1
L.Morawski
1
Podstawowe człony
dynamiczne cz.2
Człony drugiego rzędu
i inne człony nieelementarne
L.Morawski
2
Układami (członami) drugiego rzędu są układy, które opisane są
równaniami różniczkowymi drugiego rzędu lub układy opisane
transmitancją, w której wielomian w mianowniku jest drugiego
stopnia względem operatora Laplace’a „s”
2
L.Morawski
3
Człon oscylacyjny
1
s
T
2
T
s
k
s
2
s
k
)
s
(
U
)
s
(
Y
)
s
(
G
0
2
0
2
2
0
0
2
2
0
+
ξ
+
=
ω
+
ξω
+
ω
=
=
2
0
o
2
2
0
s
2
s
k
s
1
)
s
(
G
s
1
)
s
(
H
ω
+
ξω
+
ω
=
=
Równanie różniczkowe:
Transmitancja:
u
k
y
dt
dy
2
dt
y
d
2
0
2
0
0
2
2
ω
=
ω
+
ξω
+
k-współczynnik wzmocnienia
ω
0
-pulsacja oscylacji własnych członu
ξ -względny współczynnik tłumienia ( 0
≤ ξ ≤
1 )
Odpowiedź
na
skok jednostkowy:
L.Morawski
4
Człon oscylacyjny
n
n
i
i
1
1
p
s
K
p
s
K
p
s
K
)
s
(
M
)
s
(
L
)
s
(
F
−
+
+
−
+
+
−
=
=
K
K
i
p
s
i
i
s
F
p
s
K
=
−
=
)]
(
)
[(
Przypomnienie:
(
)
(
)
2
0
2
2
0
1
2
3
1
2
1
2
0
2
0
o
2
2
0
1
j
s
1
j
s
s
s
k
s
s
k
s
k
k
s
2
s
k
s
1
)
s
(
G
s
1
)
s
(
H
ξ
−
−
ξ
ω
−
=
ξ
−
+
ξ
ω
−
=
−
+
−
+
⋅
ω
=
ω
+
ξω
+
ω
⋅
=
=
pierwiastki
−
−
+
−
−
+
ω
2
1
2
2
1
2
1
1
2
0
s
s
1
)
s
s
(
s
1
s
s
1
)
s
s
(
s
1
s
1
)
0
(
M
1
k
K
1
K
2
K
3
3
L.Morawski
5
(
)
ξ
ξ
=
ϕ
ϕ
+
ξ
−
ω
ξ
−
−
=
−
+
−
+
ω
ω
=
ξω
−
2
2
0
2
t
t
s
1
2
2
t
s
2
1
1
2
0
2
0
-
1
arctg
czym
przy
t
1
sin
1
e
1
k
)
t
(
h
e
)
s
s
(
s
1
e
)
s
s
(
s
1
1
k
)
t
(
h
0
2
1
2
0
1
ξ
−
ω
=
ω
Odpowiedź
na
skok
jednostkowy
Obserwowana
pulsacja oscylacji
d
1
d
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
d
d
ln
4
d
d
ln
e
d
d
2
+
π
=
ξ
=
ξ
−
ξπ
−
Człon oscylacyjny
L.Morawski
6
Człon oscylacyjny
Odpowiedź jednostkowa członu drugiego rzędu dla różnych wartości
ξ
przy
ω
0
=1, k=1
4
L.Morawski
7
Człon oscylacyjny
Rozkład zer i biegunów: zer: nie ma
0
s
2
s
2
0
0
2
=
ω
+
ξω
+
Równanie charakterystyczne:
bieguny: dla
ξ
= 1
bieguny: dla 0 ≤
ξ
≤ 1
(
)
(
)
2
0
2
2
0
1
1
j
s
ξ
1
j
ξ
ω
s
ξ
−
−
ξ
ω
−
=
−
+
−
=
ω
−
δ
−
=
j
s
1
ω
+
δ
−
=
j
s
2
Bieguny
sprzężone
δ
−
=
ω
−
=
=
0
2
1
s
s
bieguny dla
ξ > 1
(
)
(
)
0
T
1
1
s
0
T
1
1
s
2
2
0
2
1
2
0
1
<
−
=
−
ξ
−
ξ
ω
−
=
<
−
=
−
ξ
+
ξ
ω
−
=
re(s)
img(s)
-
ω
0
ξ
ω
0
α
cos
α=ξ
2
0
1
ξ
−
ω
2
0
1
ξ
−
ω
−
L.Morawski
8
Człon oscylacyjny
Rozkład biegunów dla różnych wartości
ξ
przy
ω
0
=1, k=1
1
5
L.Morawski
9
Charakterystyki amplitudowo-fazowe
=
ω
ξω
−
ω
−
ω
ω
ξω
−
ω
−
ω
⋅
ω
ξω
+
ω
−
ω
ω
=
=
ω
ω
=
0
2
2
0
0
2
2
0
0
2
2
0
2
0
j
s
2
j
2
j
2
j
k
)
s
(
G
)
j
(
G
(
)
(
)
)
Q(
)
P(
2
k
2
j
)
(
k
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
0
0
ω
ω
ω
ξω
+
ω
−
ω
ω
ξω
⋅
−
ω
−
ω
ω
=
0
-k/2ξ
0
Q(ω)
0
0
k
P(ω)
∞
ω
0
0
ω
Człon oscylacyjny
