1

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś

Wydział Zarządzania, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków, e-mail: [e-mail]

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania
matematycznego cen miedzi na LME

Słowa kluczowe:

finansowe szeregi czasowe, ceny miedzi na giełdzie LME, analizy zmienności korelacji
szeregów czasowych

Streszczenie

Zbadano stacjonarność korelacji cen miedzi na Londyńskiej Giełdzie Metali LME, z
wiodącymi wskaźnikami koniunktury światowej w okresie ostatnich 15 lat. Wykazano, że
miarodajna estymacja parametrów statystycznych tych szeregów wymaga danych za okres
60 miesięcy. Stwierdzono bardzo znaczące zmiany tych parametrów w minionej dekadzie.
Niemniej, wyniki analizy sugerują ich umiarkowaną stacjonarność w czasie ostatnich dwóch
lat, co daje obiecujące możliwości predykcji cen miedzi z wyprzedzeniem 6-12 miesięcy,
z wykorzystaniem zależności regresyjnych.

1. Wprowadzenie

Zapotrzebowanie na miedź na rynkach światowych utrzymuje się ciągle na wysokim

poziomie ze względu na jej istotną rolę w budownictwie i przemyśle elektrotechnicznym.
W ostatnich dwu latach, po okresie silnej dekoniunktury na światowym rynku miedzi, obserwuje
się ciągły wzrost cen tego metalu, podobny do tendencji cenowych produktów ropopochodnych.
Powstaje pytanie, czy tendencja ta ma charakter długookresowy, czy też jest przejawem
cykliczności koniunktury światowej (Augustynek, Duda-Kękuś 2005a), (Watson 1994).
Odpowiedź na to pytanie ma ważne znaczenie dla polskiej gospodarki, gdyż na liście światowych
eksporterów miedzi znajdujemy się na wysokiej ósmej pozycji (Copper 2004). Efektywność tego
eksportu zależy w znacznej mierze od umiejętności przewidywania cen na rynkach światowych z
dużym wyprzedzeniem, do kilku miesięcy. Światowe ceny miedzi kształtują się na Londyńskiej
Giełdzie Metali (ang. London Metal Exchange, LME) oraz na Giełdzie Towarowej COMEX w
Nowym Jorku. Notowania LME, najbardziej istotne dla Europy, faktycznie spełniają rolę cen
światowych dla miedzi rafinowanej oraz dla rud i koncentratów, które są głównym przedmiotem
zainteresowania polskich eksporterów. Na bazie cen miedzi na LME zawiera się ok. 70%
światowych kontraktów. Uwarunkowania i mechanizmy kształtowania cen LME omówiono w
monografii (Szeląg 2003), a także w artykule (Augustynek i in. 2003). Sprzyjają one redukcji
zmienności cen, co daje podstawy do przypuszczenia, że szeregi cen miedzi mogą być
efektywnie przetwarzane przy pomocy formuł teorii procesów stochastycznych. Warto
nadmienić, że notowania dzienne LME są jawne i łatwo dostępne poprzez Internet.

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

2

Problematyka ta była przedmiotem zainteresowania autorów od szeregu lat [Augustynek i

