Ciepło właściwe i molowe gazu doskonałego

 

Na stronie:
Przypomnienie ogólnych pojęć ciepła, ciepła właściwego, ciepła molowego i pojemności cieplej oraz związków między nimi.
Ponadto uwagi na temat ciepła molowego gazu pod stałym ciśnieniem i w stałej objętości - C_P i C_V.

 

 

Określenia ogólne

 

Ciepłem Q nazywamy formę przepływu energii wewnętrznej od ciała o wyższej temperaturze do ciała o niższej temperaturze - bez wykonywania pracy. Określenia:  pobranie (oddanie, przepływ) ciepła oznaczają taki właśnie przepływ energii wewnętrznej.

Często (choć nie zawsze) doprowadzenie ciepła do układu powoduje, że temperatura tego układu układu rośnie. W takich przypadkach możemy mówić o pojemności cieplnej i cieple właściwym lub molowym.

 

energia wewnętrzna
I zasada termodynamiki
bilans cieplny

 

Ciepło molowe

Załóżmy, że doprowadzenie porcji ciepła DQ zwiększyło temperaturę gazu o DT. Wówczas określić możemy ciepło molowe C jako

gdzie n oznacza liczbę moli gazu. Jednostką ciepła molowego jest J/molK. Jego sens fizyczny jest następujący: Ciepło molowe to ilość ciepła potrzebna do ogrzania jednego mola gazu o jeden kelwin. Przekształcając wzór definicyjny otrzymujemy, że ciepło potrzebne do podniesienia temperatury gazu jest równe

 

Ciepło właściwe

To samo postępowanie prowadzi do pojęcia ciepła właściwego c, gdy za miarę ilości gazu przyjmiemy nie liczbę moli, lecz masę. Załóżmy, że doprowadzenie porcji ciepła DQ zwiększyło temperaturę gazu o DT.

przy czym m jest tu masą gazu. Jednostką ciepła właściwego jest J/kgK Sens jest jasny: ciepło właściwe to ilość ciepła potrzebna do ogrzania jednego kilograma substancji o jeden kelwin. Ilość ciepła pobierana przy ogrzewaniu (oddawana przy schładzaniu) jest więc równa

 

Związek pomiędzy ciepłem właściwym i ciepłem molowym

Wypada zauważyć związek między tymi wielkościami. Porównajmy oba powyższe sposoby liczenia ciepła:

Ponieważ masa gazu równa jest  m = nm, gdzie m oznacza masę jednego mola, więc

skąd - po skróceniu - widać że:

Łatwo więc przeliczyć jedną z tych wielkości na drugą. Okazuje się jednak (zob. niżej), że dla gazu doskonałego wyrażenie na ciepło molowe ma szczególnie prostą postać i dlatego jest częściej używane.

 

Pojemność cieplna

O ile miarą ilości ciepła potrzebnej do podgrzania o jeden kelwin jest dla jednego kilograma ciepło właściwe c, dla jednego mola - ciepło molowe C, o tyle dla całego ciała - pojemność cieplna A:

której jednostką jest J/K. O ile ciepło właściwe i molowe charakteryzują substancję, o tyle ojemność cieplna charakteryzuje układ jako całość.

Oczywiście A = mc = nC.

 

Ciepło molowe gazu doskonałego

Ogólna definicja DQ = nCDT nie traci swojej ważności, jednak okazuje się, że tak określone ciepło molowe zależy od tego, jak przeprowadzimy proces ogrzewania gazu. Inną wartość C otrzymamy ogrzewając gaz zamknięty w szczelnym naczyniu, gdzie nie nie może się rozprężać, a inną - gdy gaz zamknięty pod ruchomym tłokiem zapewniającym stałe ciśnienie.

Pierwsza wersja ogrzewania gazu okaże się najwydajniejsza: Cała dostarczona na sposób ciepła energia wewnętrzna pozostaje w gazie i powoduje wzrost temperatury (DU = DQ). W przypadku ogrzewania pod mogącym się swobodnie poruszać tłokiem proces będzie nieco bardziej złożony. Podczas ogrzewania gaz pobierając ciepło będzie się rozprężał - zwiększał objętość i będzie podnosił tłok. Gaz wykonuje więc pracę - kosztem własnej energii wewnętrznej.

Część energii wewnętrznej - właśnie uzyskanej na drodze ciepła -  uchodzi z gazu w postaci wykonanej przezeń pracy. Wzrost energii wewnętrznej będzie więc mniejszy niż w pierwszym przypadku (DU < DQ), a tym samym i przyrost temperatury DT będzie mniejszy.

Widzimy, że doprowadzenie tej samej ilości ciepła spowoduje większy przyrost temperatury gdy ogrzewamy gaz w stałej objętości, a mniejszy -  gdy ogrzewamy go pod stałym ciśnieniem.

Prowadzi to do rozróżnienia ciepła molowego gazu - w stałej objętości C_V i pod stałym ciśnieniem C_P.

praca gazu

praca gazu doskonałego
pierwsza zasada termodynamiki
proces izochoryczny
proces izobaryczny

 

C_P i C_V gazu doskonałego

Określmy definicje ciepła molowego przy stałej pbjętości C_V i ciepła molowego pod stałym ciśnieniem C_P. Wypiszmy je w postaci wzoru na ciepło:

Jak zauważyliśmy wyżej - ponieważ energia wewnętrzna gazu zużytkowana jest po części na wykonanie pracy - do ogrzania mola gazu o jeden kelwin pod stałym ciśnieniem potrzeba więcej ciepła, niż w stałej objętości, więc C_P > C_V.

 

Ściślejszy związek pomiędzy daje ciepłem molowym w pod stałym ciśnieniem i w stałej objętości jest następujący: 

C_P  = C_V +  R

Daje się on łatwo wyprowadzić:

Rozważmy dwa procesy:

1. Pzeprowadźmy gaz izobarycznie ze stanu (A) do stanu (B), czemu towarzyszy wzrost temperatury DT = T_B - T_A. 

 

 

Zmiana energii wewnętrznej w tym procesie wyniesie

DU_A-B = DQ + DW = nC_PDT - pDV

w procesie izobarycznym jednak - jak łatwo pokazać odejmując stronami równania Clapeyrona dla gazu w stanie początkowym i końcowym procesu; pDV = nRDT, więc

DU_A-B = nC_PDT - nRDT = n(C_P-R)DT

2. Przeprowadźmy też ten sam gaz izochorycznie ze stanu (A) do stanu (C), ogrzewając go by temperatura gazu wzrosła o tą samą co poprzednio wartość DT.

 

 

 Zmiana energii wewnętrznej jest równa:

DU_A-C = nC_VDT

gdyż gaz nie wykonuje pracy. Temperatura w stanie T_C jest jednak równa T_B więc energia wewnętrzna - zależna wyłącznie od temperatury - w obydwu stanach jest równa. Mamy więc:  U_C = U_B i dalej:

DU_A-B = DU_A-C

n(C_P - R)DT = nC_VDT

C_P - R = C_V

czyli

C_P  = C_V +  R

Przy okazji zauważamy że stała gazowa R równa jest liczbowo pracy jaką wykonuje jeden mol gazu doskonałego podgrzewany i rozprężający się izobarycznie.

 

Nie zajmujemy się problemem ciepła molowewgo w procesie izotermicznym C_T i adiabatycznym C_K. Dlaczego?

 

Na temat powiązania wartości ciepła molowego gazu z budową i stopniami swobody cząsteczki można  dowiedzieć się więcej na gruncie kinetycznej teorii gazu doskonałego. Na podstawie zasady ekwipartycji energii otrzymuje się wynik:

 przy czym i oznacza tzw. liczbę stopni swobody cząsteczki gazu o równe jest: i = 3 dla gazu o cząsteczce jednoatomowej jak He, Ne i Ar, i = 5 dla gazu o cząsteczce dwuatomowej (O₂, H₂ i większość gazów w warunkach normalnych), i = 6 dla pozostałych gazów o bardziej złożonych cząsteczkach, jak np. ozon O₃ czy para wodna H₂O. 

Dla gazów jednoatomowych otrzymujemy więc C_V = 3/2 R, C_P = 5/2 R, dla dwuatomowych C_V = 5/2 R, C_P = 7/2 R  itd. 

 

Cp / Cv

Niekiedy korzystamy ze stosunku tych ciepeł molowych k = C_p/C_v. W ramach naszego modelu otrzymujemy

 

czyli ostatecznie

Daje to:
dla gazów jednoatomowych k = 5/3 = 1,67,
dla gazów dwuatomowych k = 7/5 = 1,40
i wreszcie dla gazów wieloatomowych k = 4/3 = 1,33.
Model ten nienajgorzej sprawdza się w niewysokich temperaturach.

 

 

zmiany energi wewnetrzneg w procesach:
- izochorycznm
- izobarycznym
- izotermicznym
- adiabatycznym
pierwsza zasada termodynamiki
równanie Clapeyrona
kinetyczna teoria gazu

 

Ciepło właściwe gazu doskonałego

Otrzymujemy łatwo znając opisane wyżej ciepło molowe - na podstawie związku:

 a związek pomiędzy c_p i c_v ma postać:

 

c_p = c_v + R / m

 

 

(C) 2001-2002 ODN ZCE

 

---