Prognozowanie gospodarcze – materiały do ćwiczeń

1. Test t – Studenta

Hipotezy testu:
H0:



j

=0 (parametr strukturalny nieistotnie statystycznie różni się od zera, co oznacza, że zmienna

objaśniająca stojąca przy parametrze



j

nie wpływa na zmienną objaśnianą)

H1:



j



0 (parametr strukturalny istotnie statystycznie różni się od zera, co oznacza, że zmienna

objaśniająca stojąca przy parametrze



j

wpływa na zmienną objaśnianą)

Statystyka test:

𝒕

𝜶

𝒋

=

𝒂

𝒋

𝑺(𝒂

𝒋

)

, gdzie a

j

oznacza ocenę parametru strukturalnego



j

, natomiast S(a

j

) oznacza

błąd oceny parametru strukturalnego. Statystyka ma rozkład testu t – Studenta dla poziomu istotności γ oraz
n-K-1 stopni swobody.

Reguła decyzyjna:
Jeżeli t



j



t

γ, n-K-1

, wówczas następuje odrzucenie hipotezy zerowej o braku istotności statystycznej

parametru strukturalnego, na korzyść hipotezy alternatywnej – co oznacza, że parametr



j

jest istotny

statystycznie, a zmienna stojąca przy parametrze wpływa na zmienną objaśnianą
Jeżeli t



j

< t

γ, n-K-1

, wówczas następuje brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o braku istotności

statystycznej parametru strukturalnego, – co oznacza, że parametr



j

jest nie istotny statystycznie a

zmienna stojąca przy parametrze nie wpływa na zmienną objaśnianą.

Testowanie przy wykorzystaniu wartości prawdopodobieństwa testowego p-value
Jeżeli wartość prawdopodobieństwa testowego p ≤



(gdzie



=0,05) to następuje odrzucenie hipotezy

zerowej na korzyść hipotezy alternatywnej.
Jeżeli wartość prawdopodobieństwa testowego p >



(gdzie



=0,05) to następuje brak podstaw do

odrzucenia hipotezy zerowej.

2. Test F dla doboru stopnia wielomianu trendu

Hipotezy testu:
H0:

𝝈

𝒓−𝟏

𝟐

= 𝝈

𝒓

𝟐

(wariancja modelu trendu stopnia niższego jest równa wariancji modelu trendu stopnia

wyższego)
H1:

𝝈

𝒓−𝟏

𝟐

> 𝝈

𝒓

𝟐

(wariancja modelu trendu stopnia niższego jest większa od wariancji modelu trendu stopnia

wyższego)

Statystyka test:

𝑭 =

(𝑺𝒆

𝒓−𝟏

)

𝟐

(𝑺𝒆

𝒓

)

𝟐

, gdzie S

e(r-1)

oznacza błąd standardowy reszt dla modelu trendu stopnia

niższego, natomiast S

er

oznacza błąd standardowy reszt modelu trendu stopnia wyższego. Statystyka ma

rozkład testu F dla poziomu istotności γ oraz n-K

1

-1 stopni swobody oraz n-K

2

-1

Reguła decyzyjna:
Jeżeli F



F

γ, n-K1-1, n-k2-1

, wówczas następuje odrzucenie hipotezy zerowej o równości wariancji badanych

modeli, na korzyść hipotezy alternatywnej – co oznacza, że przy przejściu od modelu trendu stopnia

niższego do modelu trendu stopnia wyższego nastąpił istotny spadek wariancji, dlatego w dalszym
modelowaniu wybieramy model trendu stopnia wyższego.
Jeżeli F < F

γ, n-K1-1, n-k2-1

, wówczas następuje brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o równości

wariancji badanych modeli – co oznacza, że przy przejściu od modelu trendu stopnia niższego do
modelu trendu stopnia wyższego nie nastąpił istotny spadek wariancji, dlatego w dalszym

modelowaniu wybieramy model trendu stopnia niższego.