in. 2003a, Augustynek 1984, Augustynek 1984a, Augustynek i in. 2003b], głównie pod kątem
ocen skuteczności formalnych metod statystycznych [Box, Jenkins 1983]. W artykule
[Augustynek i in. 2003a] porównano efektywność wykorzystania modeli ARIMA [Box,
Jenkins 1983] (ang. autoregresive-integrated-moving average) oraz oryginalnej metody opartej
na adaptacyjnym predyktorze Holta [Holt 1957] do prognozowania krótkoterminowego (do 7
sesji). Przeprowadzona analiza wykazała, że szeregi cen miedzi są bardzo zbliżone do ciągu
sumowanych, niezależnych liczb losowych. Dla takich sygnałów, formalnie optymalnym
predyktorem jest podtrzymanie zerowego rzędu (ang. zero-order-hold - ZOH), a więc
prognoza trywialna. Próby zastosowania modelu ARMA dla przyrostów tych ciągów okazały
się zasadne, ale redukowały dyspersję błędu ZOH mniej niż o 5%. Predyktor Holta
[Augustynek i in. 2003a, Augustynek 1984a] dostosowany do predykcji szeregów
niestacjonarnych, okazał się nieprzydatny. Ze względu na specyfikę transakcji dokonywanych
na giełdach metali [Szeląg 2003], szczególnie istotne jest prognozowanie z wyprzedzeniem
kilkumiesięcznym. W pracy [Augustynek i in. 2003b] pokazano, że efektywne prognozy
miesięczne można uzyskać poprzez uzupełnienie formuły ARMA dodatkowymi zależnościami
regresyjnymi, uwzględniającymi powiązania cen miedzi z innymi szeregami czasowymi. Dla
okresu panującej wówczas głębokiej dekoniunktury stwierdzono bardzo istotną zależność
średniomiesięcznych cen miedzi od stanu zapasów miedzi na autoryzowanych składach LME.
W powiązaniu z modelem AR pozwoliła ona poprawić prognozy miesięczne na rok 2003 o
około 25% w stosunku prognoz ZOH. Późniejsze badania ujawniły jednak bardzo szybki zanik
tej zależności w miarę poprawy sytuacji na rynku miedzi, co zainspirowało podjęcie szerszych
analiz stacjonarności powiązań statystycznych cen miedzi ze wskaźnikami koniunktury
światowej. Niniejszy artykuł omawia niektóre wyniki tych analiz.

Badaniom poddano szesnastoletnie szeregi czasowe dziennych notowań giełdowych cen

bieżących miedzi (LMECash), zapasów miedzi na LME (LMEStock) i dla porównania –
dwóch miarodajnych wskaźników światowej koniunktury gospodarczej, tj. wskaźnika SP500 i
cen produktów ropopochodnych WTI. Wykazano, że w minionej dekadzie właściwości
statystyczne 6.miesięcznych i 1.rocznych logarytmicznych przyrostów tych szeregów były
bardzo zmienne, niemniej w okresie ostatnich dwóch lat stały się w miarę stacjonarne. Stwarza
to możliwości efektywnego prognozowania cen miedzi z wyprzedzeniem ponad
6.miesięcznym.

2. Dane i metodyka badań

W pracach [Augustynek i in. 2003b, Duda, Augustynek 2005] wykazano, że najbardziej

efektywne modele do prognozowania średniookresowego szeregów danych giełdowych uzyskuje
się przez identyfikację zależności stochastycznych wiążących bezpośrednio przyrosty szeregów
w przedziałach czasu równych horyzontowi predykcji, z opóźnieniem nie mniejszym niż ten
horyzont. W analizach ekonometrycznych wykorzystuje się zwykle przyrosty logarytmiczne
[Augustynek i in. 2003a, Augustynek 1984a, Augustynek, Duda-Kękuś 2005] i takie były
przedmiotem prezentowanych badań. Analizom poddano przyrosty 6. i 12 miesięczne, których
prognozowanie ma istotne znaczenia dla typowych transakcji terminowych [Szeląg 2003].

Wykorzystane w badaniach szeregi i ich analizowane przyrosty logarytmiczne pokazano na

rysunku 1. Jak widać, dla szeregów SP500, WTI oraz zapasów miedzi (LMEStock) obserwuje

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

3

się znaczącą zmianę zakresu wahań w ostatnim dziesięcioleciu, podczas gdy wahania ceny
miedzi zachowują długookresową regularność w całym analizowanym okresie 16 lat.

Rys.1. Wybrane szeregi czasowe i ich przyrosty logarytmiczne (unormowane wartością maksymalną).
Przerywane linie pionowe oznaczają początki kwartałów i lat (pogrubione). Dwie ciągłe linie pionowe
pokazują atak terrorystyczny na WTC (11/09/2001) i początek wojny w Iraku (22/03/2003).

Stock market indices and petrol products prices used in calculations. The values in each series are related

to their maximal value. Vertical lines – three months and 1 year (bold) intervals.

Efektywność prognozowania pewnego szeregu Y

M

={y

1

, .. y

M

} można ocenić formalnie badając

przebiegi czasowe współczynników jego autokorelacji i korelacji z innymi szeregami
X

Md

={x

1

, x

M-d

} opóźnionymi o liczbę d próbek, taką jak wymagany horyzont predykcji.

