1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
Dla danej funkcji ciągłej f znalez
ć wartości x, dla których
f(x) = 0. (1)
2 Przedział izolacji pierwiastka
Będziemy zakładać, że równanie (1) ma tylko pierwiastki odosobnione.
Istnienie co najmniej jednego pierwiastka równania (1) wynika z następującego twierdzenia
Twierdzenie 1 (Bolzano-Cauchy ego) Jeżeli funkcja ciągła f przyjmuje na końcach przedziału do-
mkniętego < a, b > wartości o znakach przeciwnych, tzn. f(a) � f(b) < 0, to wewnątrz tego przedziału
istnieje co najmniej jeden pierwiastek równania f(x) = 0.
Warunkiem dostatecznym istnienia w przedziale < a, b > dokładnie jednego pierwiastka równania (1)
jest dodatkowe założenie silnej monotoniczności funkcji f w przedziale < a, b > (lub przy założeniu
różniczkowalności funkcji f ) założenie że f nie zmienia znaku w tym przedziale, tzn.
f(a)f(b) < 0 oraz f(x) jest rosnąca w < a, b >,
f(a)f(b) < 0 oraz f(x) jest malejąca w < a, b >,
lub (przy założeniu różniczkowalności funkcji f )
f(a)f(b) < 0 oraz "x " (a, b) f (x) < 0
f(a)f(b) < 0 oraz "x " (a, b) f (x) > 0
Jest to tylko warunek dostateczny, w rozważanym na ćwiczeniach przypadku funkcja nie spełniała
tego warunku, a w badanym przedziale miała dokładnie jeden pierwiastek.
Zad. 2.1 Zlokalizować pierwiastki równania
x4 - 4x - 1 = 0.
(Wskazówka. Obliczyć pochodną i zbadać, kiedy f (x)=0)
Zad. 2.2 Sprawdzić czy przedział [a, b] = [1, 2] jest przedziałem izolacji jednego pierwiastka równania
F (x) = 0, gdzie
F (x) = x3 - 3x2 - 2x + 5.
3 Metoda bisekcji
Metoda bisekcji(metoda połowienia, metoda równego podziału , metoda połowienia przedziału) - jedna z
metod rozwiązywania równań nieliniowych. Opiera się ona na twierdzeniu Bolzano-Cauchy ego.
Aby można było zastosować metodę bisekcji, muszą być spełnione założenia:
1. funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [xl, xp] = [a, b]
2. funkcja przyjmuje różne znaki na końcach przedziału: f(a)f(b) < 0 (lepiej sgnf(a) = sgnf(b))

Przebieg algorytmu:
xp+xl xp-xl
1. Należy sprawdzić, czy pierwiastkiem równania jest punkt c = (lepiej c = xl + ), czyli czy
2 2
f(c) = 0 (lepiej |f(xs)| < �).
2. Jeżeli tak jest, algorytm kończy się. W przeciwnym razie c dzieli przedział [xl, xp] na dwa mniejsze
przedziały [xl, c] i [c, xl].
3. Następnie wybierany jest ten przedział, dla którego spełnione jest drugie założenie, tzn. albo f(c)f(xl) <
0 albo f(c)f(xp) < 0. Cały proces powtarzany jest dla wybranego przedziału.
Działanie algorytmu kończy się w punkcie 2, lub po osiągnięciu żądanej dokładności przybliżenia pier-
wiastka.
Warunek stopu:
1. wartość funkcji w wyznaczonym punkcie jest bliska 0: |f(c)| < �f
2. odległość pomiędzy kolejnymi przybliżeniami jest dość mała: |xl - xp| < �x
3. wykonano maksymalną zadaną liczbę kroków M
Metoda bisekcji jest w stanie znalez
ć tylko jeden pierwiastek w danym przedziale, dlatego musimy
skorzystać z innych metod aby dobrać odpowiedni przedział w którym będziemy poszukiwać pierwiastka.
Metoda bisekcji jest więc zbieżna liniowo. Zbieżność metody bisekcji jest globalna. tzn jeśli tylko
dysponujemy dwoma punktami a i b takimi, że f przyjmuje w nich wartości przeciwnych znaków, to
metoda bisekcji z pewnością znajdzie miejsce zerowe funkcji, choćby początkowa długość przedziału [a, b]
była bardzo duża.
Zad. 3.1 Dla funkcji obliczyć metodą bisekcji pierwiastek równania F (x) = 0, gdzie
F (x) = x3 - 3x2 - 2x + 5, [a, b] = [1, 2]
z dokładnością �f = 0.1, tj. |F (c)| < �f .
Zad. 3.2 Stosując metodę bisekcji rozwiąż następujące równanie
x3 + x2 - 3x - 3 = 0
przyjmując jako przedział początkowy (0, 2).
