materiały na wykład 2

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Macierzowa metoda przemieszczeń

materiały do wykładu nr 2

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

2

Macierzowa metoda przemieszczeń

Wpływ obciążeń przęsłowych na wektor obciążenia

0

el

j

j

j

j

S

k D

S

Siły przywęzłowe w elemencie powstają:
• na skutek przemieszczeń końców elementu
• jako reakcje od obciążeń przęsłowych

T

j

ik

ik

ki

ki

T

M

T

M

S

0

0

0

0

0

T

j

ik

ik

ki

ki

T

M

T

M

 

S

Równanie równowagi dla elementu obciążonego w przęśle:

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

3

Macierzowa metoda przemieszczeń

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

4

Macierzowa metoda przemieszczeń

Agregacja macierzy sztywności

• Proces budowy globalnej macierzy sztywności układu z macierzy sztywności

poszczególnych elementów.

• W procesie agregacji wykorzystuje się wektory alokacji.

• W wektorach alokacji pamiętane są adresy poszczególnych przemieszczeń

lokalnych.

• W wektorach alokacji uwzględnione są warunki brzegowe.

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

5

Macierzowa metoda przemieszczeń

Agregacja macierzy sztywności i wektora obciążeń

v

i

j

i

v

k

j

k

Element 1

Element 2

Element 3

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

6

Macierzowa metoda przemieszczeń

Agregacja globalnej macierzy sztywności

1

1

1

1

3

2

3

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3

2

3

2

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

12

6

12

6

6

4

6

2

12

6

12

6

6

2

6

4

el

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

k

2

2

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

12

6

12

6

6

4

6

2

12

6

12

6

6

2

6

4

el

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

k

3

3

3

3

3

2

3

2

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

3

2

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

3

3

12

6

12

6

6

4

6

2

12

6

12

6

6

2

6

4

el

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

k

𝐤

1

𝑒𝑙

=

𝐤

2

𝑒𝑙

=

𝐤

3

𝑒𝑙

=

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

7

Macierzowa metoda przemieszczeń

Agregacja globalnego wektora sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych

1

2

1

0

1

1

2

1

2

12

2

12

pL

pL

pL

pL

S

2

0
2

2

2

8

2

8

P

PL

P

PL

 

S

0
3

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

S

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

8

Macierzowa metoda przemieszczeń

Uwzględnianie więzi sprężystych

• W układach konstrukcyjnych oprócz podpór sztywnych występują podpory sprężyste.
• Zwykle zakłada się, że siła w podporze sprężystej jest wprost proporcjonalna

do przemieszczenia.

• Podpory sprężyste charakteryzuje sztywność:

 sztywność podpór liniowych k

x

, k

y

[kN/m],

 sztywność podpór obrotowych k

j

[kNm/rad].

Rys. Tomasz Musiał
Obiekty mostowe z przyczółkami zintegrowany
mi - cz. I
Inżynier budownictwa, 2012-05-10

Rys. Piotr Iwicki

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

9

Macierzowa metoda przemieszczeń

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

10

Macierzowa metoda przemieszczeń

Macierzowa metoda przemieszczeń (MMP)

• Niewiadomymi są uogólnione przemieszczenia
• Najprostszym przypadkiem MMP jest Bezpośrednia Metoda Przemieszczeń

(BMP), w której stosuje się element belkowy macierzy sztywności o pełnym
komplecie więzów, co wiąże się z koniecznością zakwalifikowania obrotów
w przegubach wewnętrznych oraz podporach przegubowych jako
niewiadomych.

3

2

3

2

2

2

3

2

3

2

2

2

12

6

12

6

6

4

6

2

12

6

12

6

6

2

6

4

el

j

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

 

k

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

11

Macierzowa metoda przemieszczeń

Algorytm MMP

1. Dyskretyzacja układu
2. Określenie wektora przemieszczeń węzłowych
3. Określenie wektora obciążeń węzłowych

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

12

Macierzowa metoda przemieszczeń

Algorytm MMP

4. Zestawienie wektorów alokacji

v

i

j

i

v

k

j

k

Element 1

Element 2

Element 3

Element 4

Element 5

Element 6

Element 7

Element 8

Element 9

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

13

Macierzowa metoda przemieszczeń

Algorytm MMP

5. Utworzenie dla każdego elementu j

 macierzy sztywności
 wektorów sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych


6. Agregacja globalnej macierzy sztywności układu z macierzy sztywności

poszczególnych elementów

7. Agregacja globalnego wektora obciążeń węzłowych od obciążeń

przęsłowych z poszczególnych wektorów sił przywęzłowych od obciążeń
przęsłowych

8. Obliczenie sumarycznego wektora obciążeń węzłowych

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

14

Macierzowa metoda przemieszczeń

Algorytm MMP

9. Rozwiązanie macierzowego równania równowagi

10. Wykonanie dla każdego elementu j

 utworzenie wektora przemieszczeń przywęzłowych

z odpowiednich elementów globalnego wektora przemieszczeń


 obliczenie sił przywęzłowych


background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

15

Macierzowa metoda przemieszczeń

Kondensacja i modyfikacja macierzy sztywności

W praktycznych zadaniach dla określonych elementów mogą wystąpić:

