chem wykład 02

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

1

www.fotopolis.pl/obrazki/wawa47.jpg

2. Dynamika punktu materialnego.
Zasady dynamiki Newtona

Za ruchy ciał (in. cząstek) są
odpowiedzialne wzajemne
oddziaływania między nimi.

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

2

W Arizonie znajduje się krater o średnicy 1200 m
będący pozostałością po uderzeniu w naszą
planetę asteroidy przed 50 tys. lat.

Do podobnego zagrożenia z kosmosu może
dojść w bliższej lub dalszej przyszłości,
bowiem pomiędzy orbitą Marsa a Jowisza krąży
mnóstwo większych i mniejszych asteroid, które
na skutek zderzeń mogą zmieniać swoje tory i
niebezpiecznie zbliżać się ku Ziemi.

Astronomowie nieustannie śledzą takie obiekty i
starają się obliczyć prawdopodobieństwo ich kolizji z
Ziemią.

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

3

Przyciąganie grawitacyjne planet i Słońca zmienia prędkość i

tor asteroidy.

Zderzenie z Ziemią doprowadziłoby do rozpadu asteroidy.

W obu przypadkach miało miejsce oddziaływanie z innymi ciałami.

Miarą oddziaływania jest

siła

.

F

i

i

wyp

F

F

Suma geometryczna wszystkich sił

działających na ciało to siła wypadkowa:

Co wpływa na ruch asteroidy?

Asteroida podlega oddziaływaniom grawitacyjnym, których miarą jest siła grawitacji:

,

ˆ

2

2

1

r

r

m

m

G

F

(

G stała grawitacji, m

1

,m

2

- masy ciał, r odległość miedzy nimi)

Świadectwem występowania oddziaływań między ciałami

są ich skutki, polegające na:

zmianach ruchu,

odkształceniach ciał (statyczne) .

1

F

2

F

3

F

4

F

wyp

F

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

4

Przykłady sił występujących w przyrodzie

Siła grawitacji

r

r

m

m

G

F

ˆ

2

2

1

Siła ciężkości

g

m

F

Siła tarcia kinetycznego

|

|

|

|

N

f

F

Siła działająca na ładunek w

polu elektrycznym

Siła sprężysta

r

k

F

Siła oporu lepkiego

v

b

F

jhon.republika.pl/galeria/ziemia05.jpg

www.school-for-champions.com/science

E

q

F

web.ncf.ca/ch865/graphics/ParabInEFld.jpeg

(

G stała grawitacji, m

1

,m

2

- masy ciał,

r odległość miedzy nimi) , - wersor )

rˆ

(

m - masa ciała, -

przyspieszenie ziemskie)

g

(

f – współczynnik tarcia

kinetycznego, - siła nacisku)

N

(

k – współczynnik sprężystości)

(

b – stała)

(

q – ładunek, - natężenie pola

elektrycznego)

E

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

5

15 X 1997 r. z przylądka Canaveral na Florydzie
została wystrzelona sonda Cassini.

W 2004r. minęła Saturna i wszystko wskazuje
na to, że będzie dalej kontynuować lot poza
układ słoneczny.

2.1. Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Po opuszczeniu przez sondę układu
słonecznego możemy przyjąć, że nie podlega
ona żadnym oddziaływaniom.

Jak będzie wyglądać jej ruch?

background image

B. Oleś Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

6

Ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem

jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają na niego

żadne siły lub wartość wypadkowej wszystkich sił jest równa

zeru.

Brak oddziaływań

0

a

const

v

Prawo to nie jest spełnione we wszystkich układach odniesienia!

Do ruchu sondy możemy zastosować pierwsze prawo dynamiki.

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

7

2.2. Układy inercjalne.

Brak oddziaływań

Pierwsza zasada dynamiki postuluje istnienie układów inercjalnych.

Istnieje nieskończenie wiele układów inercjalnych,

poruszających się względem siebie jednostajnie i prostoliniowo.

Układ odniesienia, w którym jest słuszna pierwsza zasada dynamiki,
nazywamy

inercjalnym

.

Sonda jako ciało odosobnione

jest układem inercjalnym.

Gdy na sondę działają siły grawitacji planet jej ruch jest zmienny, prędkość nie jest
stała i układ z nią związany jest układem

nieinercjalnym.

