CIEPŁO WŁAŚCIWE GAZU DOSKONAŁEGO
Określenie ciepła właściwego związane jest z pierwszą zasadą termodynamiki – prawem
zachowania i przemian energii w procesach cieplnych. Zgodnie z tą zasadą, ilość ciepła Q
przekazana ciału (lub układowi ciał), „idzie” na zmianę
U
∆
jego energii wewnętrznej i na
wykonanie pracy
W
′
przeciw siłom zewnętrznym:
W
U
Q
′
+
∆
=
.
W przypadku ciała jednorodnego wygodnie jest mówić o cieple właściwym (molowym)
jednego mola substancji. Ciepłem molowym C nazywamy ilość ciepła potrzebną do nagrzania
1 mola danej substancji o jeden stopień. Jeśli w procesie nagrzewania ilości substancji
M
m
v
=
(gdzie m – masa, M – masa molowa substancji)
przekazano jej ilość ciepła Q, a jej temperatura zmienia się od T
1
do T
2
, to
)
)(
/
(
)
(
1
2
1
2
T
T
M
m
Q
T
T
v
Q
C
−
=
−
=
.
Równocześnie z ciepłem molowym, można określić ciepło właściwe c, czyli ciepło
potrzebne do nagrzania jednostki masy substancji o jeden stopień.
Oczywiście, mamy:
M
C
c
=
.
Znając ciepło molowe (właściwe) substancji w danym procesie termodynamicznym, łatwo
można znaleźć pobraną przez ciało ilość ciepła:
)
(
)
(
)
(
1
2
1
2
1
2
T
T
vC
T
T
C
M
m
T
T
mc
Q
−
=
−
=
−
=
.
Jest tu bardzo ważne, aby zrozumieć, że praca
W
′
wykonywana jest nad siłami
zewnętrznymi (przeciw tym siłom) i zależy od warunków, przy których zachodzi dany
proces przekazania ciepła.
Dlatego też, ciepło molowe określa się nie tylko poprzez właściwości substancji, ale także
przez sposób, w jaki dany proces przebiega.
Np. przy izotermicznym rozprężaniu gazu (T = const) do ciała (gazu) dostarczamy ciepło,
ale jego temperatura pozostaje niezmieniona. Z definicji widać, że ciepło właściwe gazu w
przemianie izotermicznej jest nieskończenie wielkie. W tym przypadku całe przekazane
układowi ciepło idzie na wykonanie pracy:
W
Q
′
=
. Jeśli ten sam gaz uczestniczy w procesie
adiabatycznym, to jego temperatura zmienia się, a pobrane przez gaz ciepło jest równe zero.
A więc w procesie adiabatycznym ciepło właściwe jest równe zero, a praca
W
′
gazu przeciw
siłom zewnętrznym wykonywana jest kosztem ubytku energii wewnętrznej:
U
W
∆
−
=
′
.
A więc ciepło właściwe gazu zależy od procesu.
Takie procesy, w których ciepło właściwe gazu pozostaje stałe nazywamy
politropowymi.
Przykładami procesów politropowych, obok wspomnianych procesów izotermicznych i
adiabatycznych, są przemiany: izochoryczna (V = const) i izobaryczna (p = const).
Odpowiadające im ciepła molowe oznaczamy przez C
V
i C
p
. Rozpatrzmy te procesy bardziej
dokładnie.
W pierwszym przypadku (V = const) tłok jest unieruchomiony (przymocowany), a gaz
podczas nagrzewania pracy nie wykonuje (rys. 1a):
Całe otrzymane przez gaz ciepło zużywane jest na zwiększenie energii wewnętrznej gazu.
W drugim przypadku (p = const) tłok jest swobodny (rys. b), a gaz przy nagrzewaniu
rozszerza się i wykonuje pracę. Pobrane przez gaz ciepło tylko częściowo zużywane jest na
wykonanie pracy przez tłok. A więc jasne jest, że dla podwyższenia temperatury o 1 stopień,
w drugim przypadku należy przekazać większą ilość ciepła, a więc C
p
> C
V
.
Znajdźmy teraz ilościowy związek między C
p
i C
V
. Z teorii kinetycznej gazów wiadomo,
że energia wewnętrzna gazu doskonałego jest wprost proporcjonalna do jego temperatury
bezwzględnej:
RvT
U
2
3
=
=
¬
¬
U
k
śr
NE
pV
3
2
⋅
=
K
mol
J
R
31
,
8
W procesie izochorycznym
0
=
′
W
,
(
)
1
2
T
T
v
C
U
Q
V
−
⋅
=
∆
=
.
Wynika stąd, że dla gazu jednoatomowego ciepło molowe dla stałej objętości wynosi
R
C
V
2
3
=
.
