B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
1
www.fotopolis.pl/obrazki/wawa47.jpg
2. Dynamika punktu materialnego.
Zasady dynamiki Newtona
Za ruchy ciał (in. cząstek) są
odpowiedzialne wzajemne
oddziaływania między nimi.
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
1
www.fotopolis.pl/obrazki/wawa47.jpg
2. Dynamika punktu materialnego.
Zasady dynamiki Newtona
Za ruchy ciał (in. cząstek) są
odpowiedzialne wzajemne
oddziaływania między nimi.
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
2
W Arizonie znajduje się krater o średnicy 1200 m
będący pozostałością po uderzeniu w naszą
planetę asteroidy przed 50 tys. lat.
Do podobnego zagrożenia z kosmosu może
dojść w bliższej lub dalszej przyszłości,
bowiem pomiędzy orbitą Marsa a Jowisza krąży
mnóstwo większych i mniejszych asteroid, które
na skutek zderzeń mogą zmieniać swoje tory i
niebezpiecznie zbliżać się ku Ziemi.
Astronomowie nieustannie śledzą takie obiekty i
starają się obliczyć prawdopodobieństwo ich kolizji z
Ziemią.
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
3
Przyciąganie grawitacyjne planet i Słońca zmienia prędkość i
tor asteroidy.
Zderzenie z Ziemią doprowadziłoby do rozpadu asteroidy.
W obu przypadkach miało miejsce oddziaływanie z innymi ciałami.
Miarą oddziaływania jest
siła
.
F
i
i
wyp
F
F
Suma geometryczna wszystkich sił
działających na ciało to siła wypadkowa:
Co wpływa na ruch asteroidy?
Asteroida podlega oddziaływaniom grawitacyjnym, których miarą jest siła grawitacji:
,
ˆ
2
2
1
r
r
m
m
G
F
(
G stała grawitacji, m
1
,m
2
- masy ciał, r odległość miedzy nimi)
Świadectwem występowania oddziaływań między ciałami
są ich skutki, polegające na:
zmianach ruchu,
odkształceniach ciał (statyczne) .
1
F
2
F
3
F
4
F
wyp
F
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
4
Przykłady sił występujących w przyrodzie
Siła grawitacji
r
r
m
m
G
F
ˆ
2
2
1
Siła ciężkości
g
m
F
Siła tarcia kinetycznego
|
|
|
|
N
f
F
Siła działająca na ładunek w
polu elektrycznym
Siła sprężysta
r
k
F
Siła oporu lepkiego
v
b
F
jhon.republika.pl/galeria/ziemia05.jpg
www.school-for-champions.com/science
E
q
F
web.ncf.ca/ch865/graphics/ParabInEFld.jpeg
(
G stała grawitacji, m
1
,m
2
- masy ciał,
r odległość miedzy nimi) , - wersor )
rˆ
(
m - masa ciała, -
przyspieszenie ziemskie)
g
(
f – współczynnik tarcia
kinetycznego, - siła nacisku)
N
(
k – współczynnik sprężystości)
(
b – stała)
(
q – ładunek, - natężenie pola
elektrycznego)
E
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
5
15 X 1997 r. z przylądka Canaveral na Florydzie
została wystrzelona sonda Cassini.
W 2004r. minęła Saturna i wszystko wskazuje
na to, że będzie dalej kontynuować lot poza
układ słoneczny.
2.1. Pierwsza zasada dynamiki Newtona
Po opuszczeniu przez sondę układu
słonecznego możemy przyjąć, że nie podlega
ona żadnym oddziaływaniom.
Jak będzie wyglądać jej ruch?
B. Oleś Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
6
Ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają na niego
żadne siły lub wartość wypadkowej wszystkich sił jest równa
zeru.
Brak oddziaływań
0
a
const
v
Prawo to nie jest spełnione we wszystkich układach odniesienia!
Do ruchu sondy możemy zastosować pierwsze prawo dynamiki.
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
7
2.2. Układy inercjalne.
Brak oddziaływań
Pierwsza zasada dynamiki postuluje istnienie układów inercjalnych.