Pierwsza zasada nie jest

spełniona.
Np. pewien nieumocowany element pozostaje w spoczynku względem ścianki, gdy
prędkość sondy jest stała. Jeśli zacznie przyspieszać, to element zachowa się jak
pasażer przyspieszającego samochodu.

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

8

Gdy siły działające na próbnik lądujący na Tytanie: siła grawitacji i siła
oporu zrównoważyły się:

,

0

op

g

F

F

to zaczął się on poruszać ruchem jednostajnym prostoliniowym

.

g

F

op

F

Pierwsza zasada dynamiki Newtona, cd.

W styczniu 2005 r. na Tytanie, księżycu
Saturna wylądował próbnik Huyghens,
który odłączył się od Cassini.

background image

B. Oleś Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

9

2.3.Druga zasada dynamiki Newtona

Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się, to ciało porusza się

ruchem zmiennym z przyspieszeniem, którego wartość jest wprost

proporcjonalna do wartości siły wypadkowej, a kierunek i zwrot są

zgodne z kierunkiem i zwrotem siły wypadkowej. Współczynnik

proporcjonalności jest równy odwrotności masy bezwładnej.

Prawo to jest słuszne w układach inercjalnych i dla ciał o stałej masie.

wyp

F

a

m

Ruch asteroidy jest skutkiem oddziaływań grawitacyjnych
z innymi planetami, w sąsiedztwie których przelatuje i ich
satelitami. Jest to ruch zmienny.

Nie można go stosować w przypadku ruchu rakiety Tytan wynoszącej Cassini na orbitę,
bowiem jej masa ulegała zmianie w miarę spalania paliwa w silnikach rakietowych.

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

10

i

i

F

a

m

Stwierdzenie to wyraża

zasadę przyczynowości

(

determinizmu

) mechaniki klasycznej.

Przejaw determinizmu w
otaczającym nas świecie

Ruch ciała, będący rezultatem występujących

oddziaływań, możemy przewidzieć rozwiązując

odpowiednie równania klasycznej dynamiki

opartej na prawach (zasadach) Newtona.

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

11

2.4. Trzecia zasada dynamiki

Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie na siebie, to siła wywierana przez

pierwsze ciało na drugie (siła akcji) jest równa i przeciwnie skierowana

do siły, jaką ciało drugie wywiera na pierwsze (siła reakcji). Siły te nie

równoważą się, gdyż każda jest przyłożona do innego ciała.

R

A

F

F

A

F

g

F

N

F

S

F

S

N

F

F

.

A

F

Siła akcji -

.

R

F

Siła reakcji -

A

N

F

F

Siła nacisku na

powierzchnię Tytana

-

Siła grawitacji Tytana

-

g

F

R

S

F

F

Siła sprężystości

-

Oddziaływania nie mogą rozchodzić się z prędkością większą niż prędkość

światła w próżni c≈300 000 km/s. Wynika stąd ograniczenie trzeciej zasady

dynamiki.

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

12

2.5. Zastosowanie drugiej zasady dynamiki

Podwodna wycieczka zaczyna się od

zanurzenia w morzu, a potem następuje

opadanie w jego głębiny …

Czy potrafimy przewidzieć

ruch nurka?

Zacznijmy od ustalenia jakie

działają na niego siły:

siła ciężkości:

siła wyporu:

siła oporu lepkiego:

v

b

F

o

g

V

F

w

A

g

m

Q

Pamiętasz prawo Archimedesa ?

A następnie zapisujemy drugą

zasadę dynamiki:

.

o

A

F

F

Q

a

m

Z niej możemy wyznaczyć przyspieszenie .

a

(b – stała)

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

13

Na pierwszym wykładzie znając wektor położenia

)

(t

r

t

r

d

d

(t)

v

obliczaliśmy prędkość

i przyspieszenie

.

d

d

t

a

v

Teraz

musimy odwrócić kolejność operacji!

,

/

)

(

m

b

g

V

g

m

a

w

v

Zauważmy, że przyspieszenie nurka jest funkcją prędkości!

)

(

v

a

a

,

0

a

Należy się spodziewać, że dla pewnej prędkości granicznej

gr

v

Przeanalizujmy jego ruch.

Dwie pierwsze siły są stałe, zmienia się tylko siła lepkości.

