2

4

6

6

I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

0,005

0,006

0,003 rad

Rys.1.32. Układ statycznie niewyznaczalny poddany osiadaniu podpór

SGN =

∑



∑



∑



∑



∑

=

∑

=

1/13

SGN

=3

(1.23)

Układ podstawowy przyjmuję jak w poprzedniej części zadania

2

4

6

6

I

1

I

1

I

1

I

1

I

2

I

2

0

1

2

3

4

6

5

6

R

2

R

1

R

3

φ

3

=z

3

u

2

=z

1

φ

2

=z

2

0,005

0,006

0,003 rad

Rys.1.33.Układ podstawowy poddany osiadaniu podpór

Identyczność układu podstawowego z wyjściowym zapewnia układ równań kanonicznych:

{

R

1

=0

R

2

=0

R

3

=0

}

{

r

11

z

1

r

12

z

2

r

13

z

3

R

1



=0

r

21

z

1

r

22

z

2

r

23

z

3

R

2



=0

r

31

z

1

r

32

z

2

r

33

z

3

R

3



=0

}

(1.24)

Wartości współczynników r

ik

nie zależą od rodzaju obciążenia stąd, jeżeli przyjęto taki sam układ

podstawowy to pozostaną one takie jak w poprzedniej części zadania (rama obciążona siłami zewnętrznymi).
Aby

określić wartości współczynników

R

i



wyznaczam w pierwszej kolejności wg wzorów

transformacyjnych metody przemieszczeń wartości momentów zginających wywołanych stanem



.

Stan



:

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

2/13

M

01



3 EI

1

l

01

0



01



3 EI

4

01



M

10



0

[kNm]

Rys.1.34. Pręt 01

M

12



0

M

21



3 EI

2

l

12

2



12



3 1,389 EI

2 10

12



[kNm]

Rys.1.35. Pręt 12

M

23



2 EI

1

l

23

2

2



3



3

23



3 EI

23



M

32



2 EI

1

l

23

2



2

3



3

23



3 EI

23



[kNm]

Rys.1.36. Pręt 23

M

34



2 EI

1

l

34

2

3



4



3

34



EI

2

0,003 3

34



M

43



2 EI

1

l

34

3



2

4



3

34



EI

2

0,006 3

34



[kNm]

Rys.1.37. Pręt 34

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

3/13

4

I

1

0

1

0,005

2

I

1

2

3

2

6

I

2

1

2

4

I

1

3

4

0,003

M

53



0

M

35



3 EI

2

l

35

3



35



3 1,389 EI

2 10

35



[kNm]

Rys.1.38 Pręt 35

M

56



0

M

65



3 EI

1

l

56

6



56



EI

2

56



[kNm]

Rys.1.39. Pręt 56

Wartości kątów

ik



określam z równań łańcucha kinematycznego:

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

4/13

6

I

1

6

0,006

2

6

I

2

3

5

2

4

6

6

ψ

01

∆

=4,1(6)*10

-4

ψ

34

∆

=0

ψ

12

∆

=8,(3)*10

-4

ψ

35

∆

=0

ψ

23

∆

=0

ψ

56

∆

=0,001

Rys.1.40. Łańcuch kinematyczny dla ramy poddanej osiadaniu podpór

Rozpisuję równanie łańcucha kinematycznego dla podanych niżej dróg:

65

0,006 6

56



0

56



0,001

4356

6

35



0

35



0

4356

4

34



2

35



6

56



0,006

34



0

234

2

23



4

34



0

23



0

01234

0,005 6

12



0

12



8,333 10

−

4

012

4

01



2

12



0

01



4,167 10

−

4

[rad]

(1.25)

Stąd wartości momentów przęsłowych wynoszą:

M

01



1,96031

M

10



0

M

12



0

M

21



3,44419

M

23



M

32



0

M

34



9,40950

M

43



18,81900

M

35



M

53



0

M

56



0

M

65



3,13650

[kNm]

(1.26)

Wykres momentów w stanie

przyjmie więc postać:

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

5/13

1,96031

9,4095

R

2∆

-1,96031

3,44417

9,4095

3,44419

R

1∆

R

3∆

18,819

3,1365

R

2∆

R

1∆

R

3∆

18,819

-3,1365

Rys.1.41. Stan

- wpływ osiadania podpór M

∆

[kNm]

Określenie współczynnika

R

2



, R

3



z wykorzystaniem równowagi węzła 2 i 3:

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

6/13

R

2



3,44419

R

3



9,40950

[kNm]

Rys.1.42. - Równowaga węzła 2 i 3 w stanie

Wartości współczynnika

R

1



określam korzystając jak w poprzedniej części zadania z zasady pracy

wirtualnej przy wirtualnym stanie przemieszczeń (patrz rysunek 1.18).

Dla wirtualnego stanu

z

1

1

obliczając pracę sił w stanie

na przemieszczeniach wirtualnych jak na

rysunku 1.18 otrzymujemy:

R

1



1 1,96031

1
4

0

R

1



0,49008 [kN]

(1.27)

Uwzględniając powyższe wartości współczynników r

ik

układ równań kanonicznych 1.24. przyjmie postać:

1,547 EI z

1

1,5 EI z

2

1,5 EI z

3

0,49008 0

1,5 EI z

1

2,659 EI z

2

EI z

3

3,44419 0

1,5 EI z

1

EI z

2

3,659 EI z

3

9,40950 0

(1.28)

Rozwiązanie powyższego układu jest następujące:

EI z

1

10,93535

EI z

2

5,36223

EI z

3

5,58904

(1.29)

Ostateczne wartości momentów zginających w ramie statycznie niewyznaczalnej poddanej osiadaniu podpór
jest superpozycją stanów z

1

, z

2

, z

3

,

:

M

ik



n



M

1



0



z

1

M

2



0



z

2

M

3



0



z

3

M

ik



(1.30)

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

7/13

R

2∆

2

3

R

3∆

3,44419

9,4095

M

01

=

−3 EI

4

⋅

z

1

4

−1,96031=0,09

M

10

=0

M

12

=0

M

21

=

3⋅1,389 EI

2



10

z

2

3,44419=−0,089

M

23

=EI 2 z

2

z

3

−1,5 z

1

=0,089

M

32

=EI  z

2

2 z

3

−1,5 z

1

=−0,137

M

34

=EI z

3

9,40950=3,820

M

43

=0,5 EI z

3

18,819=16,024

M

35

=

3⋅1,389 EI

2



10

⋅z

3

=−3,682

M

53

=0

M

56

=0

M

65

=−3,137

[kNm]

(1.31)

0,09

0,187

0,089

16,024

3,137

0,089

3,82

3,682

Rys.1.43. Momenty zginające w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym osiadaniu podpór M

(n)

[kNm]

Wstępną kontrolę wykonuję poprzez sprawdzenie równowagi węzła 2 i 3.

Z równowagi węzła 2 otrzymam:

∑

M =0,089−0,089=0 [ kNm]

(1.32)

Z równowagi węzła 3 otrzymam:

∑

M =0,1373,682−3,82=−0,001 ≈0 [ kNm]

(1.33)

Mając określone wartości momentów zginających na każdym pręcie układu mogę obliczyć wartości sił

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

8/13

tnących w tych prętach :

T

01

=T

10

=−0,0225 [kN ]

Rys.1.44. Pręt 01

T

12

=T

21

=0,014 [kN ]

Rys.1.45. Pręt 12

T

32

=T

23

=0,024 [kN ]

Rys.1.46. Pręt 23

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

9/13

I

1

0

1

N

10

N

01

T

01

T

10

0,09

2

6

I

2

1

2

N

21

N

12

T

12

T

21

0,089

N

23

N

32

T

32

T

23

0,137

2

I

1

2

3

0,089

T

34

=T

43

=−4,961 [kN ]

Rys.1.47. Pręt 34

T

35

=T

53

=0,582 [kN ]

Rys.1.48. Pręt 35

T

56

=T

65

=0,523 [kN ]

Rys.1.49. Pręt 56

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

10/13

4

I

1

3

4

N

34

N

43

T

43

T

34

16,024

3,82

2

6

I

2

3

5

N

53

N

35

T

35

T

53

3,682

I

1

6

5

N

56

N

65

T

65

T

56

3,137

Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:

0,014

- 0,0225

0,024

4,961

0,523

+

+

-

+

0,582

+

Rys.1.50. Siły tnące w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym osiadaniu podpór T

(n)

[kN]

Wyznaczając wartości sił normalnych występujących w zadanej ramie korzystam z równowagi węzłów.

0,014

1

α

0,0225

N

10

=N

01

α

N

12

=N

21

Rys.1.51. Równowaga węzła 1

Mając dane:

sin

1

10

cos

3

10

(1.35)

Z równowagi węzła 1:

X

0 : 0,0225 0,014 sin

N

12

cos

0

N

12

0,028 kN

Y

0 : N

01

0,014 cos

0,028 sin

0

N

01

0,022 kN

(1.36)

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

11/13

0,028

0,014

2

α

0,024

N

23

α

Rys.1.52.Równowaga węzła 2

Z równowagi węzła 2:

∑

Y =0 :− N

23

0,028sin 0,014 cos =0 ⇒ N

23

=0,022 [kN ]

(1.37)

N

35

0,582

3

α

4,961

N

34

α

0,024

0,022

Rys.1.53.Równowaga węzła 3

Z równowagi węzła 3:

∑

X =0 : 0,0244,961 N

35

cos =0 ⇒ N

35

=−5,449 [kN ]

∑

Y =0 : 0,022−N

34

N

35

sin −0,582 cos =0 ⇒ N

34

=−2,253 [kN ]

(1.38)

Z równowagi węzła 5 określam wartość poziomej reakcji H

5

w podporze występującej w tym węźle.

Rys.1.54.Równowaga węzła 5

Z równowagi węzła 5:

∑

X =0 : H

5

=4,462 [kN ]

∑

Y =0 : 0,582 cos 5,449 sin −N

56

=0 ⇒ N

56

=2,275 [kN ]

(1.39)

Zestawiając otrzymane wyniki otrzymuję:

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

12/13

5,449

0,582

5

α

0,523

N

56

α

H

5

0,028

- 0,022

5,449

-

-

2,253

+ 0,022

-

+ 2,275

Rys.1.55. Siły normalne w układzie statycznie niewyznaczalnym poddanym osiadaniu podpór N

(n)

[kN]

Aby sprawdzić poprawność uzyskanych wyników dokonuję kontroli statycznej:

2

4

6

6

2,275

0,523

4,462

2,253

0,022

4,961

0,0225

0,09

16,024

3,137

Rys.1.56. Kontrola statyczna-siły działające na zadany układ

∑

X =0 : 0,02254,961−0,523−4,462=0,0015 ≈0 [ kN ]

∑

Y =0 : 0,0222,253−2,275=0 [ kN ]

∑

M

0

=0 : 0,0916,024−3,137−4,462⋅6−2,253⋅62,275 ⋅12=−0,013 ≈0 [kNm]

(1.40)

Tomasz Terlecki gr 3 KBI

13/13