http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA II

12. Mechanika kwantowa

MECHANIKA KWANTOWA



Podstawę mechaniki kwantowej stanowi związek de Broglie`a:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



h

p



wyrażany częściej przez tzw. liczbę falową k=2



/



i

wielkość h kreślone



2

h





k

p







Kwadrat

funkcji

falowej

cząstki

opisuje

rozkład

prawdopodobieństwa znalezienia się tej cząstki w określonym
punkcie przestrzeni

położeń (bądź pędu).

Ze

względu na sens fizyczny funkcji falowej, należy ją przyjąć ogólnie

w postaci zespolonej.



MECHANIKA KWANTOWA



Jaką długość fali przewiduje dla obiektów „masywnych” równanie fali de

Broglie`a, a

jaką dla „lekkich”? Przykład: piłka o masie 1 kg poruszająca się z

prędkością 10 m/s i elektron przyspieszony napięciem 100 V.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

a) Dla piłki: pęd p=mv=10kg m/s
Długość fali de Broglie`a:



=h/p=(6,6*10

-34

Js)/(10 kg m/s)=6,6*10

-35

m

Ta

wielkość jest praktycznie równa zeru, zwłaszcza w porównaniu z rozmiarami obiektu.

Doświadczenie prowadzone na takim obiekcie nie pozwala więc na rozstrzygnięcie, czy materia
wykazuje

własności falowe (zbyt małe



). Przypomnijmy,

że falowy charakter światła przejawia

się, gdy rozmiary obiektu, z którym światło wchodzi w interakcję, są porównywalne z długością
fali.

b)

Elektron przyspieszony napięciem 100 V uzyska energię kinetyczną:

E

k

=eU=100 eV=1,6*10

-17

J

a prędkość, jaką uzyska:

v=(2E

k

/m)

1/2

=5,9*10

6

m/s

co da w efekcie odpowiednią długość fali de Broglie`a:



=0.12 nm

Jest to wielkość rzędu odległości międzyatomowych w ciałach stałych.

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA



R

ównanie Schrödingera jest podstawowym równaniem mechaniki

kwantowej. Opisuje ono

ewolucję w czasie funkcji falowej, która

pozwala na wyznaczenie

położenia cząstki w określonym miejscu

przestrzeni i czasu z pewnym

prawdopodobieństwem.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 

 





 

0

2

2

2

2







x

x

U

E

m

dx

x

d







(niezależne od czasu, jednowymiarowe)

(E.

SCHRÖDINGER, 1926)

• Warunki brzegowe: dla dużych wartości |x| prawdopodobieństwo
znalezienia

cząstki równe jest zero;

•Tylko pewne wartości energii E

n

i

odpowiadające im funkcje



n

spełniają te

warunki

– nazywamy je wartościami własnymi i funkcjami własnymi.

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA



W przypadku

potencjałów zależnych od czasu:.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



W przypadku

trójwymiarowym:

 

   

 

t

t

x

i

t

x

t

x

U

dx

x

d

m











,

,

,

2

2

2

2











 

2

2

dx

x

d





2

2

2

2

2

2

2

dz

d

dy

d

dx

d









(laplasjan)

PACZKA FALOWA



Rozważmy funkcję falową cząstki w postaci (w chwili t=0):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 





x

ik

x

A

x

x

0

2

2

exp

4

exp

0

,





















Odpowiadający jej rozkład prawdopodobieństwa ma postać:

















2

2

2

2

2

exp

x

x

A





Jest to znana funkcja zwana

funkcją Gaussa;

jest tzw. odchyleniem standardowym,

które oznaczymy jako

i nazwiemy

nieokreślonością położenia.

x



x



PACZKA FALOWA



Tak zlokalizowana fala nazywana jest

paczką fal. Można ją

przedstawić jako sumę funkcji sinusoidalnych postaci exp(ikx).

