1

Twierdzenia graniczne i statystyki z próby

Zadanie 1
Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,1. Które z poniższych zdarzeń jest
bardziej prawdopodobne:
a)

spośród 4 klientów przynajmniej 1 zgłosi reklamację,

b)

spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób? Proszę uzasadnić metodę
rozwiązania.

Zadanie 2
Ostatnie badania przeprowadzone w Wielkiej Brytanii wykazały, że 7 na 10 Brytyjczyków żyje w
ciągłym stresie. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że w grupie 500 Brytyjczyków znajdzie
się:
a)

od 300 do 350 osób “zestresowanych”;

b)

od 370 do 410 osób “zestresowanych”;

c)

udział „zestresowanych” będzie większy niż 0,6.

Zadanie 3
Dobowy czas snu dorosłej osoby jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(8 godz.; 1 godz.).
Załóżmy, że rozkład ten jest identyczny dla wszystkich osób dorosłych. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że
a)

łączny czas snu grupy 120 osób dorosłych w ciągu 1 doby przekroczył 1000 godzin.

b)

czas snu grupy 300 osób wyniósł w sumie od 2200 do 2500 godzin.

c)

grupa 300 osób spędziła we śnie w ciągu jednej doby w sumie od 2600 do 2800 godzin.

d)

w grupie 100 osób średni czas snu na dobę wyniesie od 8 do 9 godzin.

Zadanie 4
W Urzędzie ds. Walki z Biurokracją pracuje 900 osób. Każda z nich pisze średnio 40 notatek
służbowych w miesiącu, przy wariancji 49 notatek

2

. Rozkład liczby notatek w miesiącu jest taki sam

dla każdego pracownika. Za każdą notatkę pracownik płaci karę 10 zł. Obliczyć i zinterpretować
prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu łączna wartość zapłaconych kar będzie
mniejsza niż 347 400.

Zadanie 5
Prędkość czytania u dorosłego człowieka jest zmienną losową, gdzie E(X)=200 (słów na minutę) oraz
D(X)=40 (słów na minutę). Załóżmy, że rozkład niezależnych zmiennych X

k

jest identyczny dla

wszystkich dorosłych. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przeciętna prędkość czytania (na jedną
osobę) w grupie 200 dorosłych osób będzie się zawierała w przedziale 195-203 słów na minutę.

Zadanie 6
Dzienne przychody ze sprzedaży pasty do zębów są zmienną losową o wartości oczekiwanej równej
4000 zł i odchyleniu standardowym stanowiącym 50% poziomu wartości oczekiwanej. Rozkład tej
zmiennej losowej jest jednak nieznany. Oblicz, jeśli jest to możliwe, prawdopodobieństwo, że w
przeciągu 100 losowo wybranych dni przeciętne przychody ze sprzedaży pasty będą zawierać się w
przedziale 3800-4500 zł. Uzasadnij sposób rozwiązania.

Zadanie 7
Zakład ubezpieczeń Poli S.A. zatrudnia 400 agentów (ubezpieczeniowych). Liczba klientów
zdobywanych przez każdego z nich miesięcznie ma jednakowy rozkład z wartością oczekiwaną 50
klientów i wariancją 100 klientów

2

. Za każdego zdobytego klienta zakład wypłaca premię 25 zł.

Obliczyć i zinterpretować prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu wartość
wypłaconych premii przekroczy 525 tys. zł.

2

Zadanie 8
Wartość jednorazowych zakupów dokonywanych przez mieszkańca osiedla w najbliższym
supermarkecie jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(38,5 zł; 9 zł). Jeśli w ciągu dnia
supermarket odwiedza 500 mieszkańców osiedla, to jak często obrót ten przekracza 25 000 zł?

Zadanie 9
Waga produkowanych w zakładzie mleczarskim kostek masła ma rozkład normalny z wartością
oczekiwaną 20 dag i odchyleniem standardowym 0,8 dag. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a)

waga wybranej kostki masła będzie mieścić się w przedziale od 19,5 do 20,5 dag?

b)

w losowej próbie 40 kostek masła średnia waga kostki masła przekroczy 20,3 dag?

Zadanie 10
Miesięczne zużycie energii elekt.(kWh) w rodzinach czteroosobowych ma rozkład N(300,100).
Obliczyć prawdopodobieństwo:
a) zużycia ponad 450 kWh w miesiącu przez losowo wybraną rodzinę czteroosobową.
b) że wśród 25 losowo wybranych rodzin średnie zużycie energii będzie niższe niż 320 kWh.

