egzamin algebra

1. Znaleźć bazę przestrzeni liniowej V i uzasadnić ze jest

¿

baza.

A. V

=



x , y , z , t 

∈

ℝ

4

; x

−

2y



z

−

3t

=

0 ; 2x

−

y



z



t

=

0 ; 5x

−

y



2z



6t

=

0

B. V

=



x , y , z , t 

∈

ℝ

4

; x

−

y



z



2t

=

0 ; 6x

−

y



2z



5t

=

0 ;

−

3x

−

2y



z



t

=

0

2. Znaleźć jądro i obraz odwzorowania liiowego danego wzorem . Określić wymiar tych podprzestrzeni i PODAĆ BAZY.

A. f : R

4



R

3

; f  x , y , z , t 

=



x



y



z , y



z



t , x

−

t 

B. f : R

4



R

3

; f  x , y , z , t 

=



−

x



y



z



t , x

−

y



z



t , z



t 

C. f : R

3



R

3

; f  x , y , z

=



−

y



z , x



y



z , x



2z

D. f : R

3



R

3

; f  x , y , z 

=



x



y

−

z



t , x

−

y



z



t , x



t 

E. f : R

3



R

2

: f  x , y , z

=



x

−

y



2z ,

−

2x



2y

−

4z

3. Wprost z definicji wykazać , że odwzorowanie f : R

3



R

2

wzorem f  x

1

, x

2

, x

3



=



2x

1

−

3x

2

−

x

3

, 4x

1

−

9x

2

−

2x

3



jest liniowe.

Wyznaczyć jądro , obraz i podać ich bazy oraz wymairy. Odpowiedź uzasadnić.

4.Odwzorowanie liniowe f : R

2



R

2

ma wektory właśne 1,2 ,2,

−

1 oraz odpowiadające wektory własne 3 oraz

−

2 . Oblicz f 1,0.

5. Odwzorowanie liniowe f : R

2



R

2

ma wektory właśne 2,1 ,1,

−

2 oraz odpowiadające wektory własne 2 oraz

−

3 . Oblicz f 1,0.

6. Odwzorowanie liniowe f : R

2



R

2

ma wartośći własne

−

2 oraz 1 i wektory własne i m odpowiadające 1,

−

1 ,2,

−

1. Oblicz f 1,

−

2.

7.Sprowadzić do postaci kanonicznje formę dwuliniową. Wskazać bazę.

A. f : R

3



R ; f  x , y , z

=

2x

2

−

y

2



z

2



4xy

−

4xz

B. f : R

3



R ; f  x , y , z

=

x

2

−

y

2



2z

2

−

4xy



4xz

8.Sprowadzić do postaci kanonicznej formę kwadratową :

f  x , y , z

=−

x

2



3y

2



z

2



4xy

−

4xz



2yz

Znaleźć baze w której macierz formy jest diagonalna. Podać tą macierz.

9.Podać rzut ortogonalnywektora 1,5 ,

−

1 na podprzestrzeń V

⊂

R

3

generowańa przez wektory 1,1 ,3 ,2,1 ,4.

10.Podać rzut ortogonalnywektora 

−

3,3 ,

−

3 na podprzestrzeń V

⊂

R

3

generowańa przez wektory 1,3 ,1 ,2,4 ,1.

11.Znaleźć baze ortonormalną przestrzeni V

⊂

R

3

ortogonalnej do prostej t ,2 t ,

−

t .

12.Znaleźć baze ortonormalną przestrzeni V

⊂

R

3

ortogonalnej do prostej 2t , t ,

−

3t .

13. Odwzorowanie liniowe f : R

2



R

2

jest dane w baziee e

1

=



2,1 , e

2

=



1,3 poprzez macierz A

=

[

2 1
3 1

]

.

A. Podać wzór tego odwzorowania w bazie kanonicznej.
B. Znaleźć macierz odwzorowania f w bazie e '

1

=



1,2. e '

2

=



3,1.

14. Odwzorowanie liniowe f : R

2



R

2

jest dane w baziee e

1

=



1,

−

2 , e

2

=



−

1,1 poprzez macierz A

=

[

2 1
3

−

2

]

.

Obliczyć wartość f 3,5.

15. Podać bazę ortonormalną przestrzeni V

=



x , y , z , t 

∈

R

4

; 2x

−

y



z

−

t

=

0.

16. Wyznaczyć część wspólną prostej przechodzącej przez punkty 1 ; 7 ;

−

4 ,

−

1 ; 4 ;

−

3i płaszczyzny 4x



2y

−

3z

=−

4.

17. Macierzą odwzorowania liniowego f : R

2



R

2

w bazie



1
3



,



1
1



jest A

=



1

−

2

3 0



Wyznaczyć macierz odwzorowania f w bazie



1
5



,



1

−

1



18. Rozwiązać układ stosując twierdzenie Kroneckera

−

Cappelliego

3x

−

2y



z

−

4t

=

1 ; x



4y



3z



2t

=

3 ; 2x



y2z

−

t

=

2

19. Znaleźć bazę przejscia od bazy 3,2 ,3,1 do bazy 1,1 ,1,

−

1