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





























n

n

n

x

x

ik

B

x

ik

x

A

exp

exp

4

exp

0

2

2





Dla

nieskończonej liczby fal – jest to całka

   

dk

ikx

k

B



exp

Rozwiązaniem jest:

 









2

0

2

exp

k

k

k

B

x

x













lub,

zapisując w postaci „pędowej”:

 



























2

2

0

exp

x

x

p

p

p

B









PACZKA FALOWA



„Pędowa” funkcja prawdopodobieństwa:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 



























2

2

0

2

2

2

2

exp

x

x

p

p

p

B









jest

również rozkładem gaussowskim:

 























2

2

0

2

2

2

exp

p

x

p

p

p

B







gdzie

jest standardowym odchyleniem czyli

„nieokreślonością” pędu.

p



2





p

x





ZASADA HEISENBERGA



Dla paczek falowych o dowolnych

kształtach również spełniona jest:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Zasada

nieokreśloności (nieoznaczoności) Heisenberga

2









p

x

Jeśli

cząstka

jest

zlokalizowana

w

przestrzeni z odchyleniem standardowym



x, to nie ma ona

określonego pędu, lecz

pewien

rozkład

pędów



B(p)



2

o

szerokości



p.

KONIEC „KOSZMARU” DETERMINIZMU



Jeśli znana jest postać funkcji falowej w chwili początkowej, to teoria

kwantowa pozwala

przewidzieć postać tej funkcji w dowolnej następnej

chwili czasu

– ale rozszerzanie się funkcji falowej czyni te wiedzę

nieprzydatną przy przewidywaniu przyszłości...

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Przykłady:



Nie ma sposobu

rozstrzygnięcia który elektron pochłonie foton w zjawisku fotoelektrycznym –

możemy tylko obliczyć prawdopodobieństwo pochłonięcia fotonu przez dany elektron.



Obraz interferencyjny

wiązki elektronów – mówi nam jedynie o prawdopodobieństwie znalezienia

danego elektronu w

każdym punkcie ekranu.



Rozpad

promieniotwórczy - nie można przewidzieć, kiedy rozpadnie się pojedyncze jądro uranu,

znamy tylko

prawdopodobieństwo rozpadu jądra w określonym przedziale czasu.

Przewidywane

prawdopodobieństwa

można

jedynie

porównywać z wartościami średnimi, otrzymanymi w wyniku
dużej liczby obserwacji.

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA



Cząstka swobodna: na cząstkę nie działają żadne siły, czyli

potencjał jest funkcją stałą – można przyjąć go za równy zeru.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Fizyka klasyczna:

cząstka porusza się ruchem jednostajnym;



Fizyka kwantowa:

równanie Schrödingera:

 

x

E

dx

d

m









2

2

2

2



Rozwiązanie ogólne: fala bieżąca

 





t

E

i

ikx

ikx

e

Be

Ae

t

x













,



przy czym:



mE

k

2



Rozwiązanie „praktyczne”: paczka falowa!

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA



Próg potencjału: funkcja skoku

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

2) Dla: E<V

0

Cząstka porusza się TYLKO w obszarze x<0. Energia kinetyczna cząstki jest równa
jej energii

całkowitej.

Prędkość cząstki w tym obszarze:

 

0

0

0

{

0







x

dla

V

x

dla

x

V

x

V

0

V

Opis klasyczny:

Energia

całkowita cząstki:

V

m

p

E





2

2

m

E

v

L

2



1) Dla: E>V

0

Dla x<0: energia kinetyczna

cząstki jest równa jej energii całkowitej;

Dla x>0: energia kinetyczna: E-V

0

Prędkość cząstki w tym obszarze:





m

V

E

v

P

0

2





m

E

v

L

2



RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Próg potencjału: Opis kwantowy:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 

x

E

dx

d

m









2

2

2

2





  

x

V

E

dx

d

m





0

2

2

2

2









1) Dla: E>V

0

Równania Schrödingera dla obu obszarów:

a) dla x<0

b) dla x>0

a)

rozwiązanie dla x<0

 

x

ik

x

ik

Be

Ae

x

1

1

1











mE

k

2

1



b)

rozwiązanie dla x>0:

 

x

ik

x

ik

De

Ce

x

2

2

2















0

2

2

V

E

m

k





x

V

0

V

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Próg potencjału: opis kwantowy (E>V

0

):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Warunki normowania:

0



D

, bo brak fali odbitej w obszarze

„2”.



