CIEPŁO WŁAŚCIWE GAZU DOSKONAŁEGO

Określenie ciepła właściwego związane jest z pierwszą zasadą termodynamiki – prawem 

zachowania i przemian energii w procesach cieplnych. Zgodnie z tą zasadą, ilość ciepła  Q 

przekazana ciału (lub układowi ciał), „idzie” na zmianę 

U

∆

 jego energii wewnętrznej i na 

wykonanie pracy 

W

′

 przeciw siłom zewnętrznym:

W

U

Q

′

+

∆

=

.

W przypadku ciała jednorodnego wygodnie jest mówić o cieple właściwym (molowym) 

jednego mola substancji. Ciepłem molowym C nazywamy ilość ciepła potrzebną do nagrzania 
1 mola danej substancji o jeden stopień. Jeśli w procesie nagrzewania ilości substancji

M

m

v

=

  (gdzie m – masa, M – masa molowa substancji)

przekazano jej ilość ciepła Q, a jej temperatura zmienia się od T

1

 do T

2

, to

)

)(

/

(

)

(

1

2

1

2

T

T

M

m

Q

T

T

v

Q

C

−

=

−

=

.

Równocześnie   z   ciepłem   molowym,   można   określić   ciepło   właściwe  c,   czyli   ciepło 

potrzebne do nagrzania jednostki masy substancji o jeden stopień.

Oczywiście, mamy:

M

C

c

=

.

Znając ciepło molowe (właściwe) substancji w danym procesie termodynamicznym, łatwo 

można znaleźć pobraną przez ciało ilość ciepła:

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

1

2

T

T

vC

T

T

C

M

m

T

T

mc

Q

−

=

−

=

−

=

.

Jest   tu   bardzo   ważne,   aby   zrozumieć,   że   praca  

W

′

  wykonywana   jest   nad   siłami 

zewnętrznymi (przeciw tym siłom) i zależy od warunków, przy których zachodzi dany 
proces przekazania ciepła.

Dlatego też, ciepło molowe określa się nie tylko poprzez właściwości substancji, ale także 

przez sposób, w jaki dany proces przebiega.

Np. przy izotermicznym rozprężaniu gazu (T = const) do ciała (gazu) dostarczamy ciepło, 

ale jego temperatura pozostaje niezmieniona. Z definicji widać, że ciepło właściwe gazu w 

przemianie   izotermicznej   jest   nieskończenie   wielkie.   W   tym   przypadku   całe   przekazane 
układowi ciepło idzie na wykonanie pracy: 

W

Q

′

=

. Jeśli ten sam gaz uczestniczy w procesie 

adiabatycznym, to jego temperatura zmienia się, a pobrane przez gaz ciepło jest równe zero. 
A więc w procesie adiabatycznym ciepło właściwe jest równe zero, a praca 

W

′

 gazu przeciw 

siłom zewnętrznym wykonywana jest kosztem ubytku energii wewnętrznej:

U

W

∆

−

=

′

.

A więc ciepło właściwe gazu zależy od procesu.

        Takie   procesy,   w   których   ciepło   właściwe   gazu   pozostaje   stałe   nazywamy 
politropowymi.

Przykładami procesów politropowych, obok wspomnianych  procesów izotermicznych  i 

adiabatycznych,   są   przemiany:   izochoryczna   (V  =   const)   i   izobaryczna   (p  =   const). 

Odpowiadające im ciepła molowe oznaczamy przez C

V

 i C

p

. Rozpatrzmy te procesy bardziej 

dokładnie.

W pierwszym przypadku (V  = const) tłok jest unieruchomiony (przymocowany), a gaz 

podczas nagrzewania pracy nie wykonuje (rys. 1a):

Całe otrzymane przez gaz ciepło zużywane jest na zwiększenie energii wewnętrznej gazu. 

W   drugim   przypadku   (p  =   const)   tłok   jest   swobodny   (rys.  b),   a   gaz   przy   nagrzewaniu 
rozszerza się i wykonuje pracę. Pobrane przez gaz ciepło tylko częściowo zużywane jest na 

wykonanie pracy przez tłok. A więc jasne jest, że dla podwyższenia temperatury o 1 stopień, 
w drugim przypadku należy przekazać większą ilość ciepła, a więc C

p

 > C

V

.

Znajdźmy teraz ilościowy związek między C

p

 i C

V

. Z teorii kinetycznej gazów wiadomo, 

że energia wewnętrzna gazu doskonałego jest wprost proporcjonalna do jego temperatury 
bezwzględnej:

RvT

U

2

3

=















=

¬

¬

U

k

śr

NE

pV

3

2













⋅

=

K

mol

J

R

31

,

8

W procesie izochorycznym

0

=

′

W

,

(

)

1

2

T

T

v

C

U

Q

V

−

⋅

=

∆

=

.