3. Zapis hipotezy modelu ekonometrycznego

Analizowany

proces

Stopień wielomianu trendu

Sezonowość

Autoregresja

P

t

1

Tak (kwartalna)

2

𝑃

𝑡

= 𝛼

0

+ 𝛼

1

𝑡 + 𝛿

1

𝑄

1𝑡

∗

+ 𝛿

2

𝑄

2𝑡

∗

+ 𝛿

3

𝑄

3𝑡

∗

+ 𝛽

1

𝑃

𝑡−1

+ 𝛽

2

𝑃

𝑡−2

+ 𝜀

𝑡

K

t

Stopień wielomianu trendu

Sezonowość

Autoregresja

2

Tak (miesięczna)

1

𝐾

𝑡

= 𝛼

0

+ 𝛼

1

𝑡 + 𝛼

2

𝑡

2

+ 𝛿

1

𝑀

1𝑡

∗

+ ⋯ + 𝛿

11

𝑀

11𝑡

∗

+ 𝛽

1

𝐾

𝑡−1

+ 𝜀

𝑡

Z

t

Stopień wielomianu trendu

Sezonowość

Autoregresja

3

Nie

4

𝑍

𝑡

= 𝛼

0

+ 𝛼

1

𝑡 + 𝛼

2

𝑡

2

+ 𝛼

3

𝑡

3

+ 𝛽

1

𝑍

𝑡−1

+ 𝛽

2

𝑍

𝑡−2

+ 𝛽

3

𝑍

𝑡−3

+ 𝛽

4

𝑍

𝑡−4

+ 𝜀

𝑡

4. Ocena przydatności modelu w procesie prognozowania

Test Durbina-Watsona – test służący do badania zjawiska autokorelacji rzędu I składnika losowego.
H0:



1

=0 (współczynnik autokorelacji rzędu I składnika losowego jest równy 0, co oznacza brak autokorelacji

rzędu I)
H1:



1



0 (współczynnik autokorelacji rzędu I składnika losowego jest różny od 0, co oznacza występowanie

autokorelacji rzędu I)

Do badania autokorelacji rzędu I służy statystyka DW, którą porównuje się z dolną oraz górną granicą
odczytaną z tablic rozkładu testu DW uzależnioną od wielkości próby oraz liczby szacowanych parametrów

w modelu bez wyrazu wolnego.

Jeżeli DW>2, wówczas należy wyprowadzić statystykę DW*=4-DW

DW, DW* > dU (górna granica testu), wówczas występuje brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej,

która wskazuje na brak autokorelacji rzędu I.
DW, DW* ≤ dL (dolna granica testu), wówczas występuje odrzucenie hipotezy zerowej na korzyść
alternatywnej, co oznacza występowanie autokorelacji rzędu I.

dL< DW, DW* ≤ dU wówczas test DW nie rozstrzyga o istnieniu autokorelacji składnika losowego, należy
zastosować inny test, jest to obszar niekonkluzywny testu.

Test Quinoille’a (wartości współczynników autokorelacji cząstkowej dla testu należy szukać w wartościach
funkcji PACF)
H0:





= 0 (współczynnik autokorelacji rzędu m nie występuje) (



=1,2,…,k)

H1:







0 (współczynnik autokorelacji rzędu m występuje) (



=1,2,…,k)

Test ten pozwala badać autokorelację cząstkową rzędów wyższych.
Wartość statystyki testu przyrównuje się do wartości krytycznej równej

2

√𝑁

, gdzie N jest liczebnością próby.

Jeżeli |

𝝆

𝝉𝝉

| ≥

𝟐

√𝑵

, wówczas następuje odrzucenie hipotezy zerowej H0 na korzyść alternatywnej. Stwierdza

się występowanie autokorelacji m rzędu składnika losowego.
Jeśli |

𝝆

𝝉𝝉

| <

𝟐

√𝑵

, wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H0, zatem brak jest

autokorelacji m rzędu składnika losowego

Przykład badania autokorelacji cząstkowej na podstawie funkcji PACF







Decyzja

1. Obliczenie wartości krytycznej testu Quinoile’a wg wzoru

2

√𝑁

=

2

√45

= 0.2913.