Warunki brzegowe:

(ciągłość, „zszywanie funkcji”):

















1

2

1

2

k

k

C

A

















1

2

1

2

k

k

C

B



Współczynnik odbicia:









2

2

1

2

2

1

*

*

k

k

k

k

A

vA

B

vB

R











Współczynnik przejścia (transmisji):





2

2

1

2

1

*

*

4

k

k

k

k

A

vA

C

vC

T







Oczywiście:

, co

można potraktować również jako zasadę zachowania

strumienia

prawdopodobieństwa.

1





T

R

x

V

0

V









0

0

2

1







x

x













x

x

x

x















0

0

2

1





RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Próg potencjału: opis kwantowy (E>V

0

):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wnioski:

• skok potencjału spowodował, że – mimo, iż energia cząstki
jest

większa od wysokości skoku potencjału – współczynnik

przejścia nie jest równy jedności, czyli przejście cząstki NIE jest
całkiem pewne;





2

2

1

2

1

*

*

4

k

k

k

k

A

vA

C

vC

T







• co więcej, może zajść ODBICIE cząstki od takiej bariery
pomimo tego,

że wysokość bariery jest niższa niż energia

cząstki!









2

2

1

2

2

1

*

*

k

k

k

k

A

vA

B

vB

R









x

V

0

V

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Próg potencjału: Opis kwantowy:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 

x

E

dx

d

m









2

2

2

2





  

x

V

E

dx

d

m





0

2

2

2

2









2) Dla: E<V

0

Równania Schrödingera dla obu obszarów:

a) dla x<0

b) dla x>0

a)

równanie dla cząstki swobodnej (znane) – fala biegnąca:

 

x

ik

x

ik

Be

Ae

x

1

1

1











mE

k

2

1



b)

rozwiązanie podobne:

 

x

ik

x

ik

De

Ce

x

'

'

2

2

2















0

2

2

'

V

E

m

k





ale:

jest

wielkością urojoną! Więc wprowadzamy:

'

2

k

'

2

2

ik

k



i wtedy:

 

x

k

x

k

De

Ce

x

2

2

2









x

V

0

V

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Próg potencjału: opis kwantowy (E<V

0

):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

1) Warunki normowania

(ograniczoność funkcji):

0



D

2) Warunki brzegowe

(ciągłości, „zszycie funkcji”):









0

0

2

1







x

x













x

x

x

x















0

0

2

1





Stąd:

















1

2

1

2

k

k

i

C

A

















1

2

1

2

k

k

i

C

B

(Funkcje falowe otrzymujemy, oczywiście, mnożąc przez:

t

E

i

e







Prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się w obszarze x<0:

 

B

vB

A

vA

t

x

P

*

*

1

,





gdzie:

m

k

v

/

1





(strumień padający)

(strumień odbity)

x

V

0

V

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Próg potencjału: opis kwantowy (E<V

0

):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Współczynnik odbicia:

1

*

*





A

vA

B

vB

R



Prawdopodobieństwo, że cząstka znajdzie się w obszarze x>0:

 

0

,

2

2

*

2







x

k

Ce

C

t

x

P

Istnieje

więc skończone, choć malejące ze wzrostem odległości od progu

prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w obszarze klasycznie
niedozwolonym.

x

V

0

V

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Próg potencjału: opis kwantowy (ciąg dalszy):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Z zasady

nieoznaczoności Heisenberga: jeśli nieoznaczoność położenia

cząstki wynosi:

x



to

nieoznaczoność jej pędu:





E

V

m

x

p











2



a energii:

 

E

V

m

p

E











2

2

Czyli:

gdybyśmy chcieli zmierzyć współrzędną cząstki w obszarze



x,

to

doprowadzilibyśmy do takiej nieoznaczoności w jej energii, że nie

można by było w ogóle twierdzić, że jest ona mniejsza od V

0

!

x

V

0

V

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Bariera

potencjału (o skończonej szerokości):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Równania Schrödingera dla poszczególnych obszarów:

Dla E<V

0

rozwiązania w postaci:

x

V

0

V

L

a) dla x<0 i x>L

b) dla x>0

 

x

E

dx

d

m









2

2

2

2





  

x

V

E

dx

d

m





0

2

2

2

2









 

x

ik

x

ik

Be

Ae

x

1

1

1









 

x

ik

x

ik

De

Ce

x

2

2

2









 

x

ik

x

ik

Ge

Fe

x

1

1

3









dla x<0

dla 0<x<L

dla x>L



mE

k

2

1









0

2

2

V

E

m

k







mE

k

2

1



RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Bariera

potencjału (o skończonej szerokości):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Warunki brzegowe

(ciągłości, „zszycie funkcji”):

x

V

0

V

L



Warunki normowania (w obszarze x>L nie powinno

być fali

odbitej):

0



G









0

0

2

1







x

x













L

x

L

x







3

2













x

x

x

x















0

0

2

1













x

L

x

x

L

x















3

2





Stąd:



























L

E

V

m

e

T

L

k



0

2

2

2

exp

2

(dla E<V

0

)

Zjawisko

tunelowania

(tunelowe,

przenikania przez

barierę)

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Studnia

potencjału

(o

nieskończonej głębokości):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Potencjał nieskończony, więc:



Wewnątrz stu

d

ni

potencjału:

V

x

a

 

0



x



dla x<0 i dla x>a.

 

x

E

dx

d

m









2

2

2

2



Rozwiązania typu:

 

ikx

ikx

Be

Ae

x









gdzie:



mE

k

2



RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Studnia

potencjału

(o

nieskończonej głębokości):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Warunki brzegowe:



Dyskretne poziomy energii:

V

x

a





0

0





x



więc:

B

A





a

stąd:

 

kx

C

x

sin





 

ikx

ikx

Be

Ae

x













0





a

x



więc:



n

a

k

n



gdzie:

...

3

,

2

,

1



n

2

2

2

8ma

h

n

E

n



dla funkcji

własnych:

 















x

a

n

a

x

n





sin

2

(stała C z warunku normowania)

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Studnia

potencjału

(o

nieskończonej głębokości):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Dyskretne poziomy energii:

V

x

a

2

2

2

8ma

h

n

E

n



dla funkcji

własnych:

 















x

a

n

a

x

n





sin

2

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA

Studnia

potencjału

(o

skończonej głębokości):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

V

x

a



Funkcje

własne NIE znikają na granicy obszaru studni;



Otrzymane

wartości własne energii są w dalszym ciągu skwantowane i

zależą dodatkowo od głębokości studni;



Gdy energia

cząstki jest większa od głębokości studni, energie tworzą

kontinuum (dozwolona jest

każda wartość energii);

BOHRA MODEL ATOMU WODORU



Niels Bohr (1913)

– prosty model atomu wodoru, niezgodny z

najnowszą teorią, ale symbolika używana do dziś.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Teoria

współczesna mówi, że ruch po klasycznych „orbitach” nie jest poprawnym opisem

zachowania elektronu jak

również, że wartość momentu pędu równa jest:

ale mimo to teoria Bohra

doprowadziła do (w miarę) poprawnych obliczeń poziomów

energetycznych atomu wodoru (tak

więc w sumie niewłaściwe rozumowanie doprowadziło

do poprawnych

wniosków – zdarza się...).



Założenia modelu Bohra:

1)Elektrony

poruszają się po kołowych orbitach wokół jądra;

2)

Utrzymują je siły elektrostatycznego przyciągania z protonami jądra oraz

siła odśrodkowa;
3)

Krążąc po tych orbitach, elektrony nie tracą energii;

4)

Wielkość, „opisująca” ruch po kołowej orbicie – moment pędu – jest

skwantowana:



n

mvR









1



l

l

...