Istnieje nieskończenie wiele układów inercjalnych,
poruszających się względem siebie jednostajnie i prostoliniowo.
Układ odniesienia, w którym jest słuszna pierwsza zasada dynamiki,
nazywamy
inercjalnym
.
Sonda jako ciało odosobnione
jest układem inercjalnym.
Gdy na sondę działają siły grawitacji planet jej ruch jest zmienny, prędkość nie jest
stała i układ z nią związany jest układem
nieinercjalnym.
Pierwsza zasada nie jest
spełniona.
Np. pewien nieumocowany element pozostaje w spoczynku względem ścianki, gdy
prędkość sondy jest stała. Jeśli zacznie przyspieszać, to element zachowa się jak
pasażer przyspieszającego samochodu.
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
8
Gdy siły działające na próbnik lądujący na Tytanie: siła grawitacji i siła
oporu zrównoważyły się:
,
0
op
g
F
F
to zaczął się on poruszać ruchem jednostajnym prostoliniowym
.
g
F
op
F
Pierwsza zasada dynamiki Newtona, cd.
W styczniu 2005 r. na Tytanie, księżycu
Saturna wylądował próbnik Huyghens,
który odłączył się od Cassini.
B. Oleś Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
9
2.3.Druga zasada dynamiki Newtona
Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się, to ciało porusza się
ruchem zmiennym z przyspieszeniem, którego wartość jest wprost
proporcjonalna do wartości siły wypadkowej, a kierunek i zwrot są
zgodne z kierunkiem i zwrotem siły wypadkowej. Współczynnik
proporcjonalności jest równy odwrotności masy bezwładnej.
Prawo to jest słuszne w układach inercjalnych i dla ciał o stałej masie.
wyp
F
a
m
Ruch asteroidy jest skutkiem oddziaływań grawitacyjnych
z innymi planetami, w sąsiedztwie których przelatuje i ich
satelitami. Jest to ruch zmienny.
Nie można go stosować w przypadku ruchu rakiety Tytan wynoszącej Cassini na orbitę,
bowiem jej masa ulegała zmianie w miarę spalania paliwa w silnikach rakietowych.
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
10
i
i
F
a
m
Stwierdzenie to wyraża
zasadę przyczynowości
(
determinizmu
) mechaniki klasycznej.
Przejaw determinizmu w
otaczającym nas świecie
Ruch ciała, będący rezultatem występujących
oddziaływań, możemy przewidzieć rozwiązując
odpowiednie równania klasycznej dynamiki
opartej na prawach (zasadach) Newtona.
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
11
2.4. Trzecia zasada dynamiki
Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie na siebie, to siła wywierana przez
pierwsze ciało na drugie (siła akcji) jest równa i przeciwnie skierowana
do siły, jaką ciało drugie wywiera na pierwsze (siła reakcji). Siły te nie
równoważą się, gdyż każda jest przyłożona do innego ciała.
R
A
F
F
A
F
g
F
N
F
S
F
S
N
F
F
.
A
F
Siła akcji -
.
R
F
Siła reakcji -
A
N
F
F
Siła nacisku na
powierzchnię Tytana
-
Siła grawitacji Tytana
-
g
F
R
S
F
F
Siła sprężystości
-
Oddziaływania nie mogą rozchodzić się z prędkością większą niż prędkość
światła w próżni c≈300 000 km/s. Wynika stąd ograniczenie trzeciej zasady
dynamiki.
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
12
2.5. Zastosowanie drugiej zasady dynamiki
Podwodna wycieczka zaczyna się od
zanurzenia w morzu, a potem następuje
opadanie w jego głębiny …
Czy potrafimy przewidzieć
ruch nurka?
Zacznijmy od ustalenia jakie
działają na niego siły:
siła ciężkości:
siła wyporu:
siła oporu lepkiego:
v
b
F
o
g
V
F
w
A
g
m
Q
Pamiętasz prawo Archimedesa ?
A następnie zapisujemy drugą
zasadę dynamiki:
.
o
A
F
F
Q
a
m
Z niej możemy wyznaczyć przyspieszenie .
a
(b – stała)
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
13
Na pierwszym wykładzie znając wektor położenia
)
(t
r
t
r
d
d
(t)
v
obliczaliśmy prędkość
i przyspieszenie
.
d
d
t
a
v
Teraz
musimy odwrócić kolejność operacji!