L.Morawski
10
Człon oscylacyjny
Logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy
( )
( )
(
)
( )
2
0
0
2
2
0
0
2
0
2
2
0
ω
j
2
0
2
2
2
0
ω
j
2
0
ω
j
1
2
arctg
2
arctg
)
(
2
1
e
k
)
2
(
e
k
e
)
j
(
G
)
j
(
G
ω
ω
−
ω
ω
ξ
−
=
ω
−
ω
ω
ξω
−
=
ω
ϕ
ω
ω
ξ
+
ω
ω
−
⋅
=
ω
ξω
+
ω
−
ω
⋅
ω
=
=
⋅
ω
=
ω
ϕ
ϕ
ϕ
6
L.Morawski
11
Człon oscylacyjny
Przykłady:
R
L → sL
1/sC ← C
U(s)
U
c
(s)
L
C
2
R
LC
1
1
sRC
LC
s
)
s
(
U
sC
1
sL
sC
1
R
)
s
(
U
)
s
(
U
0
2
c
=
ξ
=
ω
+
+
=
⋅
+
+
=
u
c
1
dt
du
R
dt
u
d
m
f
m
m
2
2
+
+
=
Równanie sił
m - masa części ruchomych
c
m
– współczynnik sprężystości sprężyny
R
m
– opór mechaniczny tarcia lepkiego
1
c
sR
mc
s
c
c
1
sR
m
s
1
)
s
(
F
)
s
(
Y
)
s
(
G
m
m
m
2
m
m
m
2
+
+
=
+
+
=
=
L.Morawski
12
Człon oscylacyjny
Przykład: zawieszenie samochodu
Równanie sił
m – masa nadwozia
k – współczynnik resora
(=odwrotności współczynnika sprężystości)
B – współczynnik teleskopu
g
m
)
u
y
(
k
dt
du
dt
dy
B
dt
y
d
m
2
2
⋅
=
−
+
−
+
⋅
g – przyspieszenie grawitacyjne
1
s
k
B
s
s
k
B
1
U(s)
Y(s)
G(s)
u
k
dt
du
B
y
k
dt
dy
B
dt
y
d
m
2
2
2
+
+
+
=
=
⇒
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
profil drogi
nadwozie o
masie m
resor k
B tłumik
poziom odniesienia
y
u
profil drogi
7
L.Morawski
13
Człon całkujący z inercją
Transmitancja
)
sT
1
(
s
k
)
s
(
G
v
+
=
k
v
- współczynnik wzmocnienia
T - stała czasowa inercji
Odpowiedź członu na
wymuszenie skokowe
Logarytmiczne ch-ki amplitudy i
fazy (Bode’go)
Równanie różniczkowe
x
k
dt
y
d
T
dt
dy
v
2
2
=
+
1
L.Morawski
14
Człon całkujący z inercją
Zera: nie ma
Rozkład zer i biegunów:
Bieguny:
T
1
s
0
s
2
1
−
=
∨
=
j
ω
δ
s
-1/T
ω
α-
kąt
silnik
u
=
u
=
G
1
(s)
ω
G
2
(s)
α
)
sT
1
(
s
k
)
s
(
G
)
s
(
G
)
s
(
G
s
k
)
s
(
)
s
(
)
s
(
G
sT
1
k
)
s
(
U
)
s
(
)
s
(
G
2
1
2
2
1
1
+
=
⋅
=
=
Ω
=
+
=
Ω
=
α
8
L.Morawski
15
Człon całkujący z inercją
Charakterystyka amplitudowo fazowa
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
[
]
2
2
2
j
s
)
T
(
1
k
)
(
Q
)
T
(
1
kT
)
(
P
)
T
(
1
T
j
1
jk
T
j
1
T
j
1
T
j
1
j
k
)
s
(
G
)
j
(
G
ω
+
⋅
ω
−
=
ω
ω
+
−
=
ω
ω
+
⋅
ω
ω
−
⋅
−
=
ω
−
ω
−
⋅
ω
+
ω
=
=
ω
ω
=
0
-kT/2
-∞
Q(ω)
0
-kT/2
-kT
P(ω)
∞
1/T
0
ω
ω=∞
-kT
Q
P
ω=0
L.Morawski
16
Połączenie szeregowe (łańcuchowe) wielu członów
inercyjnych i całkujących
9
L.Morawski
17
Połączenie szeregowe (łańcuchowe) wielu członów
inercyjnych i całkujących
α
=-(n-m)
π
/2
L.Morawski
18
Połączenie szeregowe (łańcuchowe) wielu członów
inercyjnych i całkujących
1
1
sT
1
k
+
2
2
sT
1
k
+
s
k
3
Q
P
)
sT
1
)(
sT
1
(
s
k
2
1
+
+
)
sT
1
)(
sT
1
)(
sT
1
(
s
k
3
2
1
+
+
+
)
sT
1
)(
sT
1
(
s
k
2
1
2
+
+
10
L.Morawski
19
L.Morawski
20