Obwody nieliniowe
czyli obwody
czyli obwody
S L S
Systemy nieliniowe
p1 t r1 t
( ) ( )
p2 t r2 t
( ) ( )
p t = a1 p1 t + a2 p2 t r t
( ) ( ) ( ) ( )
Układ nazywamy liniowym, je\
eli dla ka\
dego a1, a2
i dla ka\
dej pary pobudzeń p1(t), p2(t) zachodzi r t = a1r1 t + a2r2 t
( ) ( ) ( )
Układ nazywamy nieliniowym, je\
eli istnieją a1, a2 i p1(t), p2(t), takie \
e
r t `" a1r1 t + a2r2 t
( ) ( ) ( )
Nieliniowe elementy rezystancyjne
Element rezystancyjny
FR u t ,i t = 0
( ) ( )
[ ]
i t
( )
FR jest uwikłaną funkcją algebraiczną
(nie zawiera pochodnych, całek ani
\
adnych innych operacji na t).
u t
( )
F u,i = 0
FR u,i = 0
( )
( )
Rezystor liniowy:
FR u,i = u - Ri = 0
( )
1
u = fR i = Ri, i = fG u = Gu, G = .
( ) ( )
R
Pobudzeniem mo\
e być zarówno prąd jak i napięcie
FR u,i = 0
( )
Mogą zachodzić następujące przypadki:
1. Istnieje funkcja fR, taka, \
e u = fR i , natomiast nie istnieje
( )
funkcja odwrotna do fR. Element taki nazywa się uzale\
nionym
prądowo.
Funkcję fR nazywa się charakterystyką prądowo-napięciową
u
u
u
u
i
i
Pobudzeniem elementu uzale\
nionego prądowo mo\
e być tylko
prąd  przy pobudzeniu napięciowym układ nie jest rozwiązalny
(nie ma jednoznacznego rozwiązania)
i = fG u
2. Istnieje funkcja fG, taka, \
e ( ), natomiast nie istnieje
funkcja odwrotna do fG. Element taki nazywa się uzale\
nionym
napięciowo.
Funkcję fG nazywa się charakterystyką napięciowo-prądową
i i
u
u
Pobudzeniem elementu uzale\
nionego napięciowo mo\
e być tylko
napięcie  przy pobudzeniu prądowym układ nie jest rozwiązalny
(nie ma jednoznacznego rozwiązania)
3. Mo\
na wyznaczyć zarówno u = fR i jak i i = fG u .
( ) ( )
Wówczas istnieją obie charakterystyki  prądowo-napięciowa
i napięciowo-prądowa. Są one funkcjami monotonicznymi.
Taki element nazywa się nieuzale\
nionym.
i u
i
u
Pobudzeniem mo\
e być zarówno prąd jak i napięcie.
4. Je\
eli z równania FR u,i = 0 nie mo\
na w sposób jednoznaczny
( )
wyznaczyć ani prądu ani napięcia, wówczas element taki nazywa się
elementem zdegenerowanym. Mo\
na go opisać za pomocą układu
równań parametrycznych.
Analiza stałoprądowa
Rozwa\
ać będziemy obwody prądu stałego z jednym rezystorem nieliniowym
I0
Nale\
y wyznaczyć U0 i I0
RN U0
Po zastosowaniu twierdzenia Th�venina lub Nortona zadanie mo\
na
Po zastosowaniu twierdzenia Th�venina lub Nortona zadanie mo\
na
sprowadzić do jednego z dwóch modeli:
Rz
I0
I0
Iz Rz RN
Ez RN
U0
U0
U0 = const U0 = const
ńł ńł
Ez = const �! Iz = const �!
