materiały na wykład 3

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

Macierzowa metoda przemieszczeń

materiały do wykładu nr 3

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

2

Macierzowa metoda przemieszczeń

Transformacja układu współrzędnych

• Dla elementów nachylonych pod dowolnym kątem konieczna jest ich

transformacja do globalnego układu współrzędnych

• Macierzowe równanie równowagi dla elementu

zapisane jest w lokalnym układzie współrzędnych

• Macierzowe równanie równowagi układu

zapisane jest w globalnym układzie współrzędnych

• Zamiana układu lokalnego na globalny na poziome elementu wiąże się

z transformacją macierzy sztywności i wektorów obciążeń

• Transformację wykonuje się poprzez macierz transformacji z układu

globalnego do lokalnego

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

3

Macierzowa metoda przemieszczeń

cos

sin

u

u

v

XY

– układ globalny

x

y

– układy lokalny

sin

cos

v

u

v

 

u

c

s

u

v

s

c

v

  

  

 

 

  

  

cos

sin

c

s

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

4

Macierzowa metoda przemieszczeń

T

j

a

a

b

b

u

v

u

v

D

T

j

a

a

b

b

u

v

u

v

D

0

0

0

0

0

0

0

0

a

a

a

a

b

b

b

b

u

u

c

s

v

v

s

c

u

u

c

s

v

v

s

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

j

j

D

L D

T

j

j

j

D

L D

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

5

Macierzowa metoda przemieszczeń

j

j

j

S

L S

0

j

j

j

j

S

k D

S

0

j

j

j

j

j

L S

k D

S

j

j

j

D

L D

0

j

j

j

j

j

j

j

L S

k L D

L S

1

1

1

0

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

L L S

L k L D

L L S

0

T

j

j

j

j

j

j

S

L k L D

S

0

j

j

j

j

S

k D

S

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

6

Macierzowa metoda przemieszczeń

Algorytm BMP – ogólny

1. Dyskretyzacja układu

2. Zestawienie wektora przemieszczeń węzłowych

3. Zestawienie wektora obciążeń węzłowych

4. Zestawienie cech elementów, wektorów alokacji

5. Utworzenie dla każdego elementu j

 lokalnej macierzy sztywności

 wektorów sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych

 transformacja macierzy sztywności do układu globalnego

 transformacja wektorów sił do układu globalnego

T

j

j

j

j

k

L k L

j

k

0

j

S

0

0

T

j

j

j

S

L S

R

q

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

7

Macierzowa metoda przemieszczeń

Algorytm BMP – ogólny

6. Agregacja macierzy do macierzy globalnej

7. Agregacja wektora do wektora

8. Rozwiązanie macierzowego układu równowagi

9. Obliczenia dla każdego elementu j

 ekstrakcja z globalnego wektora przemieszczeń

wektora przemieszczeń końców elementów

 transformacja do układu lokalnego

 obliczenie sił przywęzłowych

0

  

Kq

P

R

R

j

D

j

j

j

D

L D

0

j

j

j

j

S

k D

S

j

k

K

0

j

S

0

R

1

q

K P

q

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

8

Macierzowa metoda przemieszczeń

Element prętowy

i

i

k

k

EA

EA

N

u

L

L

N

u

EA

EA

L

L

 

 

 

 

1

1

1

1

j

EA

L

k

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

9

Macierzowa metoda przemieszczeń

Element kratownicy 2D

1

0

1 0

0

0

0

0

0

1 0

1

0

0

0

0

0

0

a

a

a

a

a

b

b

b

b

b

N

u

N

T

v

EA

N

u

N

L

T

v

 

 

  

  

  

  

 