Zad. 3.3 Metodą bisekcji wyznaczyć pierwiastek równania
x3 - 2x + 5 = 0.
4 Metoda Newtona (metoda stycznych)
Startując z pewnego przybliżenia początkowego x0, w kolejnych krokach metody, k-te przybliżenie xk jest
punktem przecięcia stycznej do wykresu f w punkcie xk-1. Ponieważ równanie stycznej wynosi y(x) =
f(xk-1) + f (xk-1)(x - xk-1), to otrzymujemy następujący wzór
f(xk-1)
xk = xk-1 - , k = 1, 2, . . .
f (xk-1)
Metoda Newtona i jej podobne należą do grupy metod zbieżnych lokalnie. Znaczy to, że zbieżność
ciągu {xk} do zera danej funkcji f jest zapewniona jedynie wtedy, gdy przybliżenia początkowe zostały
wybrane dostatecznie blisko przybliżanego pierwiastka x".
Zbieżność metody Newtona, gdy f (x") = 0 jest kwadratowa.

Warunki dostateczne zbieżności metody
1. Funkcja f należy do klasy C2 w przedziale [a, b].
2. Funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału, tj. f(a)f(b) < 0
3. Pierwsza i druga pochodna mają stały znak w tym przedziale, tj.
"x " [a, b] f (x) > 0 lub "x " [a, b] f (x) < 0
oraz
"x " [a, b] f (x) > 0 lub "x " [a, b] f (x) < 0
4. f(x0)f (x0) > 0
Uwaga 4.1 Jeżeli dla każdego x " [a, b] mamy
" f (x)f (x) < 0, to x0 = a,
" f (x)f (x) > 0, to x0 = b.
Zad. 4.1 Wykonaj 2 kroki metody Newtona w celu znalezienia pierwiastka równania

3 1
x3 + 3x2 - 1 = 0, x " - , - .
4 2
Przybliżenie początkowe x0 = -3. Zbadaj zbieżność metody Newtona w tym przypadku.
4
"
Zad. 4.2 Korzystając z metody Newtona wyznacz a.
Zad. 4.3 Wyznacz 1/b przy pomocy metody Newtona.
"
Zad. 4.4 Korzystając z metody Newtona wyznacz 5 z dokładnością �x = 0, 01.
Zad. 4.5 Oblicz 5 pierwszych przybliżeń miejsc zerowych funkcji
f(x) = x4 + 8
metodą Newtona. Przedział początkowy [a, b] = [0, 12].
Zad. 4.6 Równanie
x2 - 2 = 0
ma pierwiastki. Stosując metodę Newtona oblicz dodatni pierwiastek tego równania zaczynając od punktu
startowego 1.
5 Metoda siecznych
W metodzie stosuje się przybliżenie sieczną.
Metoda ta wykorzystuje więc do konstrukcji xk przybliżenia xk-1 i xk-2. Musimy również wybrać dwa
różne punkty startowe x0 i x1. Ponieważ sieczna dla f w punktach xk-1 i xk-2 ma wzór
x - xk-2 x - xk-1
y(x) = f(xk-1) + f(xk-2),
xk-1 - xk-2 xk-2 - xk-1
otrzymujemy
xk-1 - xk-2
xk = xk-1 - f(xk-1) , k = 1, 2, . . .
f(xk-1) - f(xk-2)
Metoda siecznych jest zbieżna nadliniowo. Zbieżność metody siecznych jest lokalna.
Warunki dostateczne zbieżności metody
1. Funkcja f należy do klasy C2 w przedziale [a, b].
2. Funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału, tj. f(a)f(b) < 0
3. Pierwsza i druga pochodna mają stały znak w tym przedziale, tj.
"x " [a, b] f (x) > 0 lub "x " [a, b] f (x) < 0
oraz
"x " [a, b] f (x) > 0 lub "x " [a, b] f (x) < 0
4. f(x0)f (x0) > 0 oraz f(x1)f (x1) > 0.
"
Zad. 5.1 Wyznacz 2 kolejne przybliżenia liczby 3 metodą siecznych przyjmując jako dwa pierwsze przy-
bliżenia początkowe
a) x0 = 1, x1 = 2,
b) x0 = 2, x1 = 3,
Zad. 5.2 Metoda siecznych wyznacz miejsce zerowe funkcji
f(x) = x3 + x2 - 3x - 3
w przedziale (1, 2) z dokładnością
a) |xk+1 - xk| < �x = 0, 1,
b) |f(xk+1| < �f = 0, 001,
przyjmując x0 = a = 1, x1 = b = 2.
Zad. 5.3 Wykonać trzy kroki metody siecznych w celu znalezienia rozwiązania równania
ex-1 + x2 - 2 = 0
na przedziale [0, 2].