2. Stosując metodę od góry do dołu badamy przekroczenia

wartości współczynnika autokorelacji cząstkowej





3. Procedura trwa dopóki nie nastąpi odrzucenie hipotezy

zerowej dla

UWAGA! Ustalony rząd autokorelacji odpowiada szukanemu
rzędowi autoregresji.

1

0.58

2

0.28

3

-0.19

4

0.49

|𝜌

4

| ≥ 0.2913 odrzucenie

H0, oznacza występowanie

autokorelacji

rzędu

4

składnika

losowego,

procedura zatrzymuje się.

5

-0.09

|𝜌

55

| < 0.2913

brak

podstaw do odrzucenia H0,
testujemy dalej

6

0.10

|𝜌

66

| < 0.2913,

brak

podstaw do odrzucenia H0,
testujemy dalej

Test Ljunga Boxa (Q) – służy do badania autokorelacji rzędów wyższych
H0:



1

= … =



m

= 0 (współczynnik autokorelacji rzędu m nie występuje)

H1:



1



…





m



0 (współczynnik autokorelacji rzędu m występuje)

Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-VALUE!!!

Test Jarque’a – Bery (JB) – służy do badania, czy rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym.

H0: F(e

i

) = F

N

(e

i

) (rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym)

H1: F(e

i

)



F

N

(e

i

) (składnik losowy ma rozkład inny niż rozkład normalny)

Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-VALUE!!!

Test Chowa (F

CHOWA

) – służy do badania zmian strukturalnych w parametrach modelu, weryfikuje hipoteze o

stabilności parametrów modelu.

H0: parametry modelu są stabilne w czasie
H1: parametry modelu są niestabilne w czasie

Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-VALUE!!!

Test na liniowość zależności (LM

liniowość

).

H0: zależność w modelu jest liniowa
H1: zależność w modelu jest nie liniowa

Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-VALUE!!!

Test White’a (LM

hetero

) – test służy do badania jednorodności wariancji (homoskedastyczności wariancji)

H0:



k

= 0 (wariancja jest homoskedastyczna)

H1:



k



0 (wariancja jest heteroscedastyczna)

Reguła decyzyjna: PATRZ – TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-VALUE!!!

Interpretacja współczynnika determinacji R

2

– wyraża udział zmienności części teoretycznej modelu w

całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej. Jest miarą dopasowania modelu do danych empirycznych.
Powinien przyjmować wartości większe niż 85%.

Przykład. R

2

= 90% - oznacza to, że zmienne objaśniające w modelu wyjaśniają 90% zmienności zmiennej

objaśnianej. Dopasowanie modelu do danych empirycznych z próby jest wysokie i przekracza granicę 85%.

Interpretacja współczynnika zmienności V

U

– wyraża procentowy udział średniego błędu reszt w średniej

wartości zmiennej objaśnianej. V

U

nie powinien przekraczać wartości 15%.

Przykład. V

U

= 12% oznacza, że udział procentowy błędu resztowego w średniej wartości zmiennej

objaśnianej wynosi 12% i nie przekracza progu 15%

5. Zapis modelu ekonometrycznego

Model: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1998:03-2014:06 (N = 196)

Zmienna zależna (Y): inf

Współczynnik

Błąd stand.

