(2354) podstawy m granice funkcji

background image

Granice funkcji

mgr Zofia Matusiewicz

18 sierpnia 2004

1

Granice funkcji

1.1

Granica funkcji w punkcie według Heinego

Definicja 1 (wg Heinego)

lim

x→c

f (x) = g ⇔ ∀

(x

n

),{x

n

}⊂(c−r,c)(c,c+r)

[ lim

n→∞

x

n

= c ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

Definicja granicy lewostronnej:

Definicja 2 (wg Heinego)

lim

x→c

f (x) = g ⇔ ∀

(x

n

),{x

n

}⊂(c−r,c)

[ lim

n→∞

x

n

= c ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

Definicja granicy prawostronnej:

Definicja 3 (wg Heinego)

lim

x→c

+

f (x) = g ⇔ ∀

(x

n

),{x

n

}⊂(c,c+r)

[ lim

n→∞

x

n

= c ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

Granica funkcji niewłaściwej funkcji w punkcie:

Definicja 4 (wg Heinego)

lim

x→c

f (x) = ∞ ⇔ ∀

(x

n

),{x

n

}⊂(c−r,c)(c,c+r)

[ lim

n→∞

x

n

= c ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = ]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

Definicja granicy właściwej w nieskończoności:

Definicja 5 (wg Heinego)

lim

x→∞

f (x) = g ⇔ ∀

(x

n

),{x

n

}⊂(r,∞)

[ lim

n→∞

x

n

= c ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = g]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

1

background image

Definicja granicy niewłaściwej w nieskończoności:

Definicja 6 (wg Heinego)

lim

x→∞

f (x) = ∞ ⇔ ∀

(x

n

),{x

n

}⊂(r,∞)

[ lim

n→∞

x

n

= c ⇒ lim

n→∞

f (x

n

) = ]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

1.2

Granica funkcji w punkcie według Cauchy’ego

Definicja 7 (wg Cauchy’ego)

lim

x→c

f (x) = g ⇔ ∀

>0

δ>0

x∈(c−r,c)(c,c+r)

[(|x − c| < δ) (|f (x) − g| < )]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

Definicja granicy lewostronnej:

Definicja 8 (wg Cauchy’ego)

lim

x→c

f (x) = g ⇔ ∀

>0

δ>0

x∈(c−r,c)

[(0 < c − x < δ) (|f (x) − g| < )]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

Definicja granicy prawostronnej:

Definicja 9 (wg Cauchy’ego)

lim

x→c

+

f (x) = g ⇔ ∀

>0

δ>0

x∈(c,c+r)

[(0 < x − c < δ) (|f (x) − g| < )]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

Granica funkcji niewłaściwej funkcji w punkcie:

Definicja 10 (wg Cauchy’ego)

lim

x→c

f (x) = ∞ ⇔ ∀

>0

δ>0

x∈(c−r,c)(c,c+r)

[(|c − x| < δ) (|f (x) − g| > )]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

Definicja granicy właściwej w nieskończoności:

Definicja 11 (wg Cauchyego)

lim

x→∞

f (x) = g ⇔ ∀

>0

δ∈R

x∈(r,∞)

[(x > δ) (|f (x) − g| < )]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

Definicja granicy niewłaściwej w nieskończoności:

Definicja 12 (wg Cauchy’ego)

lim

x→∞

f (x) = ∞ ⇔ ∀

>0

δ∈R

x∈(r,∞)

[(x > δ) (f (x) > )]

dla dowolnego r ∈ R

+

.

2

background image

1.3

Twierdzenia dotyczące granic

Twierdzenie 1 Niech W (x) będzie wielomianem stopnia n, P (x) będzie
wielomianem stopnia m i jeśli m > n, to:

lim

c→∞

W (x)

P (x)

= 0,

oraz jeśli współczynnik przy x w największej potędze w P (x) jest dodatni:

lim

c→∞

P (x)

W (x)

= +∞,

zaś jeśli współczynnik przy x w największej potędze w P (x) jest ujemny:

lim

c→∞

P (x)

W (x)

= −∞,

Twierdzenie 2 Niech W (x) i P (x) będą wielomianami stopnia nto:

lim

c→∞

P (x)

W (x)

=

a

b

,

gdzie a jest współczynnikiem przy x w największej potędze w P (x), zaś b
gdzie a jest współczynnikiem przy x w największej potędze w W
(x).

Twierdzenie 3

lim

x→c

(f (x) + g(x)) = lim

x→c

f (x) + lim

x→c

g(x)

Twierdzenie 4

lim

x→c

(f (x) − g(x)) = lim

x→c

f (x) lim

x→c

g(x)

Twierdzenie 5

lim

x→c

(s · g(x)) = s · lim

x→c

f (x)

Twierdzenie 6

lim

x→c

(f (x) · g(x)) = (lim

x→c

f (x)) · (lim

x→c

g(x))

Twierdzenie 7

lim

x→c

(

f (x)

g(x)

=

lim

x→c

f (x)

lim

x→c

g(x)

jeśli lim

x→c

6= 0.

3

background image

Twierdzenie 8

lim

x→c

(f (x))

g(x)

= lim

x→c

f (x)

lim

x→c

g(x)

Twierdzenie 9

lim

x→c

(g(f (x)) = (lim

x→c

f (x)).

Twierdzenie 10 Niech będą dane funkcje f , g, h spełniające warunki:

f (x) ¬ g(x) ¬ h(x)

dla każdego x ∈ (c − r, c) (c, c + r) dla dowolnego r ∈ R

+

oraz

lim

x→c

f (x) = lim

x→c

h(x) = q

to

lim

x→c

g(x) = q

Analogiczne twierdzenia zachodzą dla granic jednostronnych oraz granic w
nieskończoności.

Twierdzenie 11

lim

x→∞

f (x) = lim

y→0

+

f (

1

u

)

Twierdzenie 12

lim

x→−∞

f (x) = lim

y→0

f (

1

u

)

2

Podstawowe granice wyrażeń nieoznaczonych

2.1

Symbole nieoznaczone

Wyrażenia, które ”przyjmują wartości”:

∞ − ∞

• 0 · ∞


• 1

0

• 0

0

0
0

nazywa się SYMBOLAMI NIEOZNACZONYMI.

4

background image

2.2

Podstawowe granice wyrażeń nieoznaczonych

1.

lim

x→0

sin x

x

= 1

2.

lim

x→0

tg x

x

= 1

3.

lim

x→0

x

sin x

= 1

4.

lim

x→0

x

tg x

= 1

5.

lim

x→0

(1 + x)

1
x

= e

6.

lim

x→0

(1 + x)

a
x

= e

a

7.

lim

x→+/−∞

(1 +

1

x

)

x

= e

8.

lim

x→+/−∞

(1 +

a

x

)

x

= e

a

9.

lim

x→0

e

x

1

x

= ln e = 1

10.

lim

x→0

a

x

1

x

= ln a

11.

lim

x→0

ln(1 + x)

x

= 1

12.

lim

x→0

log

a

(1 + x)

x

=

1

ln a

5

background image

2.3

Granice funkcji niewłaściwych

Niech p będzie dowolną liczbą (stałą) lub p = lim

x→c

f (x), = lim

x→c

g(x),

zaś jeśli lim

x→c

h(x) = 0 i dla x → c i prawie zawsze h(x) ­ 0 wówczas

zapisuje się ten fakt symbpolicznie 0

+

:

Twierdzenie 13

p + =

p ∈ R ∪ {∞}.

Twierdzenie 14

p − ∞ = −∞

p ∈ R ∪ {−∞}.

Twierdzenie 15

p · ∞ =

p ∈ R

+

∪ {∞}.

Twierdzenie 16

p · ∞ = −∞

p ∈ R

∪ {−∞}.

Twierdzenie 17

p

= 0

p ∈ R.

Twierdzenie 18

p

0

+

=

p ∈ R

+

∪ {∞}.

Twierdzenie 19

p

0

+

= −∞

p ∈ R

∪ {−∞}.

6

background image

Twierdzenie 20

p

+

=

p ∈ (1, ∞),

p

+

= 0

p ∈ (0, 1),

Twierdzenie 21

p

=

dla p ∈ R

+

∪ {+∞},

p

= 0

dla p ∈ R

∪ {−∞},

Twierdzenie 22 Jeśli dwie funkcje f i g spełniają warunki:

f (x) ¬ g(x)

dla każdego x ∈ (c − r, c) (c, c + r) dla dowolnego r ∈ R

+

oraz

lim

x→c

f (x) =

to

lim

x→c

g(x) = ∞.

Stąd łatwo także wykazać:

Twierdzenie 23 Jeśli dwie funkcje f i g spełniają warunki:

f (x) ¬ g(x)

dla każdego x ∈ (c − r, c) (c, c + r) dla dowolnego r ∈ R

+

oraz

lim

x→c

g(x) = −∞

to

lim

x→c

f (x) = −∞.

Analogiczne twierdzenia zachodzą dla granic jednostronnych oraz granic w
nieskończoności.