Od jej wielkości zależy, czy prędkość nurka będzie rosła, czy malała.

i nurek zacznie się poruszać ruchem

jednostajnym prostoliniowym

.

,

/

)

(

b

g

V

g

m

w

gr

v

a następnie prędkość

v

oraz wektor położenia w dowolnej chwili t.

r

Wyznaczamy z drugiej zasady :

a

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

14

Jeśli w momencie zanurzenia wartość prędkości nurka była

równa 0, to dostaniemy:

)

e

1

(

)

(

/ m

bt

t

gr

v

v

gr

v

t

v

Wyrażenie na prędkość nurka do momentu osiągnięcia znajdziemy

całkując równanie

i znając jego prędkość w momencie zanurzenia.

gr

v

)

(t

v

Kolejne całkowanie pozwoli znaleźć

położenie nurka w dowolnej chwili t.

Jak znaleźć ruch ciała, tj. zależność , jeśli znamy

siłę wypadkową działającą na to ciało?

)

(t

r

r

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

15

Druga zasada dynamiki może być zapisana w postaci równania
wektorowego -

równania ruchu Newtona

:

,

,

,

2

2

t

dt

r

d

r

F

dt

r

d

m

,

2

2

dt

r

d

dt

d

a

v

gdzie

t

dt

r

d

r

F

,

,

- siła wypadkowa, która może być

zależna od położenia, prędkości oraz

czasu, np.:

v

v

b

g

V

g

m

F

w

)

(

Jego rozwiązaniem jest funkcja:

,

)

(

)

(

)

(

)

(

k

t

z

j

t

y

i

t

x

t

r

r

którą można znaleźć całkując równania ruchu, jeśli znane są

warunki początkowe

, tj. w chwili początkowej t

0

znamy:

0

0

)

(

r

t

r

0

0

)

(

v

v

t

i

Znajomość sił działających na cząstkę (inaczej: ciało) i warunków
początkowych ( i w chwili

t

0

) pozwala znaleźć jednoznaczny

opis stanu ruchu cząstki w dowolnej chwili, czyli funkcję .

)

(t

r

0

v

0

r

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

16

m

t

t

F

t

x

x

x

/

)

(

)

(

0

0

v

v

m

t

t

F

t

y

y

y

/

)

(

)

(

0

0

v

v

m

t

t

F

t

z

z

z

/

)

(

)

(

0

0

v

v

)

2

/(

)

(

)

(

)

(

2

0

0

0

0

m

t

t

F

t

t

x

t

x

x

x

v

)

2

/(

)

(

)

(

)

(

2

0

0

0

0

m

t

t

F

t

t

y

t

y

y

y

v

)

2

/(

)

(

)

(

)

(

2

0

0

0

0

m

t

t

F

t

t

z

t

z

z

z

v

o składowych:

Jeśli wypadkowa siła jest stała , mamy do czynienia z

ruchem

jednostajnie przyspieszonym

, a wówczas rozwiązując równanie ruchu

dostajemy wyrażenia na prędkość i wektor położenia:

const

F

m

t

t

F

t

/

)

(

)

(

0

0

v

v

)

2

/(

)

(

)

(

)

(

2

0

0

0

0

m

t

t

F

t

t

r

t

r

v

Rozważmy najprostszy przypadek.

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

17

Przykład

Z balonu unoszonego wiatrem z prędkością

na wysokości

H

wypada jabłko

.

0

v

g

m

a

m

Równanie ruchu:

Ustalamy siły działające na jabłko:

siła ciężkości

)

0

,

,

0

(

mg

g

m

Q

siła oporu powietrza, którą

zaniedbamy, aby uprościć obliczenia

Teraz warunki początkowe w chwili

t

0

=0:

,

)

0

,

0

,

(

0

0

v

v

)

,

,

0

(

0

0

z

H

r

x

z

y

O

.

z

0

H

Zastępujemy równaniami skalarnymi:

,

0

x

ma

,

mg

ma

y

.

0

z

ma

Zwróć uwagę na znak

: i !

g

g

Q

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

18

W kierunku osi x i z nie działają siły – odpowiednio ruch ze stałą

prędkością (ruch jednostajny prostoliniowy) i brak ruchu.

.

