drgania harmoniczne
/ 1
RUCH PERIODYCZNY
Masa na sprężynie
ω
π
/
2
=
T
k
m
T
π
2
=
Wahadło
drgania harmoniczne
/ 1
RUCH PERIODYCZNY
Masa na sprężynie
ω
π
/
2
=
T
k
m
T
π
2
=
Wahadło
drgania harmoniczne
/ 2
DRGANIA HARMONICZNE
swobodne oscylacje
( )
c o s (
)
x t
A
t
ω
ϕ
=
+
różne amplitudy,
A
różne
częstości
kołowe,
ω
różne
fazy
początkowe
ϕ
drgania harmoniczne
/ 3
DRGANIA HARMONICZNE
Potrzebne:
•
siła kierująca F = - kx
•
bezwładność
Równanie ruchu
ma =
−
kx
:
x
m
k
dt
x
d
−
=
2
2
szukamy rozwiązania w postaci :
)
cos(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
Sprawdzenie:
)
cos(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
sin(
)
(
ϕ
ω
ω
+
−
=
t
A
t
v
)
cos(
)
(
2
ϕ
ω
ω
+
−
=
t
A
t
a
)
(
)
(
2
t
x
t
a
ω
−
=
x(t) jest rozwiązaniem pod warunkiem, że
m
k
=
2
ω
stałe A i
ϕ
wyznaczamy z warunków początkowych.
drgania harmoniczne
/ 4
WAHADŁO MATEMATYCZNE
energia potencjalna
przyspieszenie
ds = l d
θ
ds
d
v
l
dt
dt
θ
=
=
2
2
dv
d
a
l
dt
dt
θ
=
=
siła powodująca drgania
F = - mg sin
θ
2
2
sin
d
ml
mg
dt
θ
θ
= −
drgania harmoniczne
/ 5
WAHADŁO MATEMATYCZNE
θ
θ
sin
2
2
l
g
dt
d
−
=
Dla małych kątów szereg Taylora
1
wokół
θ
= 0
.........
!
5
!
3
sin
5
3
+
+
−
=
θ
θ
θ
θ
dla małych
θθθθ
θ
3
<< θ
θ
θ
≈
sin
θ
ω
θ
2
0
2
2
−
=
dt
d
l
g
=
2
0
ω
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
θ
−
=
t
A
t
dla dużych
θθθθ
1
)
(
!
)
(
)
(
0
)
(
0
x
f
n
x
x
x
f
n
n
n
∑
−
=
drgania harmoniczne
/ 6
OBWÓD Z PRĄDEM
obwód LC
L
dI
V
L
dt
= −
2
2
L
d Q
V
L
dt
= −
C
Q
V
C
=
Suma napięć w obwodzie zamkniętym
V
L
+ V
C
= 0
0
1
2
2
=
+
Q
C
dt
Q
d
L
0
1
2
2
=
+
Q
LC
dt
Q
d
Q
dt
Q
d
2
2
2
ω
−
=
LC
1
2
=
ω
drgania harmoniczne
/ 7
SUPERPOZYCJA DRGAŃ
Równanie różniczkowe
0
2
2
2
=
+
x
dt
x
d
ω
jest liniowe i jednorodne. Suma dwóch dowolnych rozwiązań
takiego równania jest też jego rozwiązaniem.
ZASADA SUPERPOZYCJI DRGAŃ
Jeśli ciało podlega jednocześnie kilku drganiom to jego
wychylenie z położenia równowagi jest sumą wychyleń
wynikających z każdego ruchu.
