1
1
L.Morawski
Podstawowe człony
dynamiczne cz.1
Człony pierwszego rzędu
2
L.Morawski
Człony pierwszego rzędu są to takie człony,
które opisane są równaniami różniczkowymi
pierwszego rzędu lub co jest temu
równoważne, opisane transmitancją, której
wielomian mianownika jest pierwszego rzędu
2
L.Morawski
3
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny (zerowego rzędu)
U(s)
Y(s)
G(s)
k
U(s)
Y(s)
G(s)
U(s)
k
Y(s)
)
t
(
u
k
)
t
(
y
=
=
⇒
⋅
=
⇒
⋅
=
u(t)
y(t)
t
y(t)
u(t)
y(t), u(t)
Odpowiedź jednostkowa
20log|G(j
ω)|
log
ω
log
ω
20logk
ϕ(ω)
Charakterystyki logarytmiczne
L.Morawski
4
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny
k
)
(
P
k
)
(
jQ
)
(
P
)
s
(
G
)
j
(
G
j
s
=
⇒
=
+
=
=
=
ω
ω
ω
ω
ω
Q
P
k
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Przykład:
R
1
R
2
u
1
(t)
u
2
(t)
2
1
1
2
2
1
1
1
R
R
R
k
G(s)
)
t
(
u
R
R
R
)
t
(
u
+
=
=
+
=
3
L.Morawski
5
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny
Przykład członu proporcjonalnego ze elektronicznym wzmacniaczem operacyjnym
+
v
−
v
i
v
o
v
Napięcie
wyjściowe
Zasilanie
Napięcia
wejściowe
V
cc
R
i
R
0
Napięcia mierzone są względem masy,
R
i,
R
o
rezystancja wejściowa i wyjściowa wzmacniacza
)
(
A
o
o
−
+
ν
−
ν
=
ν
i
v
=
Wzmocnienie
wzmacniacza
operacyjnego
wejście
nieodwracające
wejście
odwracające
1
10
10
A
6
4
o
>>
÷
=
i
o
R
R
>>
L.Morawski
6
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny
Przykład członu proporcjonalnego ze elektronicznym wzmacniaczem operacyjnym
1
2
i
o
1
i
2
o
1
i
2
o
0
o
R
R
v
v
R
v
R
v
R
v
v
R
v
v
0
i
,
i
0,
v
,
0
v
)
v
0
(
A
v
−
=
−
=
⇒
−
=
−
≈
=
≈
⇒
−
=
−
−
+
−
+
−
−
4
L.Morawski
7
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny
Przykład członu proporcjonalnego ze elektronicznym wzmacniaczem operacyjnym
1
2
1
1
2
2
0
R
R
v
)
R
R
1
(
v
v
−
+
=
⇒
)
R
R
1
(
v
v
1
2
2
0
+
=
L.Morawski
8
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człon proporcjonalny
Przykład członu proporcjonalnego ze elektronicznym wzmacniaczem operacyjnym
_
+
z
1
z
2
v
i
v
o
1
2
i
o
z
z
v
v
−
=
kondensator
C
L
indukcyjność
sC
1
jω
1
z
s
jω
=
=
⇒
=
C
sL
jω
z
s
jω
=
=
⇒
=
L
R
z
_
+
R
1
v
1
v
o
R
2
R
n
v
2
v
n
∑
=
−
=
n
1
i
i
i
z
o
v
R
1
R
v
1
o
z
1
v
v
R
R
R
1
n
−
=
⇒
=
=
=
Inwerter (blok zmieniający znak sygn.)
v
1
v
o
-1
Sumator
)
v
v
(
v
R
R
R
R
2
n
.