• zerowe elementy wektora

przemieszeń przywęzłowych

• zerowe elementy wektora sił

przywęzłowych

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

16

Macierzowa metoda przemieszczeń

Modyfikacja macierzy sztywności

Proces modyfikacji:
• ma miejsce przy występowaniu w węzłach więzów geometrycznych
• polega na usunięciu z wyjściowej macierzy sztywności wierszy i kolumn

odpowiadających zerowym przemieszczeniom końców elementu

j

j

j

S

k D

*

*

*

r

T

r

r

rr

r

  

 

  

 

  

 

  

 

S

k

k

D

S

k

k

D

*

*

*

S

k D

*

T

r

r

S

k D

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

17

Macierzowa metoda przemieszczeń

Kondensacja macierzy sztywności

Proces kondensacji:
• ma miejsce przy występowaniu zerowych sił wewnętrznych w węzłach
• proces wyznaczania macierzy sztywności elementu o niektórych więzach

zwolnionych polegający na przekształceniu macierzy sztywności pręta
o komplecie więzów łączących go z węzłami

j

j

j

S

k D

'

'

11

12

2

21

22

2

  

 

  

 

  

 

  

 

S

k

k

D

S

k

k

D

'

'

11

12

2

'

2

21

22

2

 



S

k D

k D

S

k D

k D

0

1

'

2

22

21

 

D

k k D

'

'

1

'

11

12

22

21

S

k D

k k k D

'

1

'

11

12

22

21

S

k

k k k

D

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

18

Macierzowa metoda przemieszczeń

Kondensacja macierzy sztywności

3

2

3

2

2

2

3

2

3

2

2

2

12

6

12

6

6

4

6

2

12

6

12

6

6

2

6

4

EI

EI

EI

EI

l

l

l

l

EI

EI

EI

EI

l

l

l

l

EI

EI

EI

EI

l

l

l

l

EI

EI

EI

EI

l

l

l

l

 

k

Kondensacja względem

i

j

1

11

12

22

21

'

k

k

k k k

3

3

2

11

3

3

2

2

2

12

12

6

12

12

6

6

6

4

EI

EI

EI

l

l

l

EI

EI

EI

l

l

l

EI

EI

EI

l

l

l

 

k

2

12

2

6

6

2

EI

l

EI

l

EI

l

 

k

21

2

2

6

6

2

EI

EI

EI

l

l

l

 

k

22

4EI

l

 

k

3

3

2

2

3

3

2

3

3

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

12

12

6

6

3

3

3

12

12

6

6

6

6

2

3

3

3

'

4

6

6

4

2

3

3

3

EI

EI

EI

EI

EI

EI

EI

l

l

l

l

l

l

l

EI

EI

EI

EI

l

EI

EI

EI

EI

EI

EI

l

l

l

l

EI

l

l

l

l

l

l

EI

EI

EI

EI

EI

EI

EI

l

l

l

l

l

l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

v

k

f

k

f

i

v

i

v

k

f

i

v

i

v

k

f

k

v

i

v

k

f

k

f

i

v

i

v

k

f

i

v

i

v

k

f

k

v

i

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

19

Macierzowa metoda przemieszczeń

Modyfikacja i kondensacja macierzy – podsumowanie

kondensacja

modyfikacja

*

*

*

S

k D

'

'

'

S

k D

3

2

3

2

2

3

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

ik

i

ik

i

ki

k

EI

EI

EI

l

l

l

T

v

EI

EI

EI

M

l

l

l

T

v

EI

EI

EI

l

l

l

j

 

 

 

 

 

3

2

2

2

2

12

6

6

6

4

2

6

2

4

ik

i

ik

i

ki

k

EI

EI

EI

l

l

l

T

v

EI

EI

EI

M

l

l

l

M

EI

EI

EI

l

l

l

j

j

 

 

 

 

 


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PSYCHOLOGIA SPOLECZNA materiały na wykłady, WSFiZ, psychlogia społeczna
materiały na wykład 4a
materiały na wykład 3
Grzyby uprawne + materiały na wykłady, wydział leśny, UBOT
materialy na wyklad 6a id 28522 Nieznany
materiały na wykład 5
materialy na wyklad 6b id 28523 Nieznany
materialy na wyklad 1 id 285225 Nieznany
popityka stabilizacyjna, uczelnia WSEI Lublin, UCZELNIA WSEI 2 1, ekonomia 2rok 4 semestr, makro, po
materiały na wykład 4b
Inzynieria środowiska zaoczne materiały na wykład
materialy na diagnoze, Wyklad VI diagnoza
POLITYKA SPOLECZNA wyklad 8 maja, uczelnia WSEI Lublin, UCZELNIA WSEI, MATERIAŁY NA EGZAMIN 2 semest
Rezerwy na świadczenia pracownicze - materiały do wykladu 2014, UE KATOWICE ROND, I stopień, VI seme
Pytania na Bilskiego, Podręczniki i materiały dydaktyczne, wykłądy, finanse międzynarodowe
fin i rach wyklady letni 2012 LISTA 4, Materiały na studia ZIP, I Rok, Finanse
Zagadnienia na egzamin z Gutka, ZUT-Energetyka-inżynier, III Semestr, Wytrzymałość materiałów II, Wy
Zaliczenie z biofizyki- wykłady 2008, far, biofizyka, egzamin, materiały na ćwiczenia

więcej podobnych podstron