)

(

0

t

g

t

v

v

,

)

(

0

v

v t

x

,

)

(

gt

t

y

v

.

0

)

(t

z

v

W kierunku osi y ruch jednostajnie przyspieszony, bo

a

y

= -g

stałe.

A następnie położenie:

k

z

j

gt

H

i

t

t

g

t

r

t

r

0

2

0

2

0

0

)

2

/

(

2

/

)

(

v

v

,

)

(

0

t

t

x

x

v

,

2

/

)

(

2

gt

H

t

y

0

)

(

z

t

z

Torem jabłka w płaszczyźnie z=z

0

jest parabola o równaniu:

Zapamiętaj – każde równanie ruchu, w którym siła

wypadkowa jest stała rozwiązuje się według przedstawionego

wyżej schematu.

Ze wzoru obliczamy prędkość:

,

2

2

2

0

x

g

H

y

v

Analiza ruchu

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

19

Inny przykład stałej siły

k

k

k

f

N

f

T

gdzie

,

współczynnik tarcia

kinetycznego.

N

k

T

s

F

Q

0

F

N

F

s

siła sprężystości podłoża,

s

F

0

F

stała siła działająca na klocek,

Siła wypadkowa w tym przypadku:

k

s

T

F

Q

F

F

0

Równanie ruchu:

k

s

T

F

Q

F

dt

d

m

0

v

Podczas przesuwania jednego ciała po drugim występuje stała siła tarcia

kinetycznego , proporcjonalna do siły wzajemnego nacisku ciał

:

N

k

T

x

y

Wzdłuż osi

x:

Wzdłuż osi

y:

,

0

N

f

F

ma

k

x

,

0

mg

F

s

ruch

jednostajnie przyspieszony

,

jeśli

,

0

N

f

F

k

brak ruchu

.

.

/

)

(

0

m

mg

f

F

a

k

x

http://www.cdxetextbook.com/i

mages/350px-Friction_01m.jpg

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

20

N

f

T

k

k

siła tarcia kinetycznego

N

k

T

s

F

Q

0

F

N

F

s

siła sprężystości podłoża,

s

F

0

F

stała siła działająca na klocek,

Równanie ruchu:

k

s

T

F

Q

F

a

m

0

x

Wzdłuż osi

x:

Wzdłuż osi

y:

,

sin

0

mg

N

f

F

ma

k

x

,

cos

0

mg

F

s

ruch

jednostajnie przyspieszony

,

jeśli

,

0

N

f

F

k

brak ruchu

.

.

/

)

sin

cos

(

(

0

m

f

mg

F

a

k

x

2

F

1

F

2

1

F

F

Q

Podczas przesuwania klocka w górę nachylonej płaszczyzny musimy

rozłożyć siłę ciężkości na składowe: siłę równoległą i normalną

do podłoża.

Q

1

F

2

F

Zastępujemy go przez równania skalarne:

,

1

0

F

N

f

F

ma

k

x

,

2

F

F

ma

s

y

Prędkość i położenie klocka w

obu przypadkach znajdziemy

korzystając z

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

21

Zapisaliśmy równania ruchu dla trzech przypadków

i na ich podstawie dokonaliśmy analizy ruchów.

Podsumowanie

Widzimy, że w przypadku

siły wypadkowej różnej od zera

możemy

mieć do czynienia z ruchem:

zmiennym

– jak ruch nurka do momentu osiągnięcia

prędkości granicznej i wówczas wyznaczenie prędkości oraz

położenia ciała wymaga znajomości metody całkowania równań ruchu;

jednostajnie przyspieszonym

– ruch jabłka w kierunku

pionowym, ruch klocka, a wzory na prędkość i położenie są

stosunkowo proste do zapamiętania (również wynikają z całkowania

równania ruchu!).

gr

v

)

(

v

a

a

const

a

Jeśli

wypadkowa sił równa się zeru

, to ruch jest

ruchem jednostajnym

i prostoliniowym

i takim ruchem zacznie poruszać się nurek,

gdy siła oporu lepkiego zrównoważy siły ciężkości i wyporu; również

podczas rzutów ciał, gdy opory ruchu można zaniedbać, w kierunku

poziomym nie działa żadna siła i ciało w tym kierunku porusza się ze

stałą prędkością.