Praca gazu przy rozszerzaniu izobarycznym wyraża się wzorem
(
)
V
p
V
V
p
W
∆
⋅
=
−
=
′
1
2
.
Jeśli w rozpatrywanym procesie termodynamicznym ciśnienie się zmienia to powyższą
zależność także można stosować, ale tylko dla bardzo małych zmian
V
∆
.
Możemy teraz zapisać I zasadę termodynamiki w postaci:
(
) (
)
V
p
T
v
C
V
V
p
T
T
v
C
Q
V
V
∆
+
∆
⋅
⋅
=
−
+
−
=
1
2
1
2
.
Stąd, posługując się określeniem ciepła molowego, otrzymujemy regułę dla ciepła m. dla
gazu doskonałego w dowolnym procesie:
(
)
T
V
v
p
C
T
T
v
Q
C
V
∆
∆
+
=
−
=
1
2
.
Zmiana objętości
V
∆
i temperatury
T
∆
w tej zależności związane są równaniem
Clapeyrone’a
vRT
pV
=
i równaniem procesu cieplnego, w którym uczestniczy gaz.
W szczególności, dla procesu izobarycznego
(
)
(
)
1
2
1
2
T
T
vR
V
V
p
−
=
−
, lub
p
vR
T
V
=
∆
∆
,
p = const.
A stąd ciepło molowe wynosi:
R
C
C
V
p
+
=
.
Okazuje się, że w ciałach stałych i ciekłych, ciepła Cp i CV mało różnią się od siebie.
Związane jest to z tym, że przy ogrzewaniu ciał stałych i ciekłych ich objętość zmienia się
bardzo mało, tak, że w obu przypadkach (np. przy ciśnieniu atmosferycznym lub podobnym)
wykonywana przy rozszerzaniu praca jest praktycznie zerowa.
W takim przypadku ciepło molowe związane jest ze zmianą energii wewnętrznej (tylko)
przy zmianie temperatury o jeden stopień.
Zadanie 1.
Pewna ilość gazu doskonałego nagrzewa się przy stałym ciśnieniu p = 1at od temperatury
T
1
= 300K do temperatury T
2
= 400K. Jaką pracę wykonał w tym procesie gaz, jeśli jego
początkowa objętość wynosiła V
1
= 3l. ?
R:
Niech v – ilość moli.
Doprowadzona do gazu ilość ciepła
(
)
1
2
T
T
vC
Q
p
−
=
,
a przyrost energii wewnętrznej gazu
(
)
1
2
T
T
vC
U
V
−
=
∆
.
Zgodnie z I zasadą termodynamiki, wykonana przez gaz praca wynosi:
(
)
T
vR
T
C
C
v
U
Q
W
V
p
∆
=
∆
−
=
∆
−
=
′
.
Z równania stanu gazu doskonałego
1
1
T
pV
vR
=
,
wtedy
(
)
J
T
T
pV
W
1 0 0
1
1
2
1
=
−
=
′
.
[Nie jest to oczywiście jedyne możliwe rozwiązanie.]
Zadanie 2.
Jeden mol gazu doskonałego ze stanu o temperaturze T
1
= 100K rozszerza się izobarycznie,
a następnie przechodzi izochorycznie do stanu o początkowej temperaturze. Ile razy zmieni
się przy tym objętość gazu, jeśli do przejścia gazu ze stanu początkowego do końcowego
konieczna była ilość ciepła Q = 831J.?
R:
Ciepło dostarczane jest do gazu na odcinku izobarycznym i oddawane przez gaz na
odcinku izochorycznym:
(
)
(
)
(
)
1
2
2
1
1
2
T
T
vR
T
T
vC
T
T
vC
Q
V
p
−
=
−
+
−
=
.
Dla odcinka izobarycznego z równania stanu gazu otrzymujemy
(
)
(
)
1
1
1
2
1
1
2
1
1
2
−
=
−
=
−
V
V
T
T
T
T
T
T
.
Z zależności tych otrzymujemy
2
1
1
2
=
+
=
vRT
Q
V
V
.
Zadanie 3.
Ze stanu początkowego o znanej temperaturze T
1
, mol gazu doskonałego przechodzi w stan
o takiej samej temperaturze dwoma drogami (rys.). W jednej z nich gaz początkowo ogrzewa
się izobarycznie do temperatury T
2
= 2T
1
, a następnie ochładza się. W drugiej drodze – gaz
początkowo izochorycznie ochładza się, a następnie izobarycznie ogrzewa. Znaleźć ilość
ciepła (różnicę) dostarczoną do gazu w obu procesach.