"
3
Zad. 5.4 Wyznacz 2 kolejne przybliżenia 4 metodą siecznych przyjmując jako dwa początkowe przybli-
żenia x0 = 1, x1 = 2.
6 Metoda Regula falsi
Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą oraz f(s0)f(u0) < 0, gdzie s0, u0 " [a, b]. Oznaczmy przez
conv{s0, u0} najmniejszy przedział zawierający s0, u0, tzn. [s0, u0], gdy s0 < u0 lub [u0, s0], gdy u0 < s0.
Metoda regula falsi polega na konstrukcji metodą siecznych dwóch monotonicznych, ograniczonych
ciągów {sn} i {un} spełniających warunki
" f(sn)f(un) < 0
" conv{sn, un} �" conv{sn-1, un-1}
dla każdego n = 1, 2, . . . .
Jeżeli sn, un są juz obliczone, to sn+1, un+1 oblicza się następująco:
1. Stosujemy metodę siecznych dla punktów sn, un. Otrzymujemy
f(sn) un - sn
xn+1 = sn - = sn - f(sn) " conv{sn, un}
f[un, sn] f(un) - f(sn)
2. Jeśli f(xn+1) = 0 to metodę przerywamy zwracając x" = xn+1
3. W przeciwnym razie przyjmujemy
sn+1 = sn, un+1 = xn+1, gdy f(sn)f(xn+1) < 0
albo
sn+1 = xn+1, un+1 = un, gdy f(xn+1)f(un) < 0
Obliczenia kontynuujemy, aż f(xn) = 0 lub do spełnienia warunku |xn+1 - xn| < �, gdzie � jest określoną
z góry dokładnością.
Jeżeli funkcja f(x) jest ściśle monotoniczna i wklęsła lub wypukła w całym przedziale [a, b] to ciąg
kolejnych przybliżeń pierwiastka x" równania f(x) = 0 jest ciągiem ściśle monotonicznym.
Metoda regula falsi przy spełnieniu warunków początkowych jest zbieżna globalnie, przy czym w
najgorszym przypadku zbieżność ta może być liniowa.
Zad. 6.1 Wykonaj dwa kroki metody regula falsi w celu przybliżenia zera funkcji f(x) = x2-3, przyjmując
s0 = 1, u0 = 2.
Zad. 6.2 Wykonaj dwa kroki metody regula falsi w celu przybliżenia zera funkcji f(x) = x2 - 3x + 1 w
przedziale [0, 1].
Zad. 6.3 Metodą regula falsi wyznacz pierwiastek równania x2 -2 = 0 z dokładnością � = 0.1, przyjmując
s0 = -1, u0 = 2.
Zad. 6.4 Wyznacz przy pomocy metody regula falsi trzy kolejne przybliżenia x1, x2, x3 pierwiastka funkcji
1 1
f(x) = 2 - , przyjmując s0 = , u0 = 1.
x 4
7 Wielowymiarowa metoda Newtona
Metodę Newtona można uogólnić na przypadek układu k równań nieliniowych z k niewiadomymi:
ńł
�ł
�ł
F1(x1, . . . , xk) = 0,
�ł
�ł
�ł
.
.
.
�ł
�ł
�ł
�ł
ół
Fn(x1, . . . , xk) = 0,
który zapisujemy w postaci wektorowej
F (x) = 0, gdzie F (x) = [F1(x), . . . , Fk(x)]T , x = [x1, . . . , xk]T .
Metoda Newtona w tym przypadku ma postać:
-1
x(n+1) = x(n) - dF (x(n)) F (x(n)), n = 0, 1, . . . ,
gdzie
T
x(0) = x(0), . . . , x(0) - przybliżenie początkowe,
1 k
�ł łł
"F1 "F1
(x(n)), . . . , (x(n))
"x1 "xk
�ł śł
�ł śł
"F2 "F2
�ł śł
(x(n)), . . . , (x(n))
�ł "x1 "xk śł
dF (x(n)) = �ł śł - macierz Jacobiego,
. . .
�ł śł
. . .
�ł . . . śł
�ł �ł
"Fk "Fk
(x(n)), . . . , (x(n))
"x1 "xk
-1
dF (x(n)) - macierz odwrotna do macierzy Jacobiego.
T
Algorytm: Wprowadzamy oznaczenie "x = x(n+1) - x(n) = x(n+1) - x(n), . . . , x(n+1) - x(n) , a
1 1 k k
następnie obliczamy
" dF (x(n))"x = -F (x(n)) -rozwiązać układ równań (np. przy pomocy eliminacji Gaussa) �! "x
" x(n+1) = x(n) + "x -wyznaczyć kolejne przybliżenie
Zad. 7.1 Wykonaj metodą Newtona dwa kroