1

Funkcje: własności ogólne

1. Która z liczb –1, 1, 2, -2, 5 należy do dziedziny funkcji

4

3

1

)

(

2

+

+

−

=

x

x

x

f

?

2. Która z powyższych liczb jest wartością tej funkcji?

3. Wyznaczyć dziedzinę funkcji

,

64

6

7

)

(

2

2

1

x

x

x

x

f

−

+

−

=

x

x

x

x

f

cos

16

)

(

2

2

+

−

=

,

3

2

)

(

2

3

−

−

=

x

x

tgx

x

f

,

x

x

x

x

f

sin

)

3

2

(

1

)

(

2

4

−

−

=

4. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji

,

1

)

(

2

+

=

x

x

f

,

1

2

1

)

(

−

=

x

x

g

,

sin

2

)

(

x

x

h

−

=

oraz funkcji z

zadania 1

5.

.

1

)

(

,

)

(

2

+

=

=

x

x

g

x

x

f

Napisać wzory funkcji złożonych

))

(

(

)

(

1

x

g

f

x

h

=

,

))

(

(

)

(

2

x

f

g

x

h

=

,

))

(

(

)

(

3

x

g

g

x

h

=

i

))

(

(

)

(

4

x

f

f

x

h

=

.

6.

.

1

)

(

,

2

)

(

,

1

)

(

3

2

1

x

x

f

x

f

x

x

f

x

=

=

+

=

Napisać wzory wszystkich funkcji złożonych z

3

2

1

,

,

f

f

f

, w

których każda z tych funkcji występuje dokładnie raz. Obliczyć, tam gdzie to jest możliwe, wartość

każdej z tych funkcji złożonych w 0.

7. W funkcjach złożonych

,

1

)

(

,

1

)

(

,

2

)

(sin

)

(

),

2

sin(

)

(

4

3

2

1

x

tg

x

f

tgx

x

f

x

x

f

x

x

f

=

=

+

=

+

=

wyróżnić funkcję zewnętrzną i funkcję wewnętrzną.

8. Wyznaczyć funkcje elementarne, których złożeniem jest funkcja:

2

sin

1

2

)

(

x

x

f

=

,

x

tg

x

f

2

2

2

)

(

+

=

,

,

2

5

)

(

3

)

1

(

3

+

⋅

=

x

x

f

.

sin

1

cos

)

(

2

4

x

x

f

=

2

9. Naszkicować wykres funkcji

,

)

1

(

)

(

2

1

−

=

x

x

f

,

1

)

(

2

+

=

x

x

f

,

1

)

(

3

−

−

=

x

x

x

f

,

2

sin

3

)

(

4

x

x

f

=

),

2

cos(

)

(

5

π

−

=

x

x

f

x

x

f

sin

)

(

6

=

10. Dla funkcji







≤

−

>

=

0

0

)

(

2

1

x

dla

x

x

dla

x

x

f

,











≥

+

−

<

≤

−

−

<

+

=

0

1

0

2

2

2

1

)

(

2

2

x

dla

x

x

dla

x

dla

x

x

f

,













>

+

=

<

=

0

2

0

2

0

2

)

(

3

x

dla

x

x

dla

x

dla

x

x

f

obliczyć wartości

)

4

(

),

4

(

),

1

(

),

3

(

),

2

3

(

),

2

(

),

1

(

3

3

2

2

2

1

1

f

f

f

f

f

f

f

−

−

−

−

i naszkicować wykresy.

11. Naszkicować wykres obciętych funkcji

)

1

,

0

(

f

,

)

,

2

(

π

π

−

g

,

)

,

2

(

π

π

−

h

, gdzie

,

)

(

2

x

x

x

f

+

=

,

sin

)

(

x

x

g

=

tgx

x

h

=

)

(

.

12.

.

1

)

(

2

−

=

x

x

x

f

Dla ilu i jakich argumentów funkcja ta ma wartość 0, 1, -2 ? Czy jest

różnowartościowa?

13. Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji

4

2

)

(

−

=

x

x

f

,

,

5

)

(

3

−

=

x

x

g

4

1

)

(

+

=

x

x

h

,

1

1

)

(

+

−

=

x

x

x

k

14. Obliczyć

)

1

(

),

2

(

f

f

, jeśli funkcja

)

(x

f

y

=

jest przedstawiona parametrycznie równościami

2

3

,

1

+

−

=

−

=

t

y

t

t

x

.

15. Znaleźć wzór funkcji

),

(x

f

y

=

jeśli

,

1

2

−

=

t

x

a

3

4

+

=

t

y

t

x

sin

3

=

,

t

y

cos

2

=

2

,

1

t

y

t

x

=

=

16. Napisać wzór na funkcję odwrotną do funkcji

)

(x

f

z zadania 14.

3

17. Niech

)

(

)

(

)

(

x

h

x

g

x

f

⋅

=

. Określić parzystość funkcji

)

(x

f

w zależności od parzystości funkcji

)

(x

g

,

).

(x

h

18. Niech

)).

(

(

)

(

x

h

g

x

f

=

Określić parzystość funkcji

)

(x

f

w zależności od parzystości funkcji

)

(x

g

,

).

(x

h

19. Jeśli funkcja

)

(x

f

ma okres T, to czy funkcje

)

3

(

)

(

x

f

x

g

=

,

)

5

(

)

(

+

=

x

f

x

h

są okresowe, a

jeśli tak, to z jakim okresem?

20. Funkcja

)

(x

f

jest nieparzysta i okresowa o okresie T. Czemu równa się

)

(T

f

?