Dwa rozwiązania:
•
dla warunków początkowych
x
1
0
, v
1
0
rozwiązanie
x
1
(t)
•
dla warunków początkowych
x
2
0
, v
2
0
rozwiązanie
x
2
(t)
Jeżeli
x
0
= x
1
0
+ x
2
0
a
v
0
= v
1
0
+ v
2
0
to rozwiązaniem jest
x(t) = x
1
(t) + x
2
(t)
drgania harmoniczne
/ 8
OBRACAJĄCY SIĘ WEKTOR AMPLITUDY
Jeśli wektor o długości A obraca się z prędkością kątową
ω
w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara to
jego rzut na oś x wynosi
)
cos(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
x
drgania harmoniczne
/ 9
SKŁADANIE DRGAŃ
•
drgania przesunięte w fazie
)
cos(
i
i
i
t
A
x
ϕ
ω
+
=
2
1
A
A
A
+
=
)
cos(
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
ϕ
ϕ
−
−
+
=
A
A
A
A
A
x
y
=
ϕ
tg
2
2
1
1
2
2
1
1
cos
cos
sin
sin
tg
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
A
A
A
A
+
+
=
drgania harmoniczne
/ 10
SKŁADANIE DRGAŃ
•
dwa stopnie swobody
- wahadło sferyczne
l
M
−
=
−
=
y
l
Mg
dt
y
d
M
x
l
Mg
dt
x
d
M
2
2
2
2
)
cos(
)
(
1
0
1
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
cos(
)
(
2
0
2
ϕ
ω
+
=
t
A
t
y
gdzie
l
g /
0
=
ω
)
(
ˆ
)
(
ˆ
t
y
y
t
x
x
r
+
=
drgania harmoniczne
/ 11
SKŁADANIE DRGAŃ
•
różne częstości i kierunki
)
cos(
1
1
1
ϕ
ω
+
=
t
A
x
)
cos(
2
2
2
ϕ
ω
+
=
t
A
y
tor punktu mieści się wewnątrz prostokąta 2A
1
, 2A
2
.
figury
Lissajous
drgania harmoniczne
/ 12
SKŁADANIE DRGAŃ
•
Różne częstości i ten sam kierunek
t
A
x
1
1
cos
ω
=
t
A
x
2
2
cos
ω
=
2
cos
2
cos
2
cos
cos
β
α
β
α
β
α
−
+
=
+
2
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
cos
2
cos
cos
2
2
x
x
x
A
t
t
x
A
t
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
+
=
+
+
−
=
⋅
mod
2 cos
cos
ś
r
x
A
t
t
ω
ω
=
⋅
(
)
1
2
1
2
ś
r
ω
ω
ω
=
+
(
)
mod
1
2
1
2
ω
ω ω
=
−
Przy niewielkiej różnicy częstości otrzymujemy
dudnienia.
drgania harmoniczne
/ 13
ANALIZA FOURIERA
Dowolne złożone drganie okresowe o okresie T można
przedstawić
w
postaci
sumy
prostych
drgań
harmonicznych o częstościach kołowych będących
wielokrotnościami podstawowej częstości kołowej
ω
ω
= 2
π
/ T
( )
( )
0
1
( )
[
cos
sin
]
2
n
n
n
a
f t
a
n t
b
n t
ω
ω
∞
=
=
+
+
∑
lub
∑
∞
=
+
+
=
1
0
)
sin(
2
)
(
n
n
n
t
n
A
a
t
f
ϕ
ω
gdzie współczynniki
( )
/ 2
/ 2
2
( ) cos
1,2,3,...
T
n
T
a
f t
n t dt
n
T
ω
−
=
=
∫
( )
/ 2
/ 2
2
( )sin
1,2,3,...
T
n
T
b
f t
n t dt
n
T
ω
−
=
=
∫
drgania harmoniczne
/ 14
ENERGIA DRGAŃ
)
cos(
0
0
ϕ
ω
−
=
t
A
x
)
sin(
0
0
0
ϕ
ω
ω
−
−
=
t
A
v
•
Energia kinetyczna
2
2
1
mv
T
=
)
(
sin
2
1
0
0
2
2
2
0
ϕ
ω
ω
−
=
t
A
m
T
•
Energia potencjalna
2
0
0
2
1
kx
kxdx
dx
F
U
x
x
z
∫
∫
=
=
=
)
(
cos
2
1
0
0
2
2
ϕ
ω
−
=
t
kA
U
k=m
ω
0
2
drgania harmoniczne
/ 15
ENERGIA DRGAŃ
•
Energia kinetyczna (T ≡ E
k
)
)
(
sin
2
1
0
0
2
2
2
0
ϕ
ω
ω
−
=
t
A
m
T
•
Energia potencjalna (U ≡ E
p
)
)
(
cos
2
1
0
0
2
2
ϕ
ω
−
=
t
kA
U
Energia całkowita
)]
(
cos
)
(
[sin
2
1
)
(
0
0
2
0
0
2
2
2
0
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
−
+
−
=
t
t
A
m
t
E
2
2
0
1
2
E
m
A
ω
=
E całkowita jest stała
Zależność od czasu
Zależność od położenia
:
2
2
1
kx
E
p
=
E
k
(x) = E - E
p
(x)
k=m
ω
0
2
drgania harmoniczne
/ 16
WYCHYLENIE Z POŁOŻENIA
RÓWNOWAGI
A