Wynika stąd, że dla gazu jednoatomowego ciepło molowe dla stałej objętości  wynosi 

R

C

V

2

3

=

.

Praca gazu przy rozszerzaniu izobarycznym wyraża się wzorem

(

)

V

p

V

V

p

W

∆

⋅

=

−

=

′

1

2

.

Jeśli w rozpatrywanym procesie termodynamicznym ciśnienie się zmienia to powyższą 

zależność także można stosować, ale tylko dla bardzo małych zmian 

V

∆

.

Możemy teraz zapisać I zasadę termodynamiki w postaci:

(

) (

)

V

p

T

v

C

V

V

p

T

T

v

C

Q

V

V

∆

+

∆

⋅

⋅

=

−

+

−

=

1

2

1

2

.

Stąd, posługując się określeniem ciepła molowego, otrzymujemy regułę dla ciepła m. dla 

gazu doskonałego w dowolnym procesie:

 

(

)

T

V

v

p

C

T

T

v

Q

C

V

∆

∆

+

=

−

=

1

2

 .  

Zmiana   objętości  

V

∆

i   temperatury  

T

∆

  w   tej   zależności   związane   są   równaniem 

Clapeyrone’a 

vRT

pV

=

i równaniem procesu cieplnego, w którym uczestniczy gaz.

W szczególności, dla procesu izobarycznego

(

)

(

)

1

2

1

2

T

T

vR

V

V

p

−

=

−

, lub 

p

vR

T

V

=

∆

∆

, 

p = const.

A stąd ciepło molowe wynosi:

R

C

C

V

p

+

=

.

Okazuje się, że w ciałach stałych i ciekłych, ciepła Cp i CV mało różnią się od siebie. 

Związane jest to z tym, że przy ogrzewaniu ciał stałych i ciekłych ich objętość zmienia się 
bardzo mało, tak, że w obu przypadkach (np. przy ciśnieniu atmosferycznym lub podobnym) 

wykonywana przy rozszerzaniu praca jest praktycznie zerowa.

W takim przypadku ciepło molowe związane jest ze zmianą energii wewnętrznej (tylko) 

przy zmianie temperatury o jeden stopień.

Zadanie 1.

Pewna ilość gazu doskonałego nagrzewa się przy stałym ciśnieniu p = 1at od temperatury 

T

1

  = 300K  do temperatury  T

2

  = 400K. Jaką pracę wykonał w tym procesie gaz, jeśli jego 

początkowa objętość wynosiła V

1

 = 3l. ?

R:

Niech v – ilość moli.

Doprowadzona do gazu ilość ciepła

(

)

1

2

T

T

vC

Q

p

−

=

,

a przyrost energii wewnętrznej gazu

(

)

1

2

T

T

vC

U

V

−

=

∆

.

Zgodnie z I zasadą termodynamiki, wykonana przez gaz praca wynosi:

(

)

T

vR

T

C

C

v

U

Q

W

V

p

∆

=

∆

−

=

∆

−

=

′

.

Z równania stanu gazu doskonałego

1

1

T

pV

vR

=

,

wtedy

(

)

J

T

T

pV

W

1 0 0

1

1

2

1

=

−

=

′

.

[Nie jest to oczywiście jedyne możliwe rozwiązanie.]

Zadanie 2.

Jeden mol gazu doskonałego ze stanu o temperaturze T

1

 = 100K rozszerza się izobarycznie, 

a następnie przechodzi izochorycznie do stanu o początkowej temperaturze. Ile razy zmieni 
się przy tym objętość gazu, jeśli do przejścia gazu ze stanu początkowego do końcowego 

konieczna była ilość ciepła Q = 831J.?

R:

Ciepło   dostarczane   jest   do   gazu   na   odcinku   izobarycznym   i   oddawane   przez   gaz   na 

odcinku izochorycznym:

(

)

(

)

(

)

1

2

2

1

1

2

T

T

vR

T

T

vC

T

T

vC

Q

V

p

−

=

−

+

−

=

.

Dla odcinka izobarycznego z równania stanu gazu otrzymujemy

(

)

(

)

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

−

=

−

=

−

V

V

T

T

T

T

T

T

.

Z zależności tych otrzymujemy

 

2 

1

1

2

=

+

=

vRT

Q

V

V

.

Zadanie 3.

Ze stanu początkowego o znanej temperaturze T

1

, mol gazu doskonałego przechodzi w stan 

o takiej samej temperaturze dwoma drogami (rys.). W jednej z nich gaz początkowo ogrzewa 

się izobarycznie do temperatury T

2

 = 2T

1

, a następnie ochładza się. W drugiej drodze – gaz 

początkowo   izochorycznie  ochładza   się,  a  następnie  izobarycznie  ogrzewa.   Znaleźć  ilość 

ciepła (różnicę) dostarczoną do gazu w obu procesach.