�łI = const �łI = const
ół 0 ół 0
RN : u = fR i
( )
1
fR i
( )
Rz
Rz
i
i
Rzi
fR i
Iz Rz RN ( )
Ez RN fR i
( )
1
�!�ł -Iz + fR i + i = 0

-Ez + Rz i + fR i = 0
( ) ( )
Rz
Ez = RzIz  równania są identyczne
Jako rozwiązanie równania otrzymujemy i = I0, a następnie
obliczamy
U0 = fR I0
( )
RN : i = fG u
( )
Rz
fG u
( )
fG u
( )
1
u
Rz fG u Rz
( )
u
u
Iz Rz RN
Ez RN
1
-Ez + Rz fG u + u = 0 -Iz + u + fG u = 0
( ) ( )
�!�ł

Rz
Jako rozwiązanie równania otrzymujemyu = U0, a następnie
Jako rozwiązanie równania otrzymujemyu = U0, a następnie
obliczamy
I0 = fR U0
( )
Rozwiązanie obwodu sprowadza się do rozwiązania nieliniowego
równania
fR i = Ez - Rzi
( )
lub
1
fG u = Iz - u
( )
Rz
Metoda graficzna
fR i = Ez - Rzi
( )
u
fR i
( )
Ez
U0
i
I0
Ez
Rz
1
fG u = Iz - u
( )
Rz
i
fG u
( )
Iz
I0
0
u
U0
RzIz
Wyznaczony punkt U0, I0 na charakterystyce rezystora nazywa się
( )
punktem pracy (punktem równowagi)
Przykład
R1
E0 =1,4 V,
I0
E0 Iz0
Iz0 = 0,2 A,
U0 D R2
R1 = R2 = 5&!,
D
i
u
u
u
�ł �ł
i = Is �łe�T -1�ł, Is =10-10 A
W temperaturze 293K (20�C)
�ł łł
�T H" 0,025 V
kT
�T =
 potencjał termiczny
q
k =1,380622�"10-23 VAs  stała Boltzmana
K
 ładunek elementarny
q =1,602191�"10-19 As
 temperatura złącza
T
R1
A
A
Iz Rz
E0 Iz0
D
R2
B
B
R1R2 E0
Rz = = 2,5&!, Iz = + Iz0 = 0,48 A
u
�ł �ł R1 + R2 R1
1
T
Is �ł e� -1�ł = Iz - u
Rz
�ł łł
i, A
I = 0,48 A
Iz = 0,48 A
I0 H" 0,26 A
RzIz =1,2 V
u, V
U0 H" 0,54 V
Metoda numeryczna
2  funkcje ciągłe
f x , f x
( ) ( )
f x = 0
( )
Poszukujemy x0, takiego aby  zało\
ona dokładność
f x0 < � , �
( )
Wybieramy pierwsze przybli\
enie x1 (np. wyznaczone graficznie)
f x1 > �
Je\
eli , to szukamy lepszego przybli\
enia x2
( )
1 1
2 2 2 2 2 2
f x2 = f x1 + f x1 x2 - x1 + f x1 x2 - x1 2 + f x1 x2 - x1 3 +�"
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
2! 3!
f x1
( )
2
f x1 + f x1 x2 - x1 = 0 �! x2 = x1 -
( ) ( )( )
2
f x1
( )
obliczamy
f x2 > �
Je\
eli ( )
f x2
( )
x3 = x2 -
itd...
2
f x2
( )
x1, x2, x3,�" x0
Je\
eli punkt początkowy x1 le\
y blisko rozwiązania x0, to ciąg
Przedstawiony algorytm jest znany jako metoda Newtona.
u
�ł �ł
1
T
Is �łe� -1�ł = Iz - u
Rz
�ł łł
u
�ł �ł
Is u
1 1
T T
2
f u = Is �ł e� -1�ł - Iz + u = 0 f u = e� +
( ) ( )
Rz �T Rz
�ł łł
2
f u =10-10 e40u -1 - 0,48 + 0,4u f u = 4�"10-9e40u + 0,4
( ) ( )
( )
f u
( )
u
u1 = 0,5 f u1 = -0,23148348
( )
f u1
( )
u2 = u1 - = 0,59889664 f u2 = 2,941047
( )
2
f u1
( )
f u2
( )
u3 = u2 - = 0,57635721 f u3 = 0,77938844
( )
2
f u2
( )
f u3
( )
u4 = u3 - = 0,55760109 f u4 = 0,22891372
( )
2
f u3
( )
f u4
( )
4
u = u - = 0,54606015 f u = 0,04464606