np
2
1
o
2
1
z
+
−
=
=
=
=
=
v
1
v
2
v
o
5
L.Morawski
9
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człony proporcjonalne mechaniczne
)
s
(
F
l
l
)
s
(
F
l
F
l
F
2
1
2
1
2
2
1
1
⋅
=
⇒
⋅
=
⋅
k
)
s
(
N
D
D
)
s
(
N
D
)
s
(
N
D
)
s
(
N
1
2
1
2
2
2
1
1
⋅
=
⋅
=
⋅
Przekładnia zębata
0
2
0
2
k
)
s
(
H
c
d
Y(s)
)
h
h
(
d
y
c
+
⋅
π
=
⇓
−
π
=
⋅
k
L.Morawski
10
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człony proporcjonalne mechaniczne
)
s
(
P
c
A
)
s
(
Y
)
s
(
P
A
)
s
(
Y
c
x
x
⋅
=
⋅
=
⋅
Siłownik
Kaskada pneumatyczna
R
2
≡x
R
1
Atm p=0
p
k
-
ciśnienie wyjściowe
p
0
-
ciśnienie powietrza zasilania
)
x
x
(
R
R
k
p
R
R
R
p
p
0
2
1
x
0
2
2
1
0
k
−
+
⋅
=
⋅
+
=
k≈20−40 N/mm
3
6
11
L.Morawski
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człony proporcjonalne mechaniczne
u
u
1
2
y
2
u
1
y
p
k
p
l
s
l
S
p
l
S
p
l
s
p
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
u
u
y
u
y
p
k
p
s
S
p
S
p
s
p
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
Wzmacniacze ciśnienia powietrza w wykonaniu:
a) na równoważni pneumatycznej, b) membranowym
12
L.Morawski
Podstawowe człony dynamiczne
Człony pierwszego rzędu
Człony inercyjne
Transmitancja
k - współczynnik wzmocnienia
T – stała czasowa
sT
1
k
)
s
(
U
)
s
(
Y
)
s
(
G
+
=
=
Równanie różniczkowe
)
t
(
ku
)
t
(
y
dt
dy
T
=
+
Przykład: Wyznaczyć odpowiedź na skok jednostkowy członu inercyjnego
( )
−
=
⋅
−
⋅
=
τ
=
=
⇒
+
⋅
⋅
=
+
⋅
=
⋅
+
=
−
τ
−
τ
−
∫
t
T
1
t
0
T
1
t
0
T
1
e
1
kA
e
T
T
kA
d
e
T
kA
)
t
(
h
y(t)
s
T
1
1
T
kA
s
1
)
sT
1
(
s
kA
s
1
A
sT
1
k
)
s
(
H
całkowanie w dziedzinie czasu
at
e
a
s
1
−
⇔
+
7
13
L.Morawski
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
j
s
T
1
kT
)
(
Q
T
1
k
)
(
P
T
1
kT
j
T
1
k
T
1
jkT
k
)
T
j
1
(
)
T
j
1
(
T
j
1
k
)
s
(
G
)
j
(
G
ω
+
ω
−
=
ω
ω
+
=
ω
ω
+
ω
−
ω
+
=
ω
+
ω
−
=
ω
−
ω
−
⋅
ω
+
=
=
ω
ω
=
funkcja parzysta (
ω)
funkcja nieparzysta
4
k
Q
2
k
P
2
2
2
=
+
−
Człony inercyjne
Charakterystyki amplitudowo-fazowe
0
-k/2
0
Q(
ω)
0
k/2
K
P(
ω)
∞
1/T
0
ω
14
L.Morawski
Człony inercyjne
kA
95
.
0
e
1
e
kA
e
1
kA
)
T
3
(
h
h(t)
kA
63
.