,
/
)
(
m
b
g
V
g
m
a
w
v
Zauważmy, że przyspieszenie nurka jest funkcją prędkości!
)
(
v
a
a
,
0
a
Należy się spodziewać, że dla pewnej prędkości granicznej
gr
v
Przeanalizujmy jego ruch.
Dwie pierwsze siły są stałe, zmienia się tylko siła lepkości.
Od jej wielkości zależy, czy prędkość nurka będzie rosła, czy malała.
i nurek zacznie się poruszać ruchem
jednostajnym prostoliniowym
.
,
/
)
(
b
g
V
g
m
w
gr
v
a następnie prędkość
v
oraz wektor położenia w dowolnej chwili t.
r
Wyznaczamy z drugiej zasady :
a
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
14
Jeśli w momencie zanurzenia wartość prędkości nurka była
równa 0, to dostaniemy:
)
e
1
(
)
(
/ m
bt
t
gr
v
v
gr
v
t
v
Wyrażenie na prędkość nurka do momentu osiągnięcia znajdziemy
całkując równanie
i znając jego prędkość w momencie zanurzenia.
gr
v
)
(t
v
Kolejne całkowanie pozwoli znaleźć
położenie nurka w dowolnej chwili t.
Jak znaleźć ruch ciała, tj. zależność , jeśli znamy
siłę wypadkową działającą na to ciało?
)
(t
r
r
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
15
Druga zasada dynamiki może być zapisana w postaci równania
wektorowego -
równania ruchu Newtona
:
,
,
,
2
2
t
dt
r
d
r
F
dt
r
d
m
,
2
2
dt
r
d
dt
d
a
v
gdzie
t
dt
r
d
r
F
,
,
- siła wypadkowa, która może być
zależna od położenia, prędkości oraz
czasu, np.:
v
v
b
g
V
g
m
F
w
)
(
Jego rozwiązaniem jest funkcja:
,
)
(
)
(
)
(
)
(
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
r
którą można znaleźć całkując równania ruchu, jeśli znane są
warunki początkowe
, tj. w chwili początkowej t
0
znamy:
0
0
)
(
r
t
r
0
0
)
(
v
v
t
i
Znajomość sił działających na cząstkę (inaczej: ciało) i warunków
początkowych ( i w chwili
t
0
) pozwala znaleźć jednoznaczny
opis stanu ruchu cząstki w dowolnej chwili, czyli funkcję .
)
(t
r
0
v
0
r
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
16
m
t
t
F
t
x
x
x
/
)
(
)
(
0
0
v
v
m
t
t
F
t
y
y
y
/
)
(
)
(
0
0
v
v
m
t
t
F
t
z
z
z
/
)
(
)
(
0
0
v
v
)
2
/(
)
(
)
(
)
(
2
0
0
0
0
m
t
t
F
t
t
x
t
x
x
x
v
)
2
/(
)
(
)
(
)
(
2
0
0
0
0
m
t
t
F
t
t
y
t
y
y
y
v
)
2
/(
)
(
)
(
)
(
2
0
0
0
0
m
t
t
F
t
t
z
t
z
z
z
v
o składowych:
Jeśli wypadkowa siła jest stała , mamy do czynienia z
ruchem
jednostajnie przyspieszonym
, a wówczas rozwiązując równanie ruchu
dostajemy wyrażenia na prędkość i wektor położenia:
const
F
m
t
t
F
t
/
)
(
)
(
0
0
v
v
)
2
/(
)
(
)
(
)
(
2
0
0
0
0
m
t
t
F
t
t
r
t
r
v
Rozważmy najprostszy przypadek.
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
17
Przykład
Z balonu unoszonego wiatrem z prędkością
na wysokości
H
wypada jabłko
.