u5 = u4 - = 0,54606015 f u5 = 0,04464606
( )
( )
2
2
f u4
( )
( )
f u5
( )
u6 = u5 - = 0,54253050 f u6 = 0,00291332
( )
2
f u5
( )
f u6
( )
u7 = u6 - = 0,54226652 f u7 = 0,000014773
( )
2
f u6
( )
0
I0 = 10-10 e40U -1 = 0,26310816
( )
U0 = u7 = 0,54226652
lub
I0 = 0,48 - 0,4U0 = 0,26309339
I0 I0
Iz U0 Iz Rs U0
Rz Rz
D
U0
 rezystancja statyczna
Rs =
I0
U0+"U0
�ł �ł
Iz Iz + "Iz �! U0 U0 + "U0, I0 I0 + "I0 = Is �łe �T -1�ł
�ł łł
�ł łł
U0 + "U0 U0
`" = Rs
I0 + "I0 I0
U0+"U0 U0 U0 "U0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
T
"I0 = Is �łe �T -1�ł - Is �łe�T -1�ł = Ise� �łe �T -1�ł
�ł łł �ł łł �ł łł
"U0 U0
`"
"I0 I0
i
Iz+"Iz
Iz
I0+"I0
"I0
I0
ą
ą2
�
I0
= tgą
u
RzIz
U0
Rz Iz+"Iz
( )
"U0
I0+"I0
= tgą2
U0+"U0
U0 U0+"U0
"I0
= tg �
"U0
i = fG u
( )
i
I0
ą
�
u
U
U0
fG u
( )
Gs \" = tgą  konduktancja statyczna w punkcie (U0, I0)
u
u=U0
d fG u
( )
konduktancja dynamiczna w punkcie (U0, I0)
Gd \" = tg � 
du
u=U0
u = fR i
( )
u
U0
ą �
i
I
I0
fR i
( )
Rs \" = tgą  rezystancja statyczna w punkcie (I0, U0)
i
i=I0
d fR i
( )
rezystancja dynamiczna w punkcie (I0, U0)
Rd \" = tg � 
di
i=I0
i, A
U0 = 0,5423 V
I0
I0 = 0,2631 A
u, V
U0
u
u
�ł �ł
�ł �ł
I0
i = fG u = Is �łe�T -1�ł = 10-10 e40u -1
( )
( )
( )
( )
Gs = = 0,4852S
U0
�ł łł
d fG u d fG u
( ) Is u ( )
T
= e� = 4 �"10-9e40u Gd = =10,54S
du �T du
u=U0
1
Rs = = 2,061&!
Gs
1
Rd = = 0,09488&!
Gd
Rz i
RN : i = fG u
( )
u
Ez RN
1 1
-Ez + Rz fG u + u = 0 �! fG u = Ez - u
( ) ( )
Rz Rz
i = fG u
( )
Ez
Rz
u
Ez
RN : i = fG u
( )
i
du
u
Iz Gz RN
C
-Iz + Gzu + fG u + C = 0
( )
dt
du
C + Gzu + fG u = Iz
( )
dt
W stanie ustalonym: u = const
fG u = Iz - Gzu
( )
Istnieją trzy rozwiązania:
U0I, I0I
( )
i = fG u
( )
U0II, I0II
( )
U0III, I0III
( )
( )
Iz
I
I0I
II
I0II
III
I0III
u
U0I U0II U0III
Iz
Gz
du
C + Gzu + fG u = Iz
U0, I0  rozwiązanie (dowolne) równania , czyli
( ) ( )
dt
GzU0 + fG U0 = Iz
( )
Załó\
my, \
e u = U0 +ł%u, ł%u j" U0
d U0 +ł%u
( )
C + Gz U0 +ł%u + fG U0 +ł%u = Iz
( ) ( )
dt
d U0 +ł%u
( )
dł%u
C = C
dt dt
1
2 2 2 2
fG U0 +ł%u = fG U0 + fG U0 ł%u + fG U0 ł%u + ... H" fG U0 + fG U0 ł%u
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
d fG u
( )
2  konduktancja dynamiczna w punkcie (U0, I0)
fG U0 = = Gd
( )
du
u=U0
dł%u
C + GzU0 + Gzł%u + fG U0 + Gdł%u = Iz
( )
dt
= 0
dł%u
C + Gz + Gd ł%u = 0
( )
dt
t"
Gz +Gd
0 gdy Gz + Gd > 0
ńł
- t
�ł
�ł�ł�ł�ł
C
C
ł%u = e
ł%u = e
�ł
�ł
t"
" gdy Gz + Gd < 0
�ł
ół�ł�ł�ł
Definicja
Punkt pracy (U0, I0) nazywa się statecznym punktem równowagi,
t" t"
je\
eli ł%u �ł�ł�ł . Gdy ł%u �ł�ł�ł
0 " punkt pracy nazywa się
niestatecznym punktem równowagi.