R:
Rozwiążmy to zadanie w sposób analogiczny jak poprzednie:
(
)
(
)
2
1
1
2
1
T
T
vC
T
T
vC
Q
V
p
−
+
−
=
,
(
)
(
)
3
1
1
3
2
T
T
vC
T
T
vC
Q
p
V
−
+
−
=
i
(
)
1
3
2
2
1
2
T
T
T
vR
Q
Q
−
+
=
−
.
Uwzględniając rnie Clapeyrone’a pV = vRT dla izobarycznych odcinków procesu 1 i 2,
znajdziemy związek między temperaturami T
1
, T
2
i T
3
:
2
2
1
1
1
V
vRT
V
vRT
p
=
=
,
2
1
1
3
2
V
vRT
V
vRT
p
=
=
,
skąd
3
2
1
T
T
T
⋅
=
=
=
⇒
1
3
3
1
2
1
T
T
T
T
V
V
Zgodnie z warunkiem T
2
= 2T
1
, mamy
2
1
3
T
T
=
.
Ostatecznie otrzymujemy:
2
1
3
2
1
vRT
vRT
Q
Q
=
=
−
.
Zadanie 4.
Mol gazu doskonałego rozszerza się zgodnie z zależnością pV
2
= const.
Określić ciepło molowe w tym procesie.
R:
Jak wykazano wyżej, ciepło molowe wynosi:
T
V
v
p
C
C
V
∆
∆
+
=
Z rnie Clapeyrone’a pV = vRT i rnia procesu otrzymujemy
[pV
2
= vRTV = const]
VT = const.
Równość ta jest słuszna dla dowolnych V i T, dlatego
(
)(
)
VT
T
T
V
V
=
∆
+
∆
+
.
Otrzymujemy stąd (zaniedbując
0
→
∆
⋅
∆
T
V
);
0
=
∆
+
∆
V
T
T
V
lub
T
V
T
V
−
=
∆
∆
.
A zatem, ostatecznie mamy
R
C
vT
pV
C
C
V
V
−
=
−
=
.
Zadanie 5.
Mol gazu doskonałego znajduje się w cylindrze z ruchomym, nieważkim tłokiem
połączonym z dnem przy pomocy sprężyny, której wydłużenie spełnia prawo Hoockey’a
(rys.). Określić ciepło molowe tego procesu, przyjmując ciśnienie zewnętrzne równe zero i
zaniedbując długość nierozciągniętej sprężyny.
R:
Niech p – ciśnienie gazu
V = Sx – objętość gazu
S – przekrój cylindra
x – rozciągnięcie sprężyny
Niech stała sprężystości wynosi k;
Zapiszmy równanie równowagi tłoka:
pS = kx,
lub
pS
2
= kV.
Z ostatniej zależności wynika, że
p
∆
i
V
∆
są związane równaniem
V
V
p
V
S
k
p
∆
⋅
=
∆
=
∆
2
=
∆
∆
V
p
V
p
.
Z rnia Clapeyrone’a pV = vRT słusznego dla dowolnych p, V, T znajdujemy
(
)(
)
(
)
T
T
vR
V
V
p
p
∆
+
=
∆
+
∆
+
.
Pozbywając się w tym wyrażeniu nawiasów i zaniedbując wyraz
V
p
∆
∆
(
)
0
→
,
otrzymujemy
T
vR
p
V
V
p
∆
=
∆
+
∆
,
lub, uwzględniając poprzednią zależność miedzy
p
∆
i
V
∆
,
2
R
T
V
v
p
=
∆
∆
.
A więc ciepło molowe wynosi:
2
R
C
T
V
v
p
C
C
V
V
+
=
∆
∆
+
=
Problemy:
1. Mol jednoatomowego gazu doskonałego ze stanu początkowego o temperaturze T
1
=
300K nagrzewa się izochorycznie, a następnie izobarycznie ochładza do pewnej
temperatury końcowej. Znaleźć tę temperaturę, jeśli wiadomo, że ciepło Q = 1500J
pobrane przez gaz w przemianie izochorycznej równe jest ciepłu oddanemu przez gaz
w przemianie izobarycznej.
2. Mol gazu doskonałego wykonuje zamknięty cykl (rys.). Początkowo gaz nagrzewa się
izobarycznie, tak, że jego objętość powiększa się: V
2
V
1
= n. Następnie gaz ochładza
się izochorycznie, tak, że jego ciśnienie zmniejsza się
m
p
p
=
1
2
. Na koniec gaz
adiabatycznie powraca do stanu początkowego. Określić, przy tych danych, pracę
gazu na odcinku adiabatycznym, jeśli znana jest początkowa temperatura T
1
i molowe
ciepło gazu C
V
.
MS