0
e
1
e
kA
e
1
kA
)
T
(
h
h(t)
T
kA
e
T
kA
dt
dh(t)
e
1
kA
)
t
(
h
3
3
T
T
3
T
3
t
T
T
T
t
0
t
T
t
T
t
⋅
≈
−
=
−
=
=
⋅
≈
−
=
−
=
=
=
=
⇒
−
=
−
=
−
=
=
−
−
8
15
L.Morawski
Człony inercyjne
Logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy (ch-ki Bodego)
20log(k)
20
log
(1/T
)-2
0lo
gω
=arctg(-
ωT)
>>
ω
ω
−
<<
ω
ω
+
−
=
ω
+
=
T
1
dla
log
20
T
1
log
20
T
1
dla
0
)
T
(
1
log
20
k
log
20
)
T
(
1
k
log
20
Lm
2
2
)
T
(
arctg
)
(
P
)
(
Q
arctg
)
(
ω
−
=
ω
ω
=
ω
ϕ
Zera nie ma
Rozkład zer i biegunów:
Bieguny: ═►
T
1
s
−
=
j
ω
δ
-1/T
16
L.Morawski
Człony inercyjne
ω
w
p
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
p
w
w
w
w
w
p
R
k
k
,
R
L
T
sT
1
k
)
s
(
U
E(s)
,
s
R
L
1
R
)
s
(
U
)
s
(
I
)
s
(
sLI
)
s
(
I
R
)
s
(
U
),
s
(
I
k
)
s
(
E
dt
di
L
i
R
u
i
k
e
=
=
+
=
+
=
+
=
⋅
=
+
=
⋅
=
Prądnica prądu stałego
Czwórnik LC
R
L
s
1
1
)
s
(
U
)
s
(
U
)
s
(
U
R
L
s
)
s
(
U
)
s
(
U
dt
du
R
L
u
u
R
u
i
,
dt
di
L
u
u
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
+
=
⇒
+
=
+
=
⇒
=
=
−
9
17
L.Morawski
Człony inercyjne
C
R
2
R
1
+
u
1
u
2
sC
1
C
j
1
z
s
j
c
=
ω
=
=
ω
C
R
T
,
R
R
k
C
sR
1
R
R
R
sC
1
R
sC
1
R
Z
Z
)
s
(
U
)
s
(
U
2
1
2
2
1
2
1
2
2
R
C
||
R
1
2
1
2
=
−
=
+
−
=
+
⋅
−
=
−
=
R
C
u
1
u
2
|||
sRC
1
)
s
(
U
sC
1
sC
1
R
)
s
(
U
)
s
(
U
1
1
2
+
=
+
=
p
p
1
2
C
sR
1
1
)
s
(
P
)
s
(
P
+
=
]
s
/
[m
Q
[A]
i
]
[N/m
p
[V]
u
3
2
↔
∆
↔
∆
]
N
/
m
[
-
C
dt
dp
C
Q
]
[Ns/m
-
R
Q
R
p
5
p
p
5
p
p
→
=
→
⋅
=
∆
18
L.Morawski
Człony inercyjne
Silnik prądu stałego (obcowzbudny)
sterowany w obwodzie wirnika
ω
R
e
i
U
w
u
sT
1
k
k
k
RJ
s
1
k
1
)
s
(
U
)
s
(
)
s
(
G
dt
d
k
J
i
M
M
i
k
M
dt
d
J
M
k
e
e
i
R
u
'
1
'
'
'
1
e
'
1
e
'
+
=
⋅
+
=
Ω
=
ω
=
⇒
=
⋅
=
ω
=
ω
⋅
=
+
⋅
=
- moment bezwładności
- moment elektryczny
10
19
L.Morawski
Człony inercyjne
(tłumienie wypływu)
S-powierzchnia wypływu
R -zwężka
Zbiornik posiada swobodny wypływ
Q
s
tłumiony zwężką R. Dla zbiornika
bilans materiałowy jest następujący:
dt
dH
A
H
K
Q
,
dt
dH
A
Q
Q
E
s
E
=
−
=
−
(wypływ)
(wysokość)
(dopływ)
(objętość)
H
V
Q
E
Q
S
h
H
0
A (powierzchnia zb.)
H
K
Q
s
=
swobodny wypływ
H
k'
v
2
mv
mgH
2
⋅
=
⇒
=
H
K
S
v
Q
s
⋅
=
⋅
=
dla punktu równowagi Q
s0
, H
0,
spełniona jest zależność:
E0
E
E
E0
E
0
0
ja
linearyzac
0
0
0
E
Q
q
,
q
Q
Q
,
H
h
,
h
H
H
0
dt
dH
A
H
K
Q
<<
+
=
<<
+
=
=
=
−
⇒
dt
dh
A
H
h
1
H
K
q
Q
,
dt
)
h
H
(
d
A
h
H
K
q
Q
0
0
E
0
E
0
0
E
0
E
=
+
−
+
⇒
+
=
+
−
+
sT
1
k
)
s
(
Q
)
s
(
H
K
H
2
C
,
dt
dh
A
h
C
1
-
q
,
dt
dh
A
H
h
H
2
1
H
K
q
Q
E
0
E
0
0
0
E
0
E
+
=
⇒
=
=
