egzamin algebra

1. Znaleźć bazę przestrzeni liniowej V i uzasadnić ze jest ¿ baza.

A. V = x , y , z , t ∈ℝ4 ; x−2y z−3t=0 ; 2x− y z t=0 ; 5x− y2z6t=0

B. V = x , y , z , t ∈ℝ4 ; x− y z2t=0 ; 6x− y2z5t=0 ; −3x−2y z t=0

2. Znaleźć jądro i obraz odwzorowania liiowego danego wzorem . Określić wymiar tych podprzestrzeni i PODAĆ BAZY.

A. f : R 4 R 3 ; f  x , y , z , t = x y z , y z t , x− t 

B. f : R 4 R 3 ; f  x , y , z , t =− x y z t , x− y z t , z t 

C. f : R 3 R 3 ; f  x , y , z=− y z , x y z , x2z

D. f : R 3 R 3 ; f  x , y , z = x y− z t , x− y z t , x t 

E. f : R 3 R 2 : f  x , y , z= x− y2z , −2x2y−4z

3. Wprost z definicji wykazać , że odwzorowanie f : R 3 R 2 wzorem f  x , x , x =2x −3x − x , 4x −9x −2x  jest liniowe.

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Wyznaczyć jądro , obraz i podać ich bazy oraz wymairy. Odpowiedź uzasadnić.

4.Odwzorowanie liniowe f : R 2 R 2 ma wektory właśne 1,2 , 2,−1 oraz odpowiadające wektory własne 3 oraz−2 . Oblicz f 1,0.

5. Odwzorowanie liniowe f : R 2 R 2 ma wektory właśne 2,1 , 1,−2 oraz odpowiadające wektory własne 2 oraz−3 . Oblicz f 1,0.

6. Odwzorowanie liniowe f : R 2 R 2 ma wartośći własne−2 oraz 1 i wektory własne i m odpowiadające 1,−1 , 2,−1. Oblicz f 1,−2.

7.Sprowadzić do postaci kanonicznje formę dwuliniową. Wskazać bazę.

A. f : R 3 R ; f  x , y , z=2x2− y 2 z 24xy−4xz

B. f : R 3 R ; f  x , y , z= x 2− y 22z2−4xy4xz

8.Sprowadzić do postaci kanonicznej formę kwadratową :

f  x , y , z=− x 23y2 z 24xy−4xz2yz

Znaleźć baze w której macierz formy jest diagonalna. Podać tą macierz.

9.Podać rzut ortogonalnywektora 1,5 , −1 na podprzestrzeń V ⊂ R 3 generowańa przez wektory 1,1 ,3 , 2,1 ,4.

10.Podać rzut ortogonalnywektora −3,3 , −3 na podprzestrzeń V ⊂ R 3 generowańa przez wektory 1,3 ,1 , 2,4 ,1.

11.Znaleźć baze ortonormalną przestrzeni V ⊂ R 3 ortogonalnej do prostej  t ,2 t , − t .

12.Znaleźć baze ortonormalną przestrzeni V ⊂ R 3 ortogonalnej do prostej 2t , t , −3t .

13. Odwzorowanie liniowe f : R 2 R 2 jest dane w baziee e =2,1 , e =1,3 poprzez macierz A=[2 1].

1

2

3 1

A. Podać wzór tego odwzorowania w bazie kanonicznej.

B. Znaleźć macierz odwzorowania f w bazie e ' =1,2. e ' =3,1.

1

2

14. Odwzorowanie liniowe f : R 2 R 2 jest dane w baziee e =1,−2 , e =−1,1 poprzez macierz A=[2 1 ].

1

2

3 −2

Obliczyć wartość f 3,5.

15. Podać bazę ortonormalną przestrzeni V = x , y , z , t ∈ R 4 ; 2x− y z− t=0.

16. Wyznaczyć część wspólną prostej przechodzącej przez punkty 1 ; 7 ; −4 , −1 ; 4 ; −3 i płaszczyzny 4x2y−3z=−4.

17. Macierzą odwzorowania liniowego f : R 2 R 2 w bazie 1 , 1 jest A=1 −2 Wyznaczyć macierzodwzorowania f wbazie1 , 1 

3

1

3 0

5

−1

18. Rozwiązać układ stosując twierdzenie Kroneckera− Cappelliego

3x−2y z−4t=1 ; x4y3z2t=3 ; 2x y2z− t=2

19. Znaleźć bazę przejscia od bazy 3,2 , 3,1 do bazy 1,1 , 1,−1