I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
I
2
1
4
1
3
3
2
0,002 [rad]
0,005[m]
0,004[m]
Rys.1.36. Układ statycznie niewyznaczalny poddany osiadaniu podpór
SGN =
∑
∑
∑
∑
∑
=
∑
=
SGN =
Metoda przemieszczeń
AlmaMater
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
I
2
1
4
1
3
3
2
0,002 [rad]
0,005[m]
0,004[m]
Rys.1.36. Układ statycznie niewyznaczalny poddany osiadaniu podpór
SGN =
∑
∑
∑
∑
∑
=
∑
=
SGN =
Metoda przemieszczeń
AlmaMater
0,002 [rad]
0,005[m]
0,004[m]
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
I
2
u
3
=z
1
R
1
u
6
=z
2
R
2
φ
4
=z
3
R
3
1
0
2
3
4
5
6
1
4
1
3
3
2
Rys.1.37.Układ podstawowy poddany osiadaniu podpór
{
R
1
=
R
2
=
R
3
=
}
{
r
1
1
z
1
r
1
2
z
2
r
1
3
z
3
R
1
=
r
2
1
z
1
r
2
2
z
2
r
2
3
z
3
R
2
=
r
3
1
z
1
r
3
2
z
2
r
3
3
z
3
R
3
=
}
R
i
M
0
1
=
EI
1
l
0
1
⋅
0
−
0
1
=
− EI
⋅
0
1
M
1
0
=
Rys.1.38. Pręt 01
Metoda przemieszczeń
AlmaMater
I
1
1
0
M
12
0
M
21
0
[kNm]
Rys.1.39. Pręt 12
M
14
0
M
41
3 EI
2
l
14
4
14
3 1,389 EI
4
14
[kNm]
Rys.1.40. Pręt 14
M
23
0
M
32
0
[kNm]
Rys.1.41. Pręt 23
M
34
0
M
43
3 EI
1
l
34
4
34
EI
34
[kNm]
Rys.1.42. Pręt 34
M
45
2 EI
1
l
45
2
4
5
3
01
2 EI
5
0,002 3
45
M
54
2 EI
1
l
45
4
2
5
3
01
2 EI
5
0,004 3
45
[kNm]
Rys.1.43. Pręt 45
M
64
0
M
46
3 EI
2
l
46
4
46
3 1,389 EI
4
46
[kNm]
Rys.1.44. Pręt 46
Wartości kątów
ik
określam z równań łańcucha kinematycznego:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
I
1
1
2
I
2
4
6
4
3
I
2
1
4
I
2
2
3
I
1
4
5
0,002
I
1
I
1
I
1
I
1
I
2
I
2
I
2
0,002 [rad]
0,005[m]
0,004[m]
1
0
2
3
4
5
6
Rys.1.45. Łańcuch kinematyczny dla ramy poddanej osiadaniu podpór
Rozpisuję równanie łańcucha kinematycznego dla podanych niŜej dróg:
546
0 2
45
0
45
0
546
0
45
4
46
0,004
46
0,001
345
0 3
34
2
45
0
34
0
0145
0 2
01
2
45
0
01
0
0145
0,005
01
4
14
45
0
14
1,25 10
−
3
12341
v
1
4
23
4
14
v
1
23
1,25 10
−
3
0123
0 2
01
3
12
0
12
0
[rad]
(1.31)
Stąd wartości momentów przęsłowych wynoszą:
M
01
M
10
0
M
12
M
21
0
M
14
0
M
41
3 1,389 EI
4
1,25 10
−
3
8,169
M
23
M
32
0
M
34
M
43
0
M
45
2 EI
5
0,002 3 0
11,2215
M
54
2 EI
5
0,004 3 0
22,443
M
64
0
M
46
3 1,389 EI
4
0,001
6,535
[kNm]
(1.32)
Wykres momentów w stanie
przyjmie więc postać:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
R
1∆
R
3∆
R
2∆
8,168
8,169
6,535
11,2215
22,443
11,2215
-6,535
22,443
Rys.1.46. Stan
- wpływ osiadania podpór M
∆
[kNm]
Określenie współczynnika
R
3
z równowagi węzła 4:
R
3
11,2215 8,169 6,535 12,8555 kNm
Rys.1.47. - Równowaga węzła 4 w stanie
Wartości współczynników
R
1
, R
2
określam korzystając jak w poprzedniej części zadania z zasady pracy
wirtualnej przy wirtualnym stanie przemieszczeń (patrz rysunek 1.21 oraz 1.22).
Dla wirtualnego stanu I -
z
1
1
obliczając pracę sił w stanie
na przemieszczeniach wirtualnych jak
na rysunku 1.21 otrzymujemy:
R
1
1 0
R
1
0 kN
(1.33)
Dla wirtualnego stanu II -
z
2
1
obliczając pracę sił w stanie
na przemieszczeniach wirtualnych jak
na rysunku 1.22 otrzymujemy:
R
2
1 8,169
1
4
6,535
1
8
11,2215 22,443
1
2
0
R
2
13,9731 kN
(1.34)
Uwzględniając powyŜsze wartości współczynników r
ik
układ równań kanonicznych 1.30. przyjmie postać:
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
R
3∆
8,169
11,2215
-6,535
{
EI
9
z
1
−
EI
9
z
2
−
EI
3
z
3
=0
−
EI
9
z
1
1,87 EI z
2
−0,879 EI z
3
−13,9731=0
−
EI
3
z
1
−0,879 EI z
2
4,873 EI z
3
12,8555=0
}
(1.35)
Rozwiązanie powyŜszego układu jest następujące:
EI z
1
=4,02788
EI z
2
=7,21258
EI z
3
=−1,06157
(1.36)
Ostateczne wartości momentów zginających w ramie statycznie niewyznaczalnej poddanej osiadaniu podpór
jest superpozycją stanów z
1
, z
2
, z
3
,
:
M
ik
n
=M
1
0
⋅z
1
M
2
0
⋅z
2
M
3
0
⋅z
3
M
ik
(1.37)
M
01
=
−3 EI
5
⋅
z
2
2
=−4,838
M
10
=0
M
12
=0
M
21
=0
M
14
=0
M
41
=
4,167 EI
4
⋅ z
3
z
2
4
8,169=8,942
M
23
=0
M
32
=0
M
34
=0
M
43
=EI⋅ z
3
−
z
1
3
z
2
3
=0
M
45
=
2 EI
5
⋅2 z
3
−
3
2
⋅z
2
11,2215=−0,354
M
54
=
2 EI
5
⋅ z
3
−
3
2
⋅z
2
22,443=11,817
M
64
=0
M
46
=
4,167 EI
4
⋅ z
3
−
z
2
8
−6,535=−8,580
[kNm]
(1.38)
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
8,942 8,580
4,838
11,817
0,354
Rys.1.48. Momenty zginające w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym osiadaniu podpór M
(n)
[kNm]
Wstępną poprawność wyników wykazuję poprzez sprawdzenie równowagi węzła 4:
8,942
-0,354
8,580
Rys.1.49. Równowaga węzła 4
∑
M =8,5800,354−8,942=−0,008 ≈0 [ kNm]
(1.39)
Mając określone wartości momentów zginających na kaŜdym pręcie układu mogę obliczyć wartości sił
tnących w tych prętach :
∑
M
0
=0 ⇒T
10
=T
01
=2,164 [ kN ]
Rys.1.50. Pręt 01
T
12
=T
21
=0 [kN ]
T
34
=T
43
=0 [kN ]
T
23
=T
32
=0 [kN ]
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
1
0
N
01
N
10
T
10
T
01
4,838
∑
M
1
=0 ⇒T
41
=T
14
=−2,236 [kN ]
Rys.1.51. Pręt 14
∑
M
4
=0 ⇒T
64
=T
46
=2,145 [kN ]
Rys.1.52. Pręt 46
∑
M
4
=0 ⇒T
54
=T
45
=−5,126 [kN ]
Rys.1.53. Pręt 45
Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:
2,145
2,164
5,126
2,236
+
-
+
-
Rys.1.54. Siły tnące w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym osiadaniu podpór T
(n)
[kN]
Wyznaczając wartości sił normalnych występujących w zadanej ramie korzystam z równowagi węzłów.
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
1
4
N
14
N
41
T
41
T
14
8,942
4
6
N
46
N
64
T
64
T
46
8,580
N
54
N
45
T
54
T
45
0,354
4
5
11,817
N
21
2
3
N
34
N
23
N
32
Rys.1.55. Równowaga węzłów 2 i 3
Z równowagi węzła 2:
N
12
=N
21
=0 [kN ]
N
23
=N
32
=0 [kN ]
(1.40)
Z równowagi węzła 3:
N
34
=N
43
=0 [kN ]
(1.41)
N
14
=N
41
2,236
2,164
N
01
=N
10
α
α
Rys.1.56.Równowaga węzła 1
Dane:
sin =
5
5
; cos =
2
5
5
Z równowagi węzła 1:
∑
Y =0 :− N
01
cos 2,164 sin 2,236=0 ⇒ N
01
=N
10
=3,582 [kN ]
∑
X =0 : N
14
=2,164 cos 3,582 sin =0 ⇒ N
14
=N
41
=3,537 [kN ]
(1.42)
Dla pręta 46 otrzymujemy:
N
46
=N
64
=0 [kN ]
(1.43)
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
3,537
2,236
2,145
N
45
=N
54
α
α
5,126
N
46
=N
64
=0
Rys.1.57.Równowaga węzła 4
Dane:
sin
5
5
; cos
2 5
5
Z równowagi węzła 4:
Y
0 : 2,145 2,236 5,126 sin
N
45
cos
0
N
45
N
54
2,335 kN
(1.44)
Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:
-
+
3,582
+
3,537
2,335
Rys.1.58. Siły normalne w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym osiadaniu podpór N
(n)
[kN]
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater
Aby sprawdzić poprawność uzyskanych wyników dokonuję kontroli statycznej:
2,164
3,582
α
α
2,145
2,335
α
α
5,126
4,838
11,817
o
Rys.1.59. Kontrola statyczna-siły działające na zadany układ
∑
X =0 :−2,164 cos −3,582 sin −2,335 sin 5,126 cos =0,003 ≈0 [ kN ]
∑
Y =0 : 2,164 sin −3,582 cos 2,335 cos 5,126 sin −2,145=0,007 ≈0 [ kN ]
∑
M
o
=0 : 2,164
45−4,83811,817−5,126
452,145 ⋅6 =−0,02 ≈0 [ kNm]
Anna Zielona gr 3KBI Metoda przemieszczeń
AlmaMater