7

background image

3

Zadania

Oblicz granice funkcji (jeśli istnieją)

1.

lim

x→1

x

2

x + 1

2.

lim

x→1

x − 1

x + 1

3.

lim

x→−1

x + 2

x − 1

4.

lim

x→3

x

2

9

x − 3

5.

lim

x→1

x

2

+ x − 2

x

2

6x + 5

6.

lim

x→1

x

2

+ 2x − 3

x

2

6x + 5

7.

lim

x→−3

x

2

+ 4x + 3

x

2

+ 5x + 6

8.

lim

x→−1

x

2

− x − 2

x

2

+ 3x + 2

9.

lim

x→5

x

2

6x + 5

x

2

3x − 10

10.

lim

x→2

x

2

6x + 5

x

2

3x − 10

8

background image

11.

lim

x→1

2

x + 1 2

x

12.

lim

x→2

x

2

1

2x − 1

x + 2

13.

lim

x→2

x

2

− x − 2

x + 1 2

14.

lim

x→2

x

2

2x

x − 1 1

15.

lim

x→0

sin x

3x

16.

lim

x→0

sin (2x)

6x

17.

lim

x→0

tg (2x)

−x

18.

lim

x→0

sin x

tg x

19.

lim

x→0

x

x

2

+ 1

20.

lim

x→0

x

3

x

2

+ 1

9

background image

21.

lim

x→−1

x

3

1

x

2

1

22.

lim

x→2

+

ln(x − 2)

23.

lim

x→0

ln(x

2

+ x + 1)

24.

lim

x→∞

ln x − 5

25.

lim

x→

Π

3

cos x −

1
2

x −

Π

3

26.

lim

x→∞

p

x

2

+ 1

p

x

2

1

27.

lim

x→∞

2

x

2

+ 1

x

2

1

28.

lim

x→∞

3x − 2

x

2

+ 3x − 2

29.

lim

x→∞

2x

2

+ 1

x

2

+ x

30.

lim

x→∞

x

3

2

3

x

2

+ 3x − 2

31.

lim

x→∞

x

3

2

3

x

3

+ 3x

2

+ 3

10

background image

32.

lim

x→∞

x

3

+ 1

x

3

+ 3x

2

+ 3

33.

lim

x→∞

(x

2

− x + 1)

34.

lim

x→−∞

(x

2

2x + 15)

35.

lim

x→−∞

(x

3

2x + 15)

36.

lim

x→−∞

x

2

x

2

3x + 5

2x + 1

37.

lim

x→−∞

x

2

x

2

3x + 5

+ 11

38.

lim

x→−∞

x + 2

x + 4

12x + 2

39.

lim

x→−∞

x + 2

x + 4

1

x

+

3

3 − x

40.

lim

x→0

1 cos x

x

2

41.

lim

x→0

2

1 + cos x

sin

2

x

Sprawdź, ile wynoszą granice jednostronne. Czy istnieją granice podanych
funkcji w punkcie a:

11

background image

1.

f (x) = x

2

9, a = 3.

2.

f (x) = sin x − 12, a = Π.

3.

f (x) = ln x, a = 1.

4.

f (x) = ln (x − 3), a = 3.

5.

f (x) =

−x, x < 0
0, x = 0
x, x > 0

, a = 0.

6.

f (x) =

1, x < 0
0, x = 0
1, x > 0

, a = 0.

7.

f (x) =

(

x

2

+ x + 3, x 6= 3

14, x = 3

, a = 3.

8.

f (x) =

(

x

2

+ x + 1, x ¬ 2

x

4

2

2

, x > 2

, a = 2.

9.

f (x) =

(

x

2

2x + 1, x ¬ 0

x

2

+ 1, x > 0

, a = 2.

12


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
granica funkcji zadania 1 plus 2
Podstawowe wlasnosci funkcji zadania domowe
Podstawy anatomii funkcjonalnej OUN
Analiza matematyczna Wykłady, GRANICE FUNKCJI
Matematyka cw5 Granice funkcji Ciaglosc funkcji Asymptoty
Granica funkcji(1), Prywatne
Granice funkcji - pochodne, Prywatne, matna
Granice funkcji
granice funkcji ciaglosc funkcji (1)
Granica funkcji w punkcie
07 funkcje zmiennej rzeczywistej 3 2 granica funkcji
GRANICE FUNKCJI
Podstawowe pojęcia i funkcje w C#
Podstawy prawne funkcjonowania zakładów karnych
8 Zadania do wykladu Granica funkcji Ciaglosc funkcji 1
Arkusz nr 3 (Granice funkcji)
2010 12 10(2) granica funkcji, ciągłość funkji, różniczkowalność, iloraz różnicowy

więcej podobnych podstron