R:

Rozwiążmy to zadanie w sposób analogiczny jak poprzednie:

(

)

(

)

2

1

1

2

1 

T

T

vC

T

T

vC

Q

V

p

−

+

−

=

,

(

)

(

)

3

1

1

3

2

 

T

T

vC

T

T

vC

Q

p

V

−

+

−

=

i

(

)

1

3

2

2

 

1

 

2

T

T

T

vR

Q

Q

−

+

=

−

.

Uwzględniając r­nie Clapeyrone’a  pV = vRT dla izobarycznych odcinków procesu 1 i 2, 

znajdziemy związek między temperaturami T

1

, T

2

 i T

3

:

2

2

1

1

1

V

vRT

V

vRT

p

=

=

,

2

1

1

3

2

V

vRT

V

vRT

p

=

=

,

skąd

3

2

1

T

T

T

⋅

=













=

=

⇒

1

3

3

1

2

1

   

T

T

T

T

V

V

Zgodnie z warunkiem T

2

 = 2T

1

, mamy

2

1

3

T

T

=

.

Ostatecznie otrzymujemy:

2

1

3

2

 

1 

vRT

vRT

Q

Q

=

=

−

.

Zadanie 4.

Mol gazu doskonałego rozszerza się zgodnie z zależnością pV

2

 = const.

Określić ciepło molowe w tym procesie.

R:

Jak wykazano wyżej, ciepło molowe wynosi:

T

V

v

p

C

C

V

∆

∆

+

=

Z r­nie Clapeyrone’a pV = vRT i r­nia procesu otrzymujemy

[pV 

2

 = vRTV = const]

VT = const.

Równość ta jest słuszna dla dowolnych V i T, dlatego

(

)(

)

VT

T

T

V

V

=

∆

+

∆

+

.

Otrzymujemy stąd (zaniedbując 

0

→

∆

⋅

∆

T

V

);

0

=

∆

+

∆

V

T

T

V

lub

T

V

T

V

−

=

∆

∆

.

A zatem, ostatecznie mamy

R

C

vT

pV

C

C

V

V

−

=

−

=

.

Zadanie 5.

Mol   gazu   doskonałego   znajduje   się   w   cylindrze   z   ruchomym,   nieważkim   tłokiem 

połączonym z dnem przy pomocy sprężyny, której wydłużenie  spełnia prawo Hoockey’a 
(rys.). Określić ciepło molowe tego procesu, przyjmując ciśnienie zewnętrzne równe zero i 

zaniedbując długość nierozciągniętej sprężyny.

R:

Niech p – ciśnienie gazu

V = Sx – objętość gazu

S – przekrój cylindra
x – rozciągnięcie sprężyny

Niech stała sprężystości wynosi k;

Zapiszmy równanie równowagi tłoka:

pS = kx,

lub

pS

2

 = kV.

Z ostatniej zależności wynika, że 

p

∆

 i 

V

∆

są związane równaniem

V

V

p

V

S

k

p

∆

⋅

=

∆

=

∆

2









=

∆

∆

V

p

V

p

.

Z r­nia Clapeyrone’a pV = vRT słusznego dla dowolnych p, V, T  znajdujemy

(

)(

)

(

)

T

T

vR

V

V

p

p

∆

+

=

∆

+

∆

+

.

Pozbywając się w tym wyrażeniu nawiasów i zaniedbując wyraz 

V

p

∆

∆

 

(

)

0

→

, 

otrzymujemy

T

vR

p

V

V

p

∆

=

∆

+

∆

,

lub, uwzględniając poprzednią zależność miedzy 

p

∆

i 

V

∆

,

2

R

T

V

v

p

=

∆

∆

.

A więc ciepło molowe wynosi:

2

R

C

T

V

v

p

C

C

V

V

+

=

∆

∆

+

=

Problemy:

1. Mol jednoatomowego gazu doskonałego ze stanu początkowego o temperaturze T

1

 = 

300K nagrzewa się izochorycznie, a następnie izobarycznie ochładza do pewnej 

temperatury końcowej. Znaleźć tę temperaturę, jeśli wiadomo, że ciepło Q = 1500J 
pobrane przez gaz w przemianie izochorycznej równe jest ciepłu oddanemu przez gaz 

w przemianie izobarycznej.

2. Mol gazu doskonałego wykonuje zamknięty cykl (rys.). Początkowo gaz nagrzewa się 

izobarycznie, tak, że jego objętość powiększa się: V

2

V

1

 = n. Następnie gaz ochładza 

się izochorycznie, tak, że jego ciśnienie zmniejsza się 

m

p

p

=

1

2

. Na koniec gaz 

adiabatycznie powraca do stanu początkowego. Określić, przy tych danych, pracę 

gazu na odcinku adiabatycznym, jeśli znana jest początkowa temperatura T

1

 i molowe 

ciepło gazu C

V

.

MS