t-Studenta

wartość p

const

0,0133323

0,00544967

2,4464

0,01540

**

time

-0,000293175

0,000123815

-2,3679

0,01896

**

sq_time

2,44747e-06

1,0182e-06

2,4037

0,01726

**

t3

-6,42445e-09

2,64714e-09

-2,4269

0,01622

**

inf_1

1,34894

0,0716811

18,8187

<0,00001

***

inf_2

-0,375948

0,1125

-3,3418

0,00101

***

inf_3

-0,0222811

0,11012

-0,2023

0,83989

inf_4

0,018173

0,109384

0,1661

0,86824

inf_5

0,0356822

0,10825

0,3296

0,74207

inf_6

-0,035296

0,108145

-0,3264

0,74452

inf_7

0,01944

0,107161

0,1814

0,85625

inf_8

-0,0478541

0,106627

-0,4488

0,65412

inf_9

-0,0114271

0,104751

-0,1091

0,91326

inf_10

0,136582

0,102589

1,3314

0,18477

inf_11

-0,109699

0,103138

-1,0636

0,28895

inf_12

-0,468818

0,103968

-4,5093

0,00001

***

inf_13

0,652636

0,106657

6,1190

<0,00001

***

inf_14

-0,223987

0,0688229

-3,2545

0,00136

***

Średn.aryt.zm.zależnej

0,037961 Odch.stand.zm.zależnej

0,029073

Suma kwadratów reszt

0,002011 Błąd standardowy reszt

0,003361

Wsp. determ. R-kwadrat

0,987798 Skorygowany R-kwadrat

0,986632

F(17, 178)

847,6162 Wartość p dla testu F

1,9e-160

Autokorel.reszt - rho1

0,011438 Stat. Durbina-Watsona

1,971392

𝒊𝒏𝒇

𝒕

=

𝟎,𝟎𝟏𝟑

(𝟎,𝟎𝟎𝟓)

−

𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟑𝒕𝒊𝒎𝒆

(𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏)

+

𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝒕𝒊𝒎𝒆

𝟐

(𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏)

−

𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝒕𝒊𝒎𝒆

𝟑

(𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐)

+

𝟏,𝟑𝟒𝟗𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟏

(𝟎,𝟎𝟕𝟐)

−

𝟎,𝟑𝟕𝟔𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟐

(𝟎,𝟏𝟏𝟑)

−

𝟎,𝟎𝟐𝟐𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟑

(𝟎,𝟏𝟏)

+

𝟎,𝟎𝟏𝟖𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟒

(𝟎,𝟏𝟎𝟗)

+

𝟎,𝟎𝟑𝟔𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟓

(𝟎,𝟏𝟎𝟖)

−

𝟎,𝟎𝟑𝟓𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟔

(𝟎,𝟏𝟎𝟖)

+

𝟎,𝟎𝟏𝟗𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟕

(𝟎,𝟏𝟎𝟕)

−

𝟎,𝟎𝟒𝟖𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟖

(𝟎,𝟏𝟎𝟕)

−

𝟎,𝟎𝟏𝟏𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟗

(𝟎,𝟏𝟎𝟓)

+

𝟎,𝟏𝟑𝟕𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟏𝟎

(𝟎,𝟏𝟎𝟑)

−

𝟎,𝟏𝟏𝟎𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟏𝟏

(𝟎,𝟏𝟎𝟑)

−

𝟎,𝟒𝟔𝟗𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟏𝟐

(𝟎,𝟏𝟎𝟒)

+

𝟎,𝟔𝟓𝟑𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟏𝟑

(𝟎,𝟏𝟎𝟕)

−

𝟎,𝟐𝟐𝟒𝒊𝒏𝒇

𝒕−𝟏𝟒

(𝟎,𝟎𝟔𝟗)

+ 𝜺

𝒕

Zapisanie modelu ekonometrycznego z wydruku gretla należy rozpocząć od sprawdzenia jak oznaczona jest
zmienna zależna (zmienna objaśniana – w tym przypadku inf

t

Następnie należy zapisać model, gdzie przed znakiem równości znajduje się proces objaśniany (w tym

przypadku inf

t

) a następnie po znaku równości należy przepisać współczynniki parametrów strukturalnych

wraz z zmiennymi objaśniającymi ( tutaj: time, time

2

, time

3

, inf

t-1

do inf

t-14

). Pod współczynnikami parametrów

należy zapisać w nawiasach błędy standardowe.
W wydruku pogrubiono wartości które należy przepisać aby model ekonometryczny został poprawnie
zapisany.
Każdy model ekonometryczny musi mieć zapisany również składnik losowy (tutaj:

ε

t

)