⇒
=
−
−
+
A
1
k
,
K
H
A
2
T
0
=
=
20
L.Morawski
Człony całkujący
∫
∫
=
τ
τ
=
τ
τ
=
t
0
t
0
T
1
k
d
)
(
u
T
1
d
)
(
u
k
)
t
(
y
s
k
)
s
(
U
)
s
(
Y
)
s
(
G
=
=
Odpowiedź jednostkowa
t
kA
dt
)
t
(
1
A
k
)
t
(
h
)
t
(
y
t
0
⋅
=
⋅
=
=
∫
∫
⋅
=
τ
τ
δ
=
=
t
0
)
t
(
1
k
d
)
(
k
)
t
(
g
)
t
(
y
Odpowiedź impulsowa
u(t)
h(t)
kAt
A·!(t)
t
u(t)
g(t)
k·!(t)
t
δ(t)
11
21
L.Morawski
Człon całkujący
0
)
P(
),
(
Q
k
j
j
k
)
s
(
G
)
j
(
G
j
s
=
ω
ω
=
ω
−
=
ω
=
=
ω
ω
=
Charakterystyki amlitudowo-fazowe (Nyguista)
P(
ω)
Q(
ω)
ω=∞
ω=0
+
Logarytmiczne charakterystyki amlitudy i fazy
(Bodego)
(
)
2
)
j
(
G
arg
)
(
,
log
20
k
log
20
|
)
G(j
|
20log
k
j
j
k
)
s
(
G
)
j
(
G
j
s
π
−
=
ω
=
ω
ϕ
ω
−
=
=
ω
⇒
ω
−
=
ω
=
=
ω
ω
=
log
ω
log
ω
20log|G|
ϕ(ω)
20logk
-20
logω
ω=1
−π/2
Zera nie ma
Rozkład zer i biegunów:
Bieguny: ═►
0
s
=
j
ω
δ
s
22
L.Morawski
Człon całkujący
RC
T
RC
1
-
k
RCs
1
R
sC
1
)
s
(
U
)
s
(
U
)
s
(
G
1
2
=
=
−
=
−
=
=
Przykłady członów całkujących
C
R
+
u
1
u
2
sC
1
C
j
1
z
s
j
c
=
ω
=
=
ω
s
k
)
s
(
U
)
s
(
Y
)
s
(
G
=
=
12
23
L.Morawski
Człon całkujący
τ
τ
ω
=
α
=
=
∫
ω
t
0
)d
(
k
(t)
s
k
)
s
(
)
s
(
)
s
(
G
α
Przykładem członu całkującego jest np licznik odległości, licznik
obrotów, przekładnia mechaniczna jeśli jako wymuszenie przyjmie się
prędkość kątową koła , wałka napędowego
ω natomiast za wyjście
wskazania licznika lub kąt położenia wałka przekładni
ω
α-kąt
24
L.Morawski
Człon całkujący
A
1
k
s
k
)
s
(
Q
)
s
(
H
)
s
(
G
d
)
(
Q
A
1
h
A
Q
dt
dh
dt
Q
Adh
we
t
0
we
we
we
=
=
=
τ
τ
=
⇒
=
⇒
=
∫
Przykłady członów całkujących
Q
we
A-pole powierzchni
h
13
25
L.Morawski
Człon różniczkujący
Odpowiedź członu na wymuszenie skokowe
Transmitancja
k - współczynnik wzmocnienia
ks
)
s
(
U
)
s
(
Y
)
s
(
G
=
=
Równanie różniczkowe
dt
du
k
)
t
(
y
=
20logk
1
Charakterystyka Bode’go
2
)
(
,
20log
20logk
|
G
|
20log
jk
)
s
(
G
)
j
(
G
j
s
π
=
ω
ϕ
ω
+
=
ω
=
=
ω
ω
=
Zera:
Rozkład zer i biegunów:
Bieguny: brak
0
s
=
j
ω
δ
s
26
L.Morawski
Człon różniczkujący
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
0
)
P(
)
(
Q
jk
)
s
(
G
)
j
(
G
j
s
=
ω
ω
=
ω
=
=
ω
ω
=
P(
ω)
Q(
ω)
ω=0
+
ω→
∞
Przykłady:
C
R
+
u
1
u
2
sC
1
C
j
1
z
s
j
c
=
ω
=
=
ω
-RC
k
RCs
sC
1
R
(s)
U
(s)
U
G(s)
1
2
=
−
=
−
=
=
Ze względu na złą polaryzację wej.”-”
wzmac. oraz podatność na zakłócenia o
dużej częstotliwości układ rzadko jest
stosowany
14
27
L.Morawski
1. Sprężyna: za wymuszenie przyjmujemy siłę działającą na sprężynę, a za odpowiedź
prędkość „v” przesuwania się końca sprężyny.