3

,

2

,

1



n

BOHRA MODEL ATOMU WODORU



Z czwartego postulatu Bohra wynika

następujący wzór na promień

orbity elektronu:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Przyrównując siłę dośrodkową do siły elektrostatycznej (Coulomba):

mv

n

R

n





2

2

0

2

n

n

R

Ze

k

R

mv



(Z

– liczba atomowa)



Podstawiając wyrażenie na promień orbity, obliczamy prędkość

elektronu na

„n”-tej orbicie:



n

Ze

k

v

n

2

0





Energia elektronu to suma energii kinetycznej i potencjalnej:

U

mv

E

n





2

2

2

2

0

mv

R

Ze

k

U

n









BOHRA MODEL ATOMU WODORU



Ostatecznie otrzymujemy wzory na

energię elektronu na „n”-tej

orbicie i

promień tejże orbity:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Dla atomu wodoru (Z=1) mamy:

2

0

2

2

Zme

k

n

R

n





2

2

4

2

2

0

2

0

1

2

2

n

me

Z

k

R

e

k

E

n

n













Wzory te bardzo dobrze

zgadzają się z wzorami, otrzymanymi we

współczesnej teorii kwantowej, dla atomu jednoelektronowego (wodoru). Model
Bohra daje

też prostą odpowiedź na pytanie o „rozmiary” atomu (R

n

).

eV

n

E

n

















2

1

6

,

13

co dla

poszczególnych wartości n daje znane serie widmowe przejść

elektronowych (Lymana, Balmera, ...).



Wzór

Bohra

nie

daje

jednak

dobrych

wyników

dla

atomów

wieloelektronowych (np. helu)!

ATOM WODORU – ROZWIĄZANIE PRZYBLIŻONE



Energia

potencjalna

oddziaływań

międzycząsteczkowych

(elektrostatycznych) w atomie:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Założenia:

 

r

e

k

r

U

2

0







Rozwiązanie przybliżone:

równoważna studnia prostokątna

- maksymalna

odległość elektronu od środka studni z punktu

widzenia fizyki klasycznej;

0

R

2

/

0

R

R



-

średnia odległość elektronu;

R

e

k

U

2

0

0



-

równoważna głębokość studni prostokątnej;

ATOM WODORU – ROZWIĄZANIE PRZYBLIŻONE

-

Sposób rozwiązania:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Fala

stojąca w studni prostokątnej:

0

2

2

R

n

n







Pęd de Broglie`a jako średni pęd elektronu:

0

4R

hn

h

p

n

n









Średnia energia kinetyczna:

2

0

2

2

2

32

2

mR

n

h

m

p

E

n

k





-

Rozwiązanie:



Przybliżony „promień” funkcji falowej elektronu:

2

2

0

2

2

2

0

2

2

0

32

4

32

n

me

k

me

k

n

h

R











Przybliżona wartość energii:

2

2

4

2

0

2

1

2

16

n

me

k

E

n









2

0

2

2

me

k

n

R

n





2

2

4

2

0

1

2

n

me

k

E

n







ATOM WODORU – ROZWIĄZANIE ŚCISŁE



Trójwymiarowe równanie Schrödingera niezależne od czasu:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



 



z

y

x

U

E

m

z

y

x

,

,

2

2

2

2

2

2

2

2



































Współrzędne sferyczne:





cos

sin

r

x







sin

sin

r

y





cos

r

z





Równanie Schrödingera we współrzędnych sferycznych:

























U

E

m

r

r

r

r

r

r























































2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin

1

sin

sin

1

1



ATOM WODORU – ROZWIĄZANIE ŚCISŁE



Podstawiamy

wyrażenie na energię potencjalną:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

 

r

e

k

r

U

2

0





do

równania Schrödingera i... rozwiązujemy!



„Najprostsze” rozwiązanie: funkcja wykładnicza



















a

r

r

exp

,

,







a

stąd:

eV

me

k

E

6

,

13

2

2

4

2

0

1











m

me

k

R

a

11

2

0

2

1

10

3

,

5















Kolejne

rozwiązania:

a

r

e

a

r

2

2

2

1













 





a

r

e

a

r

a

r

3

2

2

3

27

2

3

2

1























2

4

2

0

2

2

1



me

k

n

E

n





dla:

n

n -

główna liczba kwantowa

ATOM WODORU – ROZWIĄZANIE ŚCISŁE



Ogólna postać rozwiązania równania Schrödingera:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak





 

 

 











l

l

l

m

m

l

l

n

m

l

n

r

R

r











,

,

,

,

,

,

gdzie:

 





l

l

im

m

e





n

l

,..,

0



l

l

m

l







,..,

0

,..,



Liczba

związana jest z orbitalnym momentem pędu cząstki

względem osi z:

l

m



l

z

m

L



Przykład:

a

r

e

a

r

2

0

,

0

,

2

2

1















 











i

a

r

e

e

r











sin

2

1

,

1

,

2





cos

2

0

,

1

,

2









a

r

e

r







i

a

r

e

e

r















sin

2

1

,

1

,

2

Wszystkie

mają energię E

2

ATOM WODORU – ROZWIĄZANIE ŚCISŁE

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

ATOM WODORU – ROZWIĄZANIE ŚCISŁE

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Dla

dużych n i l gęstość prawdopodobieństwa

skupiona jest na

okręgu o promieniu n

2

a,

którego

środek leży na osi z - gęstość ta tworzy orbitę, jaką
przewidział Bohr, ale w teorii kwantowej elektron
jest jednorodnie

„rozmyty” na całej orbicie!

ATOM WODORU – ROZWIĄZANIE ŚCISŁE



Unormowanie funkcji falowych:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

1

2





dxdydz

przestrze ń



(aby

było to prawdopodobieństwo bezwzględne).



Wartość oczekiwana:

Gdy funkcja falowa jest

kombinacją liniową kilku unormowanych funkcji

własnych, odpowiadających tej samej wartości własnej energii E

j

:

 

 





j

j

j

x

a

x





to

wartość oczekiwana energii jest równa:





j

j

j

E

a

E

2

Ta

wartość zostałaby uzyskana po wykonaniu serii pomiarów, z których

każdy byłby wykonywany na układzie opisywanym tą samą funkcją falową.

EMISJA FOTONU



Elektrodynamika

kwantowa

– nowa dziedzina fizyki,

stosująca mechanizmy mechaniki kwantowej do opisu
oddziaływań elektromagnetycznych.

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Emisja fotonu

– naładowane cząstki mogą wysyłać lub pochłaniać

pojedyncze fotony, a

prawdopodobieństwo tego procesu można wyliczyć na

podstawie teorii kwantowej.



Emisja spontaniczna

– według teorii kwantowej istnieje pewne

prawdopodobieństwo, że cząstka samoistnie przejdzie z poziomu o wyższej
energii na poziom o energii

niższej, jednocześnie emitując foton.

Energia takiego emitowanego fotonu jest

równa:

m

n

E

E

h







(różnica energii na poziomach n-tym i m-tym).

EMISJA FOTONU



Liczba

możliwych

przejść

zależy

od

ilości

poziomów

energetycznych w atomie

(przykład: 4 poziomy –> 6 przejść):

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak



Linie spektralne w widmie emisyjnym atomu

– jeśli atomowi dostarczona zostanie

energia (np. poprzez podgrzanie lub

wyładowanie elektryczne), to atomy ze stanu

podstawowego

mogą zostać wzbudzone na wyższe stany energetyczne a następnie

mogą one „wrócić” do stanu podstawowego z jednoczesną emisją fotonów – światło
wysyłane przez atom powinno zawierać ściśle określone linie widmowe.



We

współczesnej (kwantowej) teorii cząstek elementarnych foton traktowany jest

jako

cząstka o orbitalnej licznie kwantowej (tzw. spinie) m

l

równej jedności, co

powoduje w trakcie emisji fotonu

zmianę tej liczby kwantowej atomu (następny

wykład...).

WIDMO ATOMU WODORU



Biorąc pod uwagę wyprowadzone wzory na poziomy energetyczne

w atomie wodoru:

Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

2

4

2

0

2

2

1



me

k

n

E

n





możemy podać wzór na możliwe częstości jego linii widmowych:

















2

2

3

4

2

0

1

1

4

m

n

me

k









Dla n=1 mamy do czynienia z tzw.

serią Lymana – linie tej serii leżą w

nadfioletowej

części widma fal elektromagnetycznych.



Dla n=2 mamy do czynienia z

serią Balmera – linie tej serii odpowiadają

kolejno długościom fal: 656 nm, 486 nm, 441 nm, 433 nm, ... , 365 nm.