Wniosek:
Punkt pracy (U0, I0) jest statecznym punktem równowagi gdy w tym
punkcie
Gz + Gd > 0
i = fG u
( )
Iz
I
I
II
III
ł
�III
�I
Ą-�II
u
Iz
Gz
GdI = tg �I GdII = tg �II = - tg Ą - �II GdIII = tg �III Gz = tgł
( )
Statecznymi są punkty I i III, natomiast II jest punktem niestatecznym
Rz i
RN : u = fR i
( )
-Ez + Rzi + fR i = 0
( )
u
Ez RN
fR i = Ez - Rzi
( )
u = fR i
( )
Ez
I
II
III
i
Ez
Rz
Punkt pracy (U0, I0) będzie statecznym punktem równowagi je\
eli ,
Rz + Rd > 0
gdzie Rd jest rezystancją dynamiczną w punkcie (U0, I0).
Statecznymi punktami równowagi są punkty I i III, natomiast punkt II jest
punktem niestatecznym.
Pasywność elementu nieliniowego
i
u = fR i
( )
u RN
i/lub
i = fG u
( )
Moc dostarczona do rezystora nieliniowego
u f u
u fG u
ńł ( )
ńł ( )
p = u i =
�łi fR i
( )
ół
Dwójnik jest pasywny, gdy p > 0 dla dowolnych u i i, czyli wtedy, gdy
gdy u > 0 gdy i > 0
ńł> 0 ńł> 0
fG �ł= 0 gdy u = 0 fR �ł= 0 gdy i = 0
�ł �ł
�ł< 0 �ł< 0
gdy u < 0 gdy i < 0
ół ół
Element rezystancyjny jest pasywny wtedy i tylko wtedy, gdy jego
charakterystyka napięciowo-prądowa (prądowo-napięciowa) mieści
się w całości w I i III ćwiartce układu współrzędnych
Elementy pasywne Elementy aktywne
u
i
i
u
i
u
i
u
A
ączenie elementów nieliniowych
Połączenie szeregowe
RN
RN1 RN2
RN1 : u1 = fR1 i
( )
i
RN2 : u2 = fR2 i
( )
u1 u2
u
RN : u = u1 + u2 = fR1 i + fR2 i = fR i
( ) ( ) ( )
u
RN
RN2
RN1
i
Połączenie równoległe
RN
i1 RN1
RN1 : i1 = fG1 u
( )
i
RN2 : i2 = fG2 u
( )
i2 RN2
u
RN : i = i1 + i2 = fG1 u + fG2 u = fG u
( ) ( ) ( )
i
RN
RN2
RN1
u
Pobudzenia zmienne w czasie
i t
( )
RN
u t RN : i = fG u , fG 0 = 0
e t ( ) ( ) ( )
( )
u t = e t
( ) ( )
i t = fG e t
( ) ( )
[ ]
k
"
d fG u
( )
1
fG u = ak =
( )
"a uk ,
k
k!
duk u=0
k=1
Często wystarczająca dokładność uzyskuje się po uwzględnieniu kilku
pierwszych wyrazów szeregu
i t = a1e t + a2e2 t + a3e3 t +�"
( ) ( ) ( ) ( )
Przykład 1.
e t = Em sin�0t, i = a1u + a3u3
( )
Em = 2, a1 =1, a3 = 0,5, �0 =1
3
i t = a1Em sin�0t + a3Em sin3 �0t
( )
3 1
sin3 x = sin x - sin 3x
4 4
3 1
3 3
i t = a1Em + a3Em sin�0t - a3Em sin 3�0t = 5sin t - sin 3t
( )
( )
( )
4 4
4 4
i t
e t ( )
( )
t
t
Przykład 2.