1

0

1 0

0

0

0

0

1 0

1

0

0

0

0

0

j

EA

L

k

0

0

0

0

0

0

0

0

j

c

s

s

c

c

s

s

c

L

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

10

Macierzowa metoda przemieszczeń

1

1

1

1

j

EA

L

k

3

2

3

2

2

2

3

2

3

2

2

2

0

0

0

0

12

6

12

6

0

0

6

4

6

2

0

0

0

0

0

0

12

6

12

6

0

0

6

2

6

4

0

0

j

EA

EA

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EA

EA

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

 

k

3

2

3

2

2

2

3

2

3

2

2

2

12

6

12

6

6

4

6

2

12

6

12

6

6

2

6

4

j

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

 

k

Element ramowy 2D

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

11

Macierzowa metoda przemieszczeń

Element ramowy 2D

T

j

a

a

a

b

b

b

u

v

u

v

D

T

j

a

a

a

b

b

b

u

v

u

v

D

cos

sin

sin

cos

a

a

a

a

a

a

a

a

u

u

v

v

u

v

 

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

u

u

c

s

v

v

s

c

u

u

c

s

v

v

s

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

12

Macierzowa metoda przemieszczeń

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

13

Macierzowa metoda przemieszczeń

Element ramowy 2D – przykład

 wektor przemieszczeń węzłowych

1

2

3

T

u

v

q

 wektor obciążeń węzłowych

0

0

0

T

R

 tablica cech elementów

 wektory alokacji

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

14

Macierzowa metoda przemieszczeń

 lokalne macierze sztywności poszczególnych elementów

(ke_frame)

1

1

3

2

3

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

3

2

3

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

0

0

0

0

12

6

12

6

0

0

6

4

6

2

0

0

0

0

0

0

12

6

12

6

0

0

6

2

6

4

0

0

EA

EA

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EA

EA

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

 

k

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

0

0

0

12

6

12

6

0

0

6

4

6

2

0

0

0

0

0

0

12

6

12

6

0

0

6

2

6

4

0

0

EA

EA

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EA

EA

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

EI

EI

EI

EI

L

L

L

L

 

k

0 0 0 1 2 3

1 2 3 0 0 0

k1 =
2.2188e+006 0 0 -2.2188e+006 0 0
0 51.203 92.308 0 -51.203 92.308
0 92.308 221.88 0 -92.308 110.94
-2.2188e+006 0 0 2.2188e+006 0 0
0 -51.203 -92.308 0 51.203 -92.308
0 92.308 110.94 0 -92.308 221.88


k2 =
2e+006 0 0 -2e+006 0 0
0 37.5 75 0 -37.5 75
0 75 200 0 -75 100
-2e+006 0 0 2e+006 0 0
0 -37.5 -75 0 37.5 -75
0 75 100 0 -75 200

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

15

Macierzowa metoda przemieszczeń

 macierze transformacji

(LT)

T1 =
0.5547 0.83205 0 0 0 0
-0.83205 0.5547 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.5547 0.83205 0
0 0 0 -0.83205 0.5547 0
0 0 0 0 0 1

T2 =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

cos(

)

sin(

)

0

0

0

0

sin(

)

cos(

)

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

cos(

)

sin(

)

0

0

0

0

sin(

)

cos(

)

0

0

0

0

0

0

1

 

T

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos(

)

sin(

)

0

0

0

0

sin(

)

cos(

)

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

cos(

)

sin(

)

0

0

0

0

sin(

)

cos(

)

0

0

0

0

0

0

1

 

T

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

16

 transformacja macierzy elementowych do układu globalnego

 

1

1

1 1

T

k

T

k T

 

2

2

2

2

T

k

T

k T

k1_g =
6.8274e+005 1.024e+006 -76.805 -6.8274e+005 -1.024e+006 -76.805
1.024e+006 1.5361e+006 51.203 -1.024e+006 -1.5361e+006 51.203
-76.805 51.203 221.88 76.805 -51.203 110.94
-6.8274e+005 -1.024e+006 76.805 6.8274e+005 1.024e+006 76.805
-1.024e+006 -1.5361e+006 -51.203 1.024e+006 1.5361e+006 -51.203
-76.805 51.203 110.94 76.805 -51.203 221.88

k2_g =
2e+006 0 0 -2e+006 0 0
0 37.5 75 0 -37.5 75
0 75 200 0 -75 100
-2e+006 0 0 2e+006 0 0
0 -37.5 -75 0 37.5 -75
0 75 100 0 -75 200

 agregacja macierzy elementowych do globalnej macierzy sztywności

2

1

j

j

K

k

K =
2.6827e+006 1.024e+006 76.805
1.024e+006 1.5361e+006 23.797
76.805 23.797 421.88