0

a

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

22

x

z

y

O

.

S

x’

z

y’

O

.

S’

u

Transformacja Galileusza

pozwala obliczyć

położenie i prędkość ciała w jednym inercjalnym

układzie odniesienia, jeśli znamy jego położenie

i prędkość w innym układzie inercjalnym.

.

a

a

,

u

v

v

,

t

u

r

r

,

t

t

Czas w obu układach

płynie tak samo.

r

r

Jeśli jeep porusza się ze stałą prędkością względem

beduina, to oba układy odniesienia S i S’ możemy

traktować jako inercjalne.

u

2.6. Zasada względności Galileusza

W układzie S beduina

położenie motolotni

dane wektorem .

r

W układzie S’ jeepa

położenie motolotni

dane wektorem

r

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

23

Zasada względności Galileusza

: Prawa mechaniki są takie

same we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.

Oznacza to, że nie możemy wyróżnić jakiegoś układu spośród innych

za pomocą eksperymentów mechanicznych i twierdzić, że opis ruchu
ciał jest w nim bardziej poprawny niż w pozostałych.

Jeśli obserwatorzy z obu układów

inercjalnych S i S’ zmierzą jednakowe

przyspieszenia danego ciała, to również

zmierzą jednakową siłę działającą na to

ciało.

Żyroskop, na jego zasadzie opiera
się działanie żyrokompasu

x

z

y

S

x’

z’

y’

S’

u

W każdym układzie inercjalnym, na przycumowanym statku w porcie, czy statku
płynącym po morzu, działanie żyrokompasu podlega tym samym prawom.

background image

B. Oleś

Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

24

Uwaga!

ruch po orbicie okołosłonecznej

a

S

6 ·10

–3

m/s

2

ruch wirowy

a

w

3,34 ·10

–2

m/s

2

i wraz ze Słońcem ruch względem

środka galaktyki – a

G

3 ·10

–10

m/s

2

W warunkach ziemskich układy są tylko w przybliżeniu
inercjalnymi układami odniesienia! Ziemia wykonuje:

i z każdym z tych ruchów związane jest przyspieszenie!

background image

B. Oleś Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

25

jest

górną granicą

rozchodzenia się sygnałów oraz szybkości ciał

i jest jednakowa we wszystkich układach odniesienia.

Takie są fakty doświadczalne!

Tymczasem z transformacji prędkości

Galileusza wynika coś innego!

Poruszające się z bardzo dużą szybkością piony

0

są nietrwałe i

rozpadają się z emisją promieniowania . Obliczmy z transformacji

Galileusza, jaką szybkość będzie miało promieniowanie w układzie

laboratoryjnym, jeśli jego źródło porusza się z u=0,999 75c.

c

0,999 75c

0,999 75c

0

Zmierzona prędkość

promieniowania

c

laboratorium

x

z

y

2.7. Ograniczenia transformacji Galileusza

background image

B. Oleś Wykład 2 Wydz.Chemii PK, 2009/10

26

Stąd, że żaden sygnał nie może rozchodzić się szybciej niż

c wynika efekt opóźnienia oddziaływań, np. grawitacyjnych

i trudność w stosowaniu trzeciej zasady dynamiki.

Zasada akcji i reakcji wyrażona wzorem

jest słuszna tylko w przybliżeniu małych szybkości

ciał v

<<

c .

R

A

F

F

Widzimy, że transformacja Galileusza nie stosuje się w przypadkach,

gdy ciała poruszają się z wielkimi szybkościami, bliskimi szybkości

światła w próżni, v c.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
WYKŁAD 02 SterowCyfrowe
logika wyklad 02
chem wykład 11
pdf wykład 02 budowa materii, podstawowe prawa chemiczne 2014
013 HISTORIA SZTUKI WCZESNOCHRZEŚCIJAŃSKIEJ I BIZANTYJSKIEJ, WYKŁAD,# 02 10
Młoda Polska WYKŁAD (02 04 2014)
wykład 02 2013
pmp wykład 02 15
wykład& 02 2013
Wykład 2# 02 12
chem wykład 13
2006C16 wyklad 02
EIE wykład 3 - 02.04.2011 r, Ekonomia integracji europejskiej
Drogi i ulice wyklad 02
wykład 3" 02 12

więcej podobnych podstron