i t
( )
e t = sin�1t + sin�2t
( )
e t
( )
RN
RN : i = a3u3, a3 = 1
3
i t = sin�1t + sin�2t = sin3 �1t + 3sin2 �1t sin�2t + 3sin�1t sin2 �2t + sin3 �2t
( ) ( )
3 1
sin3 x = sin x - sin 3x
4 4
1 1 1
sin2 xsin y = sin y - sin(2x + y) + sin(2x - y)
2 4 4
3 1 3 3 3
3 1 3 3 3
i t = sin� t - sin 3� t + sin� t - sin 2� + � t + sin 2� -� t +
i t = sin�1t - sin 3�1t + sin�2t - sin 2�1 + �2 t + sin 2�1 -�2 t +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 4 2 4 4
3 1 3 3 3
+ sin�2t - sin 3�2t + sin�1t - sin 2�2 + �1 t + sin 2�2 -�1 t =
( ) ( )
4 4 2 4 4
9 1 9 1
= sin�1t - sin 3�1t + sin�2t - sin 3�2t +
4 4 4 4
3 3 3 3
- sin 2�1 + �2 t - sin 2�2 + �1 t + sin 2�1 -�2 t + sin 2�2 -�1 t
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4
"
Ogólnie, gdy
i = fG u =
( )
"a uk
k
k =1
" " " "
i t = I0 + Ikl sin k�1 + l�2 t
( ) ( )
"I sin k�1t +"I sin k�2t +" "
1k 2k
k =1 k=1 k=1 l=-( -1
k
)
Linearyzacja obwodu  metoda małosygnałowa
Rz
i t
( )
RN : u = fR i
( )
e t RN u t
( ) ( )
fR i t = e t - Rzi t
( ) ( ) ( )
[ ]
e t = E +ł%e, ł%e j" E �! i t = I +ł%i, u t = U +ł%u
e t = E0 +ł%e, ł%e j" E0 �! i t = I0 +ł%i, u t = U0 +ł%u
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
d fR i
( )
fR I0 +ł%i H" fR I0 + ł%i = fR I0 + Rdł%i
( ) ( ) ( )
di
i=I0
fR I0 + Rdł%i = E0 +ł%e - RzI0 - Rzł%i
( )
 wyznaczenie punktu pracy
fR I0 = E0 - RzI0
( )
Rdł%i =ł%e - Rzł%i �! Rd + Rz ł%i =ł%e  liniowe równanie dla przyrostów
( )
Rz i
1. Wyznaczamy punkt pracy (I0, U0) z równania
fR i = E0 - Rzi
( )
E0 RN u
(graficznie lub numerycznie)
2. Obliczamy rezystancję dynamiczną Rd
w wyznaczonym punkcie pracy
Rz ł%i
3. Tworzymy zlinearyzowany obwód zastępczy
3. Tworzymy zlinearyzowany obwód zastępczy
dla przyrostów napięć i prądów
ł%e Rd ł%u
4. Rozwiązujemy zlinearyzowany obwód
ł%e
ł%i =
Rz + Rd
Rd
ł%u = ł%e
Rz + Rd
u
E0 +ł%e
E0
U0 +ł%u
U0
i
E0 E0 +ł%e
I0
I0 +ł%i
Rz Rz
Nieliniowe elementy pojemnościowe
Element pojemnościowy
d q t
( )
FC �łu t ,q t łł = 0, i t =
( ) ( )�ł ( )
�ł
d t
A
adunek
q t :
( )
elektryczny
FC jest uwikłaną funkcją algebraiczną (nie zawiera pochodnych,
FC jest uwikłaną funkcją algebraiczną (nie zawiera pochodnych,
FC u,q =0
całek ani \
adnych innych operacji na t), czyli ( ) .
q = fC u .
Będziemy zakładać, \
e mo\
na wyznaczyć ( )
Kondensator liniowy:
q = fC u = Cu, C = const,
( )
d du
i t = Cu = C
( ) ( )
dt dt
q
Q0
ą
�
u
U0
fC u
( ) Q0
Cs = = = tgą  pojemność statyczna
u U0
u=U0
d fC u
( )
Cd = = tg �  pojemność dynamiczna
du
u=U0
Przykład
q
1-ą
łł
�B �ł�ł
u �ł
q = -C0 -1śł , u < �B
�ł1- �ł
�ł
1-ą �B łł
�ł�ł �ł
u
C0  stała o wymiarze pojemności
�B
 napięcie dyfuzyjne (bariera potencjału)
ą
 współczynnik zale\
ny od technologii wykonania złącza
Dla diody krzemowej
�B H" 0,7 V,
1
ńł
 złącze skokowe
�ł
2
ą =
�ł
1
�ł
 złącze liniowe
ół 3
�B �ł�ł u �ł1-ą łł
q
= - -1śł , u < �B
�ł
�ł1- �ł
C0 1-ą
�ł�ł �B łł �ł
q
, V
C0
u, V
0,7
1
ą =
2
1
ą =
3
dq dq du
i t = = = Cd u
( ) ( )du
dt du dt dt
C0
dq
u
Cd = = , u < �B
�ł �ł
ą
du T
i = Is �ł e� -1�ł
�ł1- u �ł
�ł
�ł łł
�B �ł
�ł łł
i
u
Cd
C0
i
1
1
ą =
3
1
ą =
2
u. V
0, 7 u
0,7
Nieliniowe elementy indukcyjne
Element indukcyjny
d� t
( )
FL �ł� t ,i t łł = 0, u t =
( ) ( )�ł ( )
�ł
d t
Strumień
� t :
( )
magnetyczny
FL jest uwikłaną funkcją algebraiczną (nie zawiera pochodnych,
FL jest uwikłaną funkcją algebraiczną (nie zawiera pochodnych,
FL �,i =0
całek ani \
adnych innych operacji na t), czyli ( ) .