Rozważmy szeregi Y

Nm

i X

Nmd

w ruchomym oknie zawierającym N próbek (Y

Nm=

{y

m-N+d+1

, .. y

m

},

X

Nmd=

{y

m-N+1

, .. y

m-d

}) z możliwością wystąpienia brakujących danych. Przebiegi kowariancji K

yx Nmd

i korelacji R

yx Nmd

oblicza się według następujących wzorów:

;

1

*

d

Nm

Nm

m

d

N

m

n

d

n

n

nd

Nmd

yx

x

y

N

x

y

p

K

−

+

+

−

=

−

⋅

−

=

∑

d

xNm

Nm

y

yxNmd

Nmd

yx

s

s

K

R

−

=

, dla m=N, …, M (1)

∑

+

+

−

=

=

m

d

N

m

n

n

nd

Nm

N

y

p

y

1

*

;

∑

+

+

−

=

−

−

−

=

m

d

N

m

n

d

n

nd

d

Nm

N

x

p

x

1

*

;

∑

+

+

−

=

−

−

−

−

=

m

d

N

m

n

d

Nm

d

n

nd

d

Nm

x

x

N

x

p

s

1

2

*

2

)

(

;

∑

+

+

−

=

−

=

m

d

N

m

n

Nm

n

nd

Nm

y

y

N

y

p

s

1

2

*

2

)

(

(2)

gdzie s

x Nm-d

, s

y Nm

,

d

Nm

Nm

x

y

−

,

oznaczają bieżące wartości dyspersji i średniej X

Nmd

oraz Y

Nm

,

p

nd

={0, 1} jest zmienną binarną: p

nd

=1 jeśli zarówno y

n

and x

n-d

są dostępne, a p

nd

=0 w

przeciwnym przypadku, N

*

jest sumą p

nd

dla wszystkich N próbek (licznością próby).

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

4

Współczynnik korelacji R

yx Nmd

jest bezpośrednio związany z najprostszą, jednoczynnikową

liniową funkcją regresji, wiążącą odchyłki

)

(

Nm

n

y

y

−

z

)

(

d

Nm

d

n

x

x

−

−

−

w sposób minimalizujący

sumę kwadratów błędów

2

n

e

dla n=m-N+d+1, …, m, co można zapisać w postaci:

n

d

Nm

d

n

Nmd

yx

Nm

n

e

x

x

a

y

y

+

−

⋅

=

−

−

−

)

(

,

2

d

xNm

yxNmd

Nmd

yx

d

xNm

yNm

def

Nmd

yx

s

K

R

s

s

a

−

−

=

⋅

=

(3)

W przypadku, gdy opóźnienie d jest równe wyprzedzeniu prognozy, równanie (3) stanowi

najprostszy model 1.rzedu typu ARI lub ARIX [Augustynek 1984a]. Niech s

eNmd

oznacza

dyspersję reszt e

n

modelu (3) w rozważanym oknie (przedziale obserwacji). Można wykazać,

że

2

1

Nmd

yx

yNm

eNmd

R

s

s

−

=

(4)

Zakładając, że model (3) spełnia formalne założenia Gaussa-Markova [Duda, Augustynek

2005], a właściwości statystyczne szeregów pozostaną stałe do chwili n+d, wzór (4) można
wykorzystać do oszacowania efektywności s

eNmd

/s

yNm

formuły predykcyjnej o postaci:

d

Nm

Nm

m

yxNd

d

m

y

x

x

a

y

+

+

+

−

=

)

(

ˆ

(5)

gdzie

d

Nm

y

+

jest średnią odcinaka szeregu Y

Nm+d

, którą można prognozować oddzielnie [Duda,

Augustynek 2005]. Dane w Tabeli 1 pokazują, że R

yxNmd

<0.20 oznacza praktycznie brak korelacji.

Tabela 1. Maksymalna efektywność predykcji odpowiadająca różnym wartościom współczynnika R

yxNmd

Ze względu na czynniki losowe, przydatność estymaty R

yxNmd

dla praktycznych zastosowań

określa poziom jej istotności statystycznej, który można określić relacją:

|R

yxNmd

|

>

R

tN

gdzie

2

2

a

a

tN

t

N

t

R

+

=

∗

(7)

a t

a

jest wartością progową statystyki Studenta dla testowania hipotezy E{a

yxNmd

}=0 (Box

1983, Duda, Augustynek 2005).

Kluczowym problemem estymacji parametrów formuły prognostycznej (3) jest dobór

szerokości okna N. Podstawowym kryterium jest uzyskanie we wzorze (7) poziomu
istotności R

tN

niższego niż minimum przyjętego poziomu korelacji wg wzoru (4) (Tabela I).

Jednakże, liczne prace [Watson 1994] sygnalizują, że światowe szeregi finansowe

zawierają istotne składowe periodyczne. Z naszych analiz wynika, że w ostatniej dekadzie
cykle te mają okres około pięciu lat [Augustynek, Duda-Kękuś 2005a]. W pracy [Duda,
Augustynek 2005] pokazaliśmy, że ze względu na formalne właściwości takich szeregów
estymacja dyspersji i funkcji korelacji winna być prowadzona w oknie obejmującym próbki
z 5.lat. Jest oczywiste, że takie uśrednianie powoduje utratę informacji o istotnych zmianach
właściwości szeregów w okresie do 1 roku, które mogą mieć znaczący wpływ na efektywność
predykcji z wyprzedzeniem kilkumiesięcznym. Niemniej, stałość wartości R

yxNmd

, s

yNm

i s

xNm

obliczonych w ruchomym oknie o takiej szerokości daje podstawy do wnioskowania o
przydatności predyktora (5) dla prognoz kilkumiesięcznych.

R

yxNmd

0.0 0.100 0.200 0.250 0.300 0.500 0.707 0.866 0.900 0.950

s

eNmd

/s

yNm

1.0 0.995 0.980 0.968 0.954 0.866 0.707 0.500 0.436 0.312

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

5

Analiza korelacji szeregów czasowych wymaga przypisania danych konkretnym chwilom

czasu (zwykle ze stałym rozstępem). W związku z tym, istotnym problemem w badaniach
szeregów finansowych jest brak notowań w dniach weekendowych, świątecznych, a także w
stosunkowo częste losowe przerwy w pracy giełd. Problem brakujących danych można
rozwiązać poprzez usunięcie dni weekendowych, i uzupełnienie pozostałych braków metodą
interpolacji liniowej. Uspójnione w ten sposób szeregi można dalej przetwarzać
z wykorzystaniem standartowych procedur numerycznych, ale – jak wykazano w pracy
[Augustynek, Duda-Kękuś 2005] - interpolacja ma wpływ na wyniki analiz korelacyjnych. W
związku z tym w omawianych badaniach zastosowano bardziej odpowiednie podejście, w
którym przetwarza się tylko faktycznie zarejestrowane dane, z uwzględnieniem ich pozycji na
faktycznej osi czasu. W tym celu stworzono szeregi zawierające rekordy odpowiadające
wszystkim dniom w badanym okresie, przy czym na pozycjach brakujących danych (również
weekendowych) wpisano charakterystyczną, nierealnie ujemną wartość (BRAK). Wymagało to
opracowania dedykowanych procedur przetwarzania szeregów, które we wzorach (1) i (2)
pomijają składniki odpowiadające brakom (opcja p

nd

=0). Przyjęto, że przy liczeniu przyrostów

∆y

n

=y

n

−

y

n-d

na pozycji n wstawiana jest wartość BRAK, jeśli y

n

=BRAK. W przypadku, gdy

y

n

−

d

=BRAK przyjęto alternatywnie: ∆y

n

=BRAK lub ∆y

n

= y

n

-y

n-δ

, gdzie n-δ

≤

n-d jest pierwszą

pozycją, na której występuje zarejestrowana dana (liczy się zatem przyrosty pomiędzy
notowaniami odległymi co najmniej o d próbek). Analogicznie obliczone są również wartości
średnie danych w przedziale o długości d.

W analizach danych giełdowych istotną rolę odgrywają miesięczne rozstępy czasu. (okresy

kontraktowania są najczęściej wyrażane w miesiącach). Do takich analiz zastosowano specjalne
procedury wydzielające przedziały miesięczne (z uwzględnieniem zmiennej liczby dni w tym
okresie). Opracowany przez nasz zespół pakiet pracuje w środowisku MATLAB i zawiera
ponadto szereg procedur ułatwiających wydzielanie okresów analizy wg daty, prezentację
graficzną danych spójnych i niespójnych na osi czasu i integrację (synchronizację) szeregów
pozyskanych z różnych źródeł. Posłużył on do wykonania prezentowanych tu wykresów.

3. Omówienie wyników badań

Przedmiotem analiz były zmiany średnich, dyspersji i współczynników korelacji

logarytmicznych przyrostów 6. i 12. miesięcznych, obliczane w oknie 5.letnim dla szeregów
LMECash, LMEStock, SP500 i WTI. Przebiegi czasowe tych wielkości w okresie 10 lat
(z 15.letnich ciągów danych) przedstawiają rysunki 2–6. Dla porównania pokazano również
efekty zastosowania okna o szerokości 1. roku. Jak widać na tych rysunkach, estymaty
jednoroczne są bardzo zmienne i ewidentnie cykliczne, o wahaniach znacznie wykraczających
poza przedział ufności. Ceny miedzi zachowują się przy tym podobnie, jak notowania SP500
i WTI. Wskazuje to na obecność istotnych cykli 5.letnich zmian cen miedzi LME. Istnienie
takich cyklicznych wahań notowań SP500 i WTI stwierdziliśmy w naszych pracach [Duda,
Augustynek 2005] i [Augustynek, Duda-Kękuś 2005a]. Powodują one przede wszystkim dużą
zmienność momentów 2. rzędu (dyspersji – patrz rys.2 i 3 oraz korelacji – patrz rys. 4 i 5),
obliczanych w oknie rocznym, a więc znacznie krótszym niż okres podstawowy cyklu.
W efekcie, model (3) identyfikowany w rocznym przedziale danych nie może być podstawą
wiarygodnego prognozowania wg wzoru (5) z wyprzedzeniem większym niż 1.miesiąc,
a nawet znacznie krótszym. Miarodajnych podstaw do prognozowania dostarczają dopiero

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

6

estymatory wyznaczane w przedziale 5.lat. Rysunki 2 i 3 pokazują, że obliczone w takim
przedziale średnie i dyspersje przyrostów 6. i 12. miesięcznych badanych notowań giełdowych
są praktycznie stałe (LMECash), a przynajmniej łatwo prognozowalne.

Rys.2. Średnie i dyspersje przyrostów 6 miesięcznych w oknach 1.rocznym i 5.letnim.

Rolling mean values (upper rows in row pairs) and dispersions (lower rows) calculated for 6 months returns in 5

years windows (see figure 1 for description of vertical lines).

Rys.3. Średnie i dyspersje logarytmicznych przyrostów 12 miesięcznych w oknach 1.rocznym i 5.letnim.

Rolling mean values (upper rows in row pairs) and dispersions (lower rows) calculated for 12 log months

returns in the 5 years windows (see figure 1 for description of vertical lines).

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

7

Dużą zmienność wykazują natomiast parametry przyrostów zapasów miedzi LME.
Właściwości te są szczególnie wyraźne w okresie ostatnich dwóch lat. Warto zwrócić uwagę,
że zaznaczone na rysunkach dwa wydarzenia globalne nie wpłynęły znacząco na te parametry
notowań giełdowych (estymaty na rok 2005 obejmują efekty zarówno ataku na WTC,
jak i wojny w Iraku). Miały one jednak znaczący wpływ na współczynniki korelacji wzajemnej
pokazane na rysunkach 4–6.

Rysunki te ujawniają bardzo interesujące zmiany globalnych mechanizmów kształtowania

cen miedzi, jak również powiązań gospodarki światowej z rynkiem energii reprezentowanym
tu notowaniami WTI. Szczególnie godne uwagi są przebiegi współczynników korelacji cen
LMECash ze stanem zapasów i wskaźnikiem SP500 w ostatnich 5 latach.

Rys.4. Współczynniki korelacji 6.miesięcznych logarytmicznych przyrostów względnych opóźnionych o

6 miesięcy, obliczane w oknach o szerokości 1.roku i 5.lat. Linie poziome – granice istotności.

Rolling cross-correlations of 6.months log returns delayed by 6.months in 5.years windows. . Horizontal lines–

significance bounds.

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

8

Jak widać na rysunku 4, korelacja przyrostów 6. miesięcznych ze stanem zapasów

(opóźnionym o 6 miesięcy) była bardzo wysoka od początku roku 1999 do końca 2003
(R

yxNmd

≈

0.6). Było to prawdopodobnie spowodowane polityką giełdy LME w okresie głębokiej

dekoniunktury na rynku miedzi, zmierzającą do wyjścia z niekorzystnej sytuacji. Podobnie
wysoką korelację, ale w dłuższym okresie wykazywały też przyrosty roczne (rysunek 5).
W obu przypadkach, od roku 2004 następuje gwałtowny zanik tej współzależności do wartości
nieistotnych w chwili obecnej. Znamienne jest, że w tym samym okresie czasu korelacja
6.miesięcznych przyrostów LMECash ze wskaźnikiem SP500 zwiększa się stopniowo od
poziomu nieistotności w roku 2003 do wartości około 0.5. Warto też zauważyć, że korelacja
wskaźnika SP500 z opóźnioną ceną miedzi jest znacznie niższa. Sugeruje to, że po wyjściu z
okresu dekoniunktury, rynek miedziowy staje się istotnie zależny od globalnej sytuacji
gospodarczej, z opóźnieniem około 6.miesięcznym.

Korelacje przyrostów rocznych z opóźnieniem rocznym mają podobne tendencje, ale w roku

2005 nie wychodzą poza przedział istotności merytorycznej (R

yxNmd

≈

0.2, patrz Tabela I)

Rys.5. Współczynniki korelacji 1.rocznych logarytmicznych przyrostów względnych opóźnionych

o 1 rok, obliczane w oknach o szerokości 1.roku i 5.lat. Linie poziome – granice istotności.

Rolling cross-correlations of 12.months log returns delayed by 12.months. Horizontal lines–significance bounds

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

9

Rysunek 6 przedstawia korelacje przyrostów 6.miesięcznych z opóźnieniem 9.miesięcznym.

Dla takich opóźnień w roku 2003 stwierdziliśmy [Augustynek i in. 2003b] najistotniejsze
powiązania miesięcznych cen miedzi ze stanem zapasów. Widać jednak, że korelacje
przyrostów 6.miesięcznych są tu słabsze niż dla opóźnień 6.miesięcznych, przy czym w roku
2005 są nieistotne.

Rys.6. Współczynniki korelacji 6 i 9.miesięcznych logarytmicznych przyrostów względnych

opóźnionych o 9 miesięcy, obliczane w oknie 5.letnim

Rolling cross-correlations of 6 months log returns delayd by 9.months in 5.years months.

4. Podsumowanie

Przeprowadzone badania wykazują znaczne wahania parametrów statystycznych notowań

cen miedzi na giełdzie LME w ostatnich 15 latach. Szczególnie istotne zmiany nastąpiły po
ataku na WTC i rozpoczęciu wojny w Iraku. Niemniej w ostatnim roku obserwuje się
względną stacjonarność tych parametrów, co daje podstawy do oceny efektywności prognoz z
wyprzedzeniem kilkumiesięcznym.

W okresach dekoniunktury na rynku miedzi ceny te były silnie skorelowane ze stanem

autoryzowanych zapasów giełdy. W miarę poprawy sytuacji korelacja ta ulegała zanikowi, z
równoczesnym wzrostem zależności od wskaźników światowej koniunktury gospodarczej
(reprezentowanej w naszych badaniach wskaźnikiem SP500).

W ostatnim roku korelacje przyrostów rocznych badanych szeregów są w ostatnim roku

nieistotne statystycznie, co oznacza brak możliwości ich prognozowania. Niemniej,
6.miesięczne przyrosty cen LME wykazują istotną i w miarę stałą korelację z SP500 oraz nieco
słabszą, ale istotną  z cenami produktów ropopochodnych (reprezentowanych notowaniami
WTI). Daje to obiecujące perspektywy uzyskania wiarygodnych prognoz z wyprzedzeniem
6.miesięcznym o efektywności s

eNmd

/s

yNm

rzędu 0.76. Nieco gorszych, ale również wiarygod-

nych prognoz można oczekiwać dla wyprzedzenia 9.miesięcznego.

Jan Tadeusz Duda, Andrzej Augustynek, Anna Duda-Kękuś:

Formalne oceny efektywności średniookresowego prognozowania matematycznego cen

miedzi na LME

10

Literatura

[1]. Augustynek A. Duda J.T., Waszkielewicz W. (2003): Mechanizmy kształtowania cen miedzi na

Londyńskiej Giełdzie Metali LME. „VI Międzynarodowa Konferencja Naukowa Ekonomia,
Informatyka, Zarządzanie. Teoria i praktyka”, AGH, Kraków. 2003

[2]. Augustynek A. Klemiato M, Duda J.T. (2003a): Matematyczne prognozowanie cen miedzi na giełdzie

LME. XV Sympozjum n.t.”Zastosowania teorii systemów”, Zakopane, październik 2003.

[3]. Augustynek A. (1984): Prognozirowanije cen miedi na osnowie adaptiwnych mietodow. W

„Naucznyje trudy: Modelirowanie ekonomiczeskich processow”. Moskwa MESI 1984.

[4]. Augustynek A. (1984a): Kratkosrocznoje prognozirowanie cen na mirowych rynkach syriewych

towarow. Praca doktorska, Moskiewski Instytut Ekonomiki Statystyki i Informatyki, Moskwa, 1984

[5]. Augustynek A. Duda J.T., Waszkielewicz W. (2003b): Wykorzystanie technik regresyjnych do

prognozowania cen miedzi na LME. „VI Międzynarodowa Konferencja Naukowa Ekonomia,
Informatyka, Zarządzanie. Teoria i praktyka”, AGH, Kraków, listopad 2003r.

[6]. Box, G. E. P., Jenkins, G. M. (1983): Analiza szeregów czasowych, WNT, Warszawa 1983.
[7]. Copper Quarterly Industry and Market Outlook, 2003 rok.
[8]. Duda J.T., Augustynek A. (2005): A Study of Cross-correlation Nonstationarity of World Economy

Indices and Energy Pricess. [In:] Information Systems and Computational Methods in Management
AGH-UST University Press. Kraków 2005

[9]. Augustynek A. Duda-Kękuś A.(2005): Analysis of word energy prices and stock indices (in Polish)

Application of System Theory. AGH-UST University Press, Series Monographs. Kraków 2005, No.3,
pp 7-18.

[10]. Augustynek A., Duda-Kękuś A. (2005a): Evaluation of Periodic Cycles in World Economy Indices

by Fourier Spectra Analysis. [In:] Information Systems and Computational Methods in Management,
Kraków 2005, pp. 151-161

[11]. Holt, C. C. (1957): Forecasting Trends and Seasonals by Exponentially Weighted Moving Averages,

Carnegie Institute of Technology, Pittsburgh, Pennsylvania, 1957.

[12]. Szeląg T. (2003): Hedging w teorii i praktyce. Przykład światowego rynku miedzi. Wydawnictwo

Przecinek, Wrocław 2003.

[13]. Watson M.W. (1994): Business-Cycle Durations and Postwar Stabilization of the U.S. Economy.

American Economic Review 1994, 84, pp. 24-46.

Formal Evaluation of medium-horizon prediction of lme cooper prices

Keywords:

financial time series prediction, LME cooper prices, rolling correlations of time series

Summary:

Rolling correlations of LME cooper prices with selected World Economy indices during

last 15 years are studied. It was shown that estimation of the series statistical parameters needs
the observation window of 60 months width. Very significant changes of these parameters
during the last decade were revealed. Nevertheless, the study suggests moderately stationary
properties of the series in latest two years. It gives promising perspectives for reliable
prediction of LME cooper prices at 6-12 months ahead, by employing regression techniques.

Przekazano: 30 października 2005 r.(italic, 10 pkt.)