Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

 

Wprowadzenie do metody 

elementów skończonych (MES) 

 

materiały do wykładu nr 4a 

 

Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

2 

Wprowadzenie do MES 

Istota MES 

 MES służy do rozwiązywania różnorodnych problemów mechaniki 

(wyznaczanie pól przemieszczeń, naprężeń, temperatury, itp.), dla których 
rozwiązanie ścisłe nie jest możliwe do uzyskania. 

http://www.portusproject.org/ 

http://www.sofistik.gr/fileadmin/_temp_/bridge_2.jpg 

http://www.ara.com/Projects/SVO/popups/weld_geometry.html 

http://www.aecweb.de/bilder/2006/i/0056-sofistik.jpg.htm 

Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

3 

Istota MES 

 Zastąpienie ciągłego kontinuum (zasada wariacyjna typu przemieszczeń 

wirtualnych) obliczeniowym modelem dyskretnym  (równania algebraiczne). 

 

 Aproksymacja funkcji (interpolacja) opisujących zjawiska fizyczne w obszarze 

elementu. 

Wprowadzenie do MES 

 Zapewnienie wiarygodności 

rozwiązań MES wymaga spełnienia 
kryteriów zbieżności metody. 

Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

4 

MES – historia 

 H

RENNIKOFF

 [1941], M

C

H

ENRY

 [1943] 

– kontinuum – opis  kratownicowy                                                                           

(jednowymiarowy), 

 C

OURANT

 [1943] 

– kontinuum podział na skończone kawałki (trójkąty), 

 L

EVY

 [1953] 

– metoda przemieszczeń (sztywności) uogólnienie, 

 T

URNER

, C

LOUGH

, M

ARTIN

, T

OPP

 [1956] 

– połączenie koncepcji dyskretnych 

kawałków i sztywności, 

 C

LOUGH

 [1960] 

– metoda elementów skończonych  

 Z

IENKIEWICZ

, C

HEUNG

 [1965] 

– problemy pola, temperatura i przepływy. 

FRANK by Czesław Branicki 

http://pl.m.wikipedia.org/wiki/Plik:Karta_dziurkowana-80kolumn_Odra1300.jpg 

Wprowadzenie do MES 

Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

5 

MES – aktualnie 

integrowanie systemów MES z systemami do modelowania geometrycznego 
CAD w całość 

wg. Chróścielewski J., Malinowski M., Miśkiewicz M.: Próbne obciążenie mostu przez Wisłę w Puławach. Seminarium Mosty stalowe, Wrocław 2008. 

Wprowadzenie do MES 

Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

6 

MES – składnik projektowania inżynierskiego 

Wprowadzenie do MES 

Kombinacja odpowiednich elementów skończonych pozwala 
stosunkowo wiernie odwzorować w modelu obliczeniowym złożoność 
formy i właściwości konstrukcji inżynierskich oraz zachodzących zjawisk. 

Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

7 

Kroki rozwiązania MES problemu inżynierskiego 

0.     wybór modelu teoretycznego konstrukcji 

(niezależnie od MES) 

        poziom mechaniki, sposób opisu konstrukcji, ciała      i jego brzegu       , 

1. zbudowanie dyskretnego modelu obliczeniowego 

        wybór siatki węzłów i elementów 

Wprowadzenie do MES 

B

B



 Podział dziedziny   z brzegiem       (często jej przybliżeniem     z brzegiem      ) 

na zbiór prostych rozłącznych podobszarów        o brzegu           zwanych 
elementami skończonymi. 

B

B



h

B

h

B



( )

e

B

( )

e

B



( )

1

e

N

h

e

e

B

B

B









Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

8 

 podział dziedziny na elementy skończone wiąże się z jednoczesnym 

doborem węzłów  

Wprowadzenie do MES 

a

x

1, 2,3,...,

a

N



 przykłady elementów skończonych: 

1D                         2D                        3D 

Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

9 

 liczba stopni swobody w węźle elementu zależy od typu konstrukcji                       

i przyjętej teorii  

Wprowadzenie do MES 

 podstawowa klasyfikacja elementów skończonych 

       

kontynualne                            strukturalne 

                prętowe                                   powierzchniowe 

Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

10 

2. Analiza indywidualnych elementów 

Wprowadzenie do MES 

a)   aproksymacja w elementach 

 Zostaje dobrana funkcja aproksymacyjna u

h

(x)

 określająca jednoznacznie 

stan przemieszczeń wewnątrz elementu skończonego w zależności od 
przemieszczeń punktów węzłowych 

1

( )

( )

( )

N

h

i

i

i

u x

u x

N x u









–  wartości węzłowe 

i

u

( )

i

N x

–  funkcje interpolacyjne  
    (funkcje kształtu) 

Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

11 

Wprowadzenie do MES 

 Funkcja aproksymacyjna u

h

(x) 

przyjmuje te same wartości co funkcja 

przybliżana w punktach interpolacji (węzłach elementu) 

 Funkcje interpolacyjne N

i

(x): 

 W MES nazywają się funkcjami kształtu 
 Zazwyczaj są to wielomiany Lagrange’a lub Hermite’a 
 W węzłach muszą spełniać warunek 

1    dla  

( )

0    dla  

a

b

ab

a

b

N

a

b











 





 Wielomian Lagrange'a rzędu p w 

węźle a, gdzie a = 1, 2, …, N+1=p 
ma ogólną postać: 

1

( )

( )

( )

1

( )

N p

b

p

a

b a

a

b

b

r

r

L r

r

r

 













Metody Obliczeniowe 

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska 
B u d o w n i c t w o ,  s e m e s t r  5 ,   r o k  a k a d e m i c k i  2 0 1 3 / 1 4  

Jacek Chróścielewski 

Magdalena Rucka 

12 

Wprowadzenie do MES 

b) Tworzenie macierzy elementowych K

(e)

 

i wektorów obciążeń P

(e)

 oraz ich         

transformacja do układu globalnego  

( )

( )

( )

e

e



u x

N u

– macierz funkcji kształtu 

( )

e

N

( )

( )

( )

( )

e

T

e

e

e

B





K

B CB

( )

e

B

– macierz wiążąca przemieszczenie 
   i odkształcenie 

C

– macierz konstytutywna 

3. Analiza całego układu 
      

utworzenie (agregacja) globalnej macierzy K oraz P,  

      uwzględnienie warunków brzegowych 

4. Rozwiązanie układu równań          

Kq = P 

q = K

-1

P 

5. Wyznaczenie naprężeń, odkształceń 

       w elementach 

( )

( )

( )

e

e



ε x

B u

( )

( )



σ x

Cε x

6. Ocena błędu i weryfikacja rozwiązania