Macierzowa metoda przemieszczeń

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

17

 wektory sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych

S10 =
0
0
0
0
0
0

S20 =
0
-16
-10.667
0
-16
10.667

0

1

0

0

0

0

0

0

T

S

2

2

0

2

2

2

2

2

0

0

2

12

2

12

T

pL

pL

pL

pL

S

Macierzowa metoda przemieszczeń

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

18

 transformacja wektorów sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych do układu globalnego

S10_g =
0
0
0
0
0
0

S20_g =
0
-16
-10.667
0
-16
10.667

 

0

0

1

1

1

T

S

T

S

 

0

0

2

2

2

T

S

T

S

 agregacja wektora sił przywęzłowych od obciążeń przęsłowych do globalnego wektora R

0

2

2

0

0

0

1

1

T
j

j

j

j

j

R

T S

S

Ro =
0
-16
-10.667

Macierzowa metoda przemieszczeń

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

19

 rozwiązanie układu równań Bezpośredniej Metody Przemieszczeń

0

1

=

Kq

P

P R

R

q

K P

q =
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284

 ekstrakcja wektorów przemieszczeń końców elementu z wektora przemieszczeń globalnych q

1

1

2

3

0

0

0

T

u

v

D

2

1

2

3

0

0

0

T

u

v

D

D1_g =
0
0
0
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284


D2_g =
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284
0
0
0

Macierzowa metoda przemieszczeń

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

20

 transformacja wektorów przemieszczeń końców elementów do układów lokalnych

1

1

1

D

T D

2

2

2

D

T D


D1 =
0
0
0
8.3403e-006
1.2895e-005
0.025284


D2 =
-6.1032e-006
1.4093e-005
0.025284
0
0
0

Macierzowa metoda przemieszczeń

background image

Metody Obliczeniowe

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4

Magdalena Rucka

21

 przywęzłowe siły przekrojowe w poszczególnych elementach

0

1

1

1

1

S

k D

S

0

2

2

2

2

S

k

D

S

S1 =
-18.505
2.3332
2.8038
18.505
-2.3332
5.6088


S2 =
-12.206
-14.103
-5.6088
12.206
-17.897
13.196

Macierzowa metoda przemieszczeń


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PSYCHOLOGIA SPOLECZNA materiały na wykłady, WSFiZ, psychlogia społeczna
materiały na wykład 4a
materiały na wykład 2
Grzyby uprawne + materiały na wykłady, wydział leśny, UBOT
materialy na wyklad 6a id 28522 Nieznany
materiały na wykład 5
materialy na wyklad 6b id 28523 Nieznany
materialy na wyklad 1 id 285225 Nieznany
popityka stabilizacyjna, uczelnia WSEI Lublin, UCZELNIA WSEI 2 1, ekonomia 2rok 4 semestr, makro, po
materiały na wykład 4b
Inzynieria środowiska zaoczne materiały na wykład
materialy na diagnoze, Wyklad VI diagnoza
POLITYKA SPOLECZNA wyklad 8 maja, uczelnia WSEI Lublin, UCZELNIA WSEI, MATERIAŁY NA EGZAMIN 2 semest
Rezerwy na świadczenia pracownicze - materiały do wykladu 2014, UE KATOWICE ROND, I stopień, VI seme
Pytania na Bilskiego, Podręczniki i materiały dydaktyczne, wykłądy, finanse międzynarodowe
fin i rach wyklady letni 2012 LISTA 4, Materiały na studia ZIP, I Rok, Finanse
Zagadnienia na egzamin z Gutka, ZUT-Energetyka-inżynier, III Semestr, Wytrzymałość materiałów II, Wy
Zaliczenie z biofizyki- wykłady 2008, far, biofizyka, egzamin, materiały na ćwiczenia

więcej podobnych podstron