� = fL i
Będziemy zakładać, \
e mo\
na wyznaczyć
( )
Induktor liniowy:
� = fL i = Li, L = const,
( )
d di
u t = Li = L
( ) ( )
dt dt
�
�
0
�
ą
i
I0
fL i
( ) �
0
Ls = = = tgą  indukcyjność statyczna
i I0
i=I0
d fL i
( )
Ld = = tg �  indukcyjność dynamiczna
di
i=I0
Induktor na rdzeniu ferromagnetycznym
�
I0 i
Poło\
enie punktu pracy zale\
y nie tylko od I0, ale równie\
od
historii zmian tego prądu.
y
ródła sterowane
y
NSN
y
NSP
u
e = f� u i
( ) e = f� i
( )
y
PSN y
PSP
i
iz = fł u u iz = fą i
( ) ( )
ia ia
f us,ua
us ( ) ua
ua
us
3
ua
�łu + ua �ł2 ,
ia = f us,ua = k us < 0, ua > 0, us + > 0.
( )
�ł �ł
s
� �
�ł łł
ia
ia
us
ua
us
ua
ECC81
Model Ebersa-Molla
ąnidC ąiidE
E (emiter)
iE iC C (kolektor)
iE iC
idE idC
uEB uCB uEB uCB
B (baza)
uEB uCB
- -
�ł �ł �ł �ł
�T
idE = IsE �łe -1�ł, idC = IsC �ł e -1�ł
idE = IsE �łe �T -1�ł, idC = IsC �ł e -1�ł
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
uEB uCB
- -
�ł �ł �ł �ł
iE = IsE �łe �T -1�ł -ąiIsC �łe �T -1�ł
�ł łł �ł łł
uCB uEB
- -
�ł �ł �ł �ł
iC = -IsC �łe �T -1�ł +ąnIsE �łe �T -1�ł Trzeba zidentyfikować (zmierzyć)
IsE, IsC, ąi, ąn.
współczynniki
�ł łł �ł łł
Przykład
M
ia
L La
C
Ck Rk
+
R
ua = E0
E0

Analiza stałoprądowa
Analiza stałoprądowa
Ia0
Ia0
us
Ua0
Us0
E0
Us0
Z wykresu odczytujemy Ia0 i Us0
Rk RkIa0
Us0 = -RkIa0
-Us0
i obliczamy
Rk =
Ua0 = E0 - RkIa0 H" E0
Ia0
Analiza zmiennoprądowa
Kondensator Ck ma pojemność na tyle du\
ą, \
e stanowi zwarcie dla składowych zmiennych
di
L
dt
L
M
i
dia
M
dt
L La
ia
us
C
i
us C
R Ri
R
dia
di
L + us + Ri - M = 0
dt dt
dus
i = C
dt
d2us dus dia
LC + RC + us - M = 0
dt dt
dt2
ia
Us = Us0 + us
3
ia = Ia0 + aus - bus
a, b > 0
Ia0
dia dia dus
2
s
= = a - 3bus
( )ddu
Us
dt dus dt t
Us0
d2u du
d2us dus
s
LC + RC + us - M a - 3bus2 = 0
( )du
( )du
dt dt
d t2
d2us dus
3bM
2
LC - Ma - RC 1- us + us = 0
( )
( )
Ma - RC dt
d t2
2
�ł łł
d2us �ł �ł d us
3bM
LC - Ma - RC + us = 0
( )
�ł1- �ł Ma - RC us �ł śł
d t
d t2
�ł łł
�ł śł
�ł �ł
3bM Ma - RC
us = x �! us = x
Ma - RC 3bM
dus
d x
Ma - RC
=
dt 3bM d t
d2us
Ma - RC d2x
=
3bM
dt2 d t2
1
2
= �0
LC
d x
d x
d x
d2x
2
-� Ma - RC 1- x2 � + �2x = 0
-�0 Ma - RC 1- x2 �0 + �0 x = 0
( )
( )
( )
( )
d t
dt2
�0 Ma - RC = �
( )
d2x
2
- � 1- x2 �0 d x +�0 x = 0
( )
d t
d t2
Równanie van der Pola
Je\
eli � = 0 otrzymujemy równanie liniowe,
d2x
2
+ �0 x = 0
dt2
którego rozwiązaniem jest
x t = 1 sin�0t + 2 cos�0t,
( )
gdzie 1 i 2 są dowolnymi stałymi.
Podstawmy
Podstawmy
d x d x d� d x
�0t = � �! = = �0
dt d� dt d�
d2x
2
= �0 d2x
2
d t2 d�
d2x
- � 1- x2 x + x = 0
( )d�
2
d
d�
Równanie van der Pola z unormowanym czasem
x
d2x
- � 1- x2 + x = 0
( )d�
2
d
d�
Rozwiązanie szczególnym jest x(�) = 0. Jest to punkt równowagi.
Załó\
my, \
e układ, z dowolnych przyczyn zewnętrznych, został
wytrącony z punktu równowagi, czyli
x = 0 x =ł%x `" 0, ł%x j" 1
x = 0 x =ł%x `" 0, ł%x j" 1
2
ł%x
Po pominięciu składnika ( ) otrzymujemy przybli\
enie liniowe
równania
dł%x
d2ł%x
- � +ł%x = 0
2
d�
d�
dł%x
d2ł%x
- � +ł%x = 0
2
d�
d�
Rozwiązanie ma postać:
a) |�| > 2
1 2
ł%x = 1eą � + 2eą � ,
2 2
� � � �
�ł �ł �ł �ł
ą1 = + -1, ą2 = - -1
�ł �ł �ł �ł
2 2 2 2
2 2 2 2
�ł łł �ł łł
�ł łł �ł łł
b) |�| < 2
ł%x = eą� 1 sin�� + 2 cos�� ,
( )
2
� �
�ł �ł
ą = , � = 1-
�ł �ł
2 2
�ł łł
Je\
eli � > 0 to zaburzenie rośnie (rozwiązanie nie wraca do punktu
równowagi), czyli x(�) = 0 jest rozwiązaniem niestabilnym.
Interesującą cechą równania van der Pola jest występowanie
w rozwiązaniu cyklu granicznego. Rozwiązanie, w miarę upływu
czasu, dą\
y do funkcji okresowej o amplitudzie niezale\
nej od
warunków początkowych.
2
x � � = 1, x 0 = 0, 2, x 0 = -0, 2
( ) ( ) ( )
�
Amplituda jest równa ok. 2 i praktycznie nie zale\
y od wartości �
2
x � � = 3, x 0 = 0, x 0 = 0,1
( ) ( ) ( )
�
2
x � � = 50, x 0 = 0, x 0 = 0,1
( ) ( ) ( )
 blocking-generator
�
x �
2
( ) � = 0,5, x 0 = 0, x 0 = 0,1
( ) ( )
�
x �
2
( ) � = 0, 2, x 0 = 0,1, x 0 = 0, 2
( ) ( )
�
2
x � � = 0,1, x 0 = 0, x 0 = 0,015
( ) ( ) ( )
�
2
� = 0,1, x 0 = 0,1, x 0 = -0,2
x � ( ) ( )
( )
�
2
x � � = 0,1, x 0 = 4, x 0 = 1
( ) ( ) ( )
�
Ma - RC
� = �0 Ma - RC =
( )
LC
M
generator przebiegu sinusoidalnego
� j" 1
L La
1
o pulsacji
� H" �0 =
C
LC
Ck Rk
+
R
(tzw. generator Meissnera)
E0

generator relaksacyjny
� k" 1
(tzw. blocking-generator)