0
v
g
m
a
m
Równanie ruchu:
Ustalamy siły działające na jabłko:
siła ciężkości
)
0
,
,
0
(
mg
g
m
Q
siła oporu powietrza, którą
zaniedbamy, aby uprościć obliczenia
Teraz warunki początkowe w chwili
t
0
=0:
,
)
0
,
0
,
(
0
0
v
v
)
,
,
0
(
0
0
z
H
r
x
z
y
O
.
z
0
H
Zastępujemy równaniami skalarnymi:
,
0
x
ma
,
mg
ma
y
.
0
z
ma
Zwróć uwagę na znak
: i !
g
g
Q
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
18
W kierunku osi x i z nie działają siły – odpowiednio ruch ze stałą
prędkością (ruch jednostajny prostoliniowy) i brak ruchu.
.
)
(
0
t
g
t
v
v
,
)
(
0
v
v t
x
,
)
(
gt
t
y
v
.
0
)
(t
z
v
W kierunku osi y ruch jednostajnie przyspieszony, bo
a
y
= -g
stałe.
A następnie położenie:
k
z
j
gt
H
i
t
t
g
t
r
t
r
0
2
0
2
0
0
)
2
/
(
2
/
)
(
v
v
,
)
(
0
t
t
x
x
v
,
2
/
)
(
2
gt
H
t
y
0
)
(
z
t
z
Torem jabłka w płaszczyźnie z=z
0
jest parabola o równaniu:
Zapamiętaj – każde równanie ruchu, w którym siła
wypadkowa jest stała rozwiązuje się według przedstawionego
wyżej schematu.
Ze wzoru obliczamy prędkość:
,
2
2
2
0
x
g
H
y
v
Analiza ruchu
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
19
Inny przykład stałej siły
k
k
k
f
N
f
T
gdzie
,
współczynnik tarcia
kinetycznego.
N
k
T
s
F
Q
0
F
N
F
s
siła sprężystości podłoża,
s
F
0
F
stała siła działająca na klocek,
Siła wypadkowa w tym przypadku:
k
s
T
F
Q
F
F
0
Równanie ruchu:
k
s
T
F
Q
F
dt
d
m
0
v
Podczas przesuwania jednego ciała po drugim występuje stała siła tarcia
kinetycznego , proporcjonalna do siły wzajemnego nacisku ciał
:
N
k
T
x
y
Wzdłuż osi
x:
Wzdłuż osi
y:
,
0
N
f
F
ma
k
x
,
0
mg
F
s
ruch
jednostajnie przyspieszony
,
jeśli
,
0
N
f
F
k
brak ruchu
.
.
/
)
(
0
m
mg
f
F
a
k
x
http://www.cdxetextbook.com/i
mages/350px-Friction_01m.jpg
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
20
N
f
T
k
k
siła tarcia kinetycznego
N
k
T
s
F
Q
0
F
N
F
s
siła sprężystości podłoża,
s
F
0
F
stała siła działająca na klocek,
Równanie ruchu:
k
s
T
F
Q
F
a
m
0
x
Wzdłuż osi
x:
Wzdłuż osi
y:
,
sin
0
mg
N
f
F
ma
k
x
,
cos
0
mg
F
s
ruch
jednostajnie przyspieszony
,
jeśli
,
0
N
f
F
k
brak ruchu
.
.
/
)
sin
cos
(
(
0
m
f
mg
F
a
k
x
2
F
1
F
2
1
F
F
Q
Podczas przesuwania klocka w górę nachylonej płaszczyzny musimy
rozłożyć siłę ciężkości na składowe: siłę równoległą i normalną
do podłoża.
Q
1
F
2
F
Zastępujemy go przez równania skalarne:
,
1
0
F
N
f
F
ma
k
x
,
2
F
F
ma
s
y
Prędkość i położenie klocka w
obu przypadkach znajdziemy
korzystając z
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
21
Zapisaliśmy równania ruchu dla trzech przypadków
i na ich podstawie dokonaliśmy analizy ruchów.