Zadanie 11
Przypuszcza się , że czas eksploatacji komputerów (w latach) jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym N (6;1,2)
a)

Podać prawdopodobieństwo, że losowo wybrany komputer będzie eksploatowany krócej niż 5 lat
i jeden kwartał.

b)

Zaznaczyć obliczone w p. a) prawdopodobieństwo na wykresie funkcji gęstości oraz dystrybuanty
rozkładu normalnego.

c)

Jaki czas pracy ma 80% komputerów najszybciej wycofanych z eksploatacji?

d)

Wiedząc, że komputery stoją w pracowniach po 16 sztuk, odpowiedzieć, jakie jest
prawdopodobieństwo, że średni czas eksploatacji komputerów w losowo wybranej pracowni
przekroczy 6,5 roku

Zadanie 12
Rozkład obrotów przedsiębiorstw pewnej branży jest normalny, z odchyleniem standardowym
równym 2 mln zł. Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnie obroty w 40-elementowej próbie
przedsiębiorstw będą się różniły od średniej w populacji o:
a)

mniej niż 0,8 mln zł?

b)

więcej niż 0,5 mln zł?

Zadanie 13
Na podstawie danych o wysokości opłat (€) za wizytę u lekarza internisty w krajach Unii Europejskiej
ustalono, że rozkład opłat był zgodny z rozkładem normalnym o przeciętnej równej 33,68 €.
a) Określ typ rozkładu średniej opłaty dla 9 losowo wybranych krajów, jeśli dodatkowo wiadomo, że
w grupie tych krajów nieobciążone odchylenie standardowe wyniosło 23,10€.
b) Oblicz P(

)

48

9

>

x

. Wynik zilustruj graficznie.

Zadanie 14
Trener (a zarazem miłośnik statystyki) oświadczył trójskoczkowi, że pojedzie na olimpiadę do Pekinu,
jeśli będzie skakał daleko i regularnie tzn. spełni dwa poniższe warunki:
a)

ś

redni wynik wśród 25 losowo wybranych skoków w sezonie nie będzie niższy niż 16,32 m

b)

rozrzut wyników (mierzony odchyleniem standardowym) wśród losowo wybranych 25 skoków nie
przekroczy 0,38 m.

Który z warunków łatwiej będzie spełnić trójskoczkowi, jeśli rozkład jego wyników jest N(16,2 ; 0,5)

3

Zadanie 15
W rozgrywkach sportowych można zdobyć maksymalnie 50 punktów, przy czym rozkład liczby
punktów zdobytych przez pojedynczego gracza ma wartość oczekiwaną 30 i odchylenie standardowe
5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a)

drużyna licząca 30 graczy zdobędzie wspólnie ponad 1000 punktów?

b)

ś

rednia liczba punktów zdobytych przez 30 graczy jest większa niż 32.

Zadanie 16
W wyniku obserwacji rocznych wydatków na książki mieszkańców miast i mieszkańców wsi
stwierdzono, że mieszkańcy miast wydają na książki przeciętnie 500 zł rocznie z odchyleniem
standardowym 100zł , natomiast mieszkańcy wsi 350 zł z odchyleniem standardowym 50zł. Pobrano
niezależnie 50-elementową próbę losową mieszkańców miast oraz 60-elementową próbę losową
mieszkańców wsi. Wiedząc, że rozkład wydatków na książki zarówno w mieście jak i na wsi jest
rozkładem normalnym, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że:
a)

ś

rednie wydatki na książki w mieście są większe od średnich wydatków na książki na wsi o ponad

120zł

b)

ś

rednie wydatki na książki w mieście są większe od średnich wydatków na książki na wsi o 150zł.

Zadanie 17
Zmienne X

1

i X

2

mają rozkłady normalne odpowiednio: N(90,12) i N(30,8). Sprawdź, czy przy

założeniu, że pobrane niezależnie próby losowe liczyły po 25 jednostek, zachodzi nierówność:

2

)

90

(

)

65

55

(

1

2

1

>

>

<

−

<

x

P

x

x

P

Zadanie 18
Ostatnie badania pt. “Polak w Internecie” wykazały, że 86% młodych Polaków łączy się z siecią co
najmniej raz w tygodniu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w próbie 150 młodych Polaków odsetek
osób łączących z siecią nie przekroczy 83%.

Zadanie 19
Wiadomo, że w El Salvador 76 mężczyzn na 100 oraz 70 na 100 kobiet potrafi czytać. Oblicz
prawdopodobieństwo, że odsetek kobiet umiejących czytać w losowo wybranej grupie 220 kobiet
będzie większy od odsetka wylosowanych 325 mężczyzn.

Zadanie 20
Na studiach dziennych 25% studentów wybiera specjalizację w zakresie zarządzania i marketingu, na
studiach zaocznych tę samą specjalizację wybiera 20% studentów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
w losowo wybranej próbie liczącej 200 studentów studiów dziennych udział wybierających badaną
specjalizację będzie przynajmniej o 7% wyższy od udziału specjalizujących się w zarządzaniu
i marketingu w grupie 150 studentów studiów zaocznych.

Dodatkowe zadania do rozwiązania w domu:
Zbiór zadań „Statystyka. Zbiór zadań” red. H.Kassyk-Rokicka, PWE 2011:
1.2.21- 1.2.25; 3.1.1 -3.1.12 , 3.3.1- 3.3.8.