Człon różniczkujący
Przykłady idealnego członu różniczkującego:
Stąd otrzymujemy transmitancje operatorową:
gdzie
m
t
-
m
c
u
f
dt
du
(t)
v
d
)
(
v
C
1
f
=
=
τ
τ
=
∫
∞
m
C
- współczynnik sprężystości
Po przekształceniu Laplace’a
)
(
1
)
(
s
V
sC
s
F
m
=
m
sC
s
F
s
V
s
G
=
=
)
(
)
(
)
(
2. Kondensator
sC
)
s
(
U
)
s
(
I
)
s
(
G
dt
du
C
)
t
(
i
c
c
c
c
=
=
⇒
=
C
i
c
u
c
28
L.Morawski
Rzeczywisty człon różniczkujący
Odpowiedź członu na
wymuszenie skokowe
Charakterystyka Bode’go
Transmitancja
k - współczynnik wzmocnienia
T – stała czasowa
sT
1
ks
)
s
(
G
+
=
Równanie różniczkowe
dt
dx
k
)
t
(
y
dt
dy
T
=
+
Zera:
Rozkład zer i biegunów:
T
1
s
−
=
0
s
=
Bieguny:
j
ω
δ
s
-1/T
15
29
L.Morawski
2
2
2
2
T
4
k
Q
T
2
k
P
=
+
−
Rzeczywisty człon różniczkujący
Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquista)
T
1
k
)
(
Q
T
1
T
k
)
(
P
T
1
k
j
T
1
T
k
)
T
j
1
(
)
T
j
1
(
)
T
j
1
(
jk
)
s
(
G
)
j
(
G
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
j
s
ω
+
ω
=
ω
ω
+
ω
=
ω
ω
+
ω
+
ω
+
ω
=
ω
−
⋅
ω
+
ω
−
⋅
ω
=
=
ω
ω
=
0
k/2T
0
Q(
ω)
k/T
k/2T
0
P(
ω)
∞
1/T
0
ω
ω=0
ϕ(ω)=45
o
ω=∞
ω=1/T
k/2T
k/2T
Q(
ω)
P(
ω)
30
L.Morawski
Rzeczywisty człon różniczkujący
RC
T
sT
1
sT
)
s
(
U
)
s
(
U
)
s
(
G
1
2
=
+
=
=
C
R
2
+
u
1
u
2
sC
1
jωω
1
z
s
jω
c
=
=
=
R
1
C
R
T
C
R
k
sT
1
ks
C
sR
1
C
sR
sC
1
R
R
)
s
(
G
1
2
1
2
1
2
=
=
+
=
+
=
+
−
=
16
31
L.Morawski
Rzeczywisty człon różniczkujący
−
⋅
=
⋅
=
⋅
dt
dy
dt
du
B
)
t
(
v
B
)
t
(
y
c
v(t) - prędkość tłoczka względem cylindra
c
B
T
sT
1
Ts
)
s
(
U
)
s
(
Y
)
s
(
G
dt
du
c
B
y
dt
dy
c
B
dt
dy
dt
du
B
)
t
(
y
c
=
+
=
=
⋅
=
+
⋅
⇒
−
⋅
=
⋅
32
L.Morawski
Człon opóźniający
τ
−
=
=
⇔
τ
−
=
s
e
U(s)
Y(s)
G(s)
)
t
(
u
y(t)
u(t)
y(t)
t
t
τ
Odpowiedź na skok jednostkowy
Przykład:
v
l
)
t
(
u
y(t)
=
τ
τ
−
=
17
33
L.Morawski
Człon opóźniający
Logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy
)
-sin(
)
Q(
)
cos(
)
P(
)
jsin(
-
)
cos(
e
G(s)
)
G(j
j
j
s
ωτ
=
ω
ωτ
=
ω
ωτ
ωτ
=
=
=
=
ω
ωτ
−
ω
=
ωτ
−
=
ω
ϕ
=
=
=
)
(
0
)
1
log(
20
|
G
|
log
20
Lm
Charakterystyki amplitudowo-fazowe