Podsumowanie
Widzimy, że w przypadku
siły wypadkowej różnej od zera
możemy
mieć do czynienia z ruchem:
zmiennym
– jak ruch nurka do momentu osiągnięcia
prędkości granicznej i wówczas wyznaczenie prędkości oraz
położenia ciała wymaga znajomości metody całkowania równań ruchu;
jednostajnie przyspieszonym
– ruch jabłka w kierunku
pionowym, ruch klocka, a wzory na prędkość i położenie są
stosunkowo proste do zapamiętania (również wynikają z całkowania
równania ruchu!).
gr
v
)
(
v
a
a
const
a
Jeśli
wypadkowa sił równa się zeru
, to ruch jest
ruchem jednostajnym
i prostoliniowym
i takim ruchem zacznie poruszać się nurek,
gdy siła oporu lepkiego zrównoważy siły ciężkości i wyporu; również
podczas rzutów ciał, gdy opory ruchu można zaniedbać, w kierunku
poziomym nie działa żadna siła i ciało w tym kierunku porusza się ze
stałą prędkością.
0
a
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
22
x
z
y
O
.
S
x’
z
’
y’
O
.
S’
u
Transformacja Galileusza
pozwala obliczyć
położenie i prędkość ciała w jednym inercjalnym
układzie odniesienia, jeśli znamy jego położenie
i prędkość w innym układzie inercjalnym.
.
a
a
,
u
v
v
,
t
u
r
r
,
t
t
Czas w obu układach
płynie tak samo.
r
r
Jeśli jeep porusza się ze stałą prędkością względem
beduina, to oba układy odniesienia S i S’ możemy
traktować jako inercjalne.
u
2.6. Zasada względności Galileusza
W układzie S beduina
położenie motolotni
dane wektorem .
r
W układzie S’ jeepa
położenie motolotni
dane wektorem
r
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
23
Zasada względności Galileusza
: Prawa mechaniki są takie
same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
Oznacza to, że nie możemy wyróżnić jakiegoś układu spośród innych
za pomocą eksperymentów mechanicznych i twierdzić, że opis ruchu
ciał jest w nim bardziej poprawny niż w pozostałych.
Jeśli obserwatorzy z obu układów
inercjalnych S i S’ zmierzą jednakowe
przyspieszenia danego ciała, to również
zmierzą jednakową siłę działającą na to
ciało.
Żyroskop, na jego zasadzie opiera
się działanie żyrokompasu
x
z
y
S
x’
z’
y’
S’
u
W każdym układzie inercjalnym, na przycumowanym statku w porcie, czy statku
płynącym po morzu, działanie żyrokompasu podlega tym samym prawom.
B. Oleś
Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
24
Uwaga!
ruch po orbicie okołosłonecznej
– a
S
6 ·10
–3
m/s
2
ruch wirowy
–
a
w
3,34 ·10
–2
m/s
2
i wraz ze Słońcem ruch względem
środka galaktyki – a
G
3 ·10
–10
m/s
2
W warunkach ziemskich układy są tylko w przybliżeniu
inercjalnymi układami odniesienia! Ziemia wykonuje:
i z każdym z tych ruchów związane jest przyspieszenie!
B. Oleś Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
25
jest
górną granicą
rozchodzenia się sygnałów oraz szybkości ciał
i jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia.
Takie są fakty doświadczalne!
Tymczasem z transformacji prędkości
Galileusza wynika coś innego!
Poruszające się z bardzo dużą szybkością piony
0
są nietrwałe i
rozpadają się z emisją promieniowania . Obliczmy z transformacji
Galileusza, jaką szybkość będzie miało promieniowanie w układzie
laboratoryjnym, jeśli jego źródło porusza się z u=0,999 75c.
c
0,999 75c
0,999 75c
0
Zmierzona prędkość
promieniowania
c
laboratorium
x
z
y
2.7. Ograniczenia transformacji Galileusza
B. Oleś Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10
26
Stąd, że żaden sygnał nie może rozchodzić się szybciej niż
c wynika efekt opóźnienia oddziaływań, np. grawitacyjnych
i trudność w stosowaniu trzeciej zasady dynamiki.
Zasada akcji i reakcji wyrażona wzorem
jest słuszna tylko w przybliżeniu małych szybkości
ciał v
<<
c .
R
A
F
F
Widzimy, że transformacja Galileusza nie stosuje się w przypadkach,
gdy ciała poruszają się z wielkimi szybkościami, bliskimi szybkości
światła w próżni, v c.