

=

4,167 EI

4

⋅ z

3

−

z

2

8

−6,535=−8,580

[kNm]

(1.38)

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

8,942 8,580

4,838

11,817

0,354

Rys.1.48. Momenty zginające w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym osiadaniu podpór M

(n)

[kNm]

Wstępną poprawność wyników wykazuję poprzez sprawdzenie równowagi węzła 4:

8,942

-0,354

8,580

Rys.1.49. Równowaga węzła 4

∑

M =8,5800,354−8,942=−0,008 ≈0 [ kNm]

(1.39)

Mając określone wartości momentów zginających na każdym pręcie układu mogę obliczyć wartości sił
tnących w tych prętach :

∑

M

0

=0 ⇒T

10

=T

01

=2,164 [ kN ]

Rys.1.50. Pręt 01

T

12

=T

21

=0 [kN ]

T

34

=T

43

=0 [kN ]

T

23

=T

32

=0 [kN ]

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

1

0

N

01

N

10

T

10

T

01

4,838

∑

M

1

=0 ⇒T

41

=T

14

=−2,236 [kN ]

Rys.1.51. Pręt 14

∑

M

4

=0 ⇒T

64

=T

46

=2,145 [kN ]

Rys.1.52. Pręt 46

∑

M

4

=0 ⇒T

54

=T

45

=−5,126 [kN ]

Rys.1.53. Pręt 45

Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:

2,145

2,164

5,126

2,236

+

-

+

-

Rys.1.54. Siły tnące w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym osiadaniu podpór T

(n)

[kN]

Wyznaczając wartości sił normalnych występujących w zadanej ramie korzystam z równowagi węzłów.

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

1

4

N

14

N

41

T

41

T

14

8,942

4

6

N

46

N

64

T

64

T

46

8,580

N

54

N

45

T

54

T

45

0,354

4

5

11,817

N

21

2

3

N

34

N

23

N

32

Rys.1.55. Równowaga węzłów 2 i 3

Z równowagi węzła 2:

N

12

=N

21

=0 [kN ]

N

23

=N

32

=0 [kN ]

(1.40)

Z równowagi węzła 3:

N

34

=N

43

=0 [kN ]

(1.41)

N

14

=N

41

2,236

2,164

N

01

=N

10

α

α

Rys.1.56.Równowaga węzła 1

Dane:

sin =



5

5

; cos =

2



5

5

Z równowagi węzła 1:

∑

Y =0 :− N

01

cos 2,164 sin 2,236=0 ⇒ N

01

=N

10

=3,582 [kN ]

∑

X =0 : N

14

=2,164 cos 3,582 sin =0 ⇒ N

14

=N

41

=3,537 [kN ]

(1.42)

Dla pręta 46 otrzymujemy:

N

46

=N

64

=0 [kN ]

(1.43)

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

3,537

2,236

2,145

N

45

=N

54

α

α

5,126

N

46

=N

64

=0

Rys.1.57.Równowaga węzła 4

Dane:

sin

5

5

; cos

2 5

5

Z równowagi węzła 4:

Y

0 : 2,145 2,236 5,126 sin

N

45

cos

0

N

45

N

54

2,335 kN

(1.44)

Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:

-

+

3,582

+

3,537

2,335

Rys.1.58. Siły normalne w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym osiadaniu podpór N

(n)

[kN]

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater

Aby sprawdzić poprawność uzyskanych wyników dokonuję kontroli statycznej:

2,164

3,582

α

α

2,145

2,335

α

α

5,126

4,838

11,817

o

Rys.1.59. Kontrola statyczna-siły działające na zadany układ

∑

X =0 :−2,164 cos −3,582 sin −2,335 sin 5,126 cos =0,003 ≈0 [ kN ]

∑

Y =0 : 2,164 sin −3,582 cos 2,335 cos 5,126 sin −2,145=0,007 ≈0 [ kN ]

∑

M

o

=0 : 2,164



45−4,83811,817−5,126



452,145 ⋅6 =−0,02 ≈0 [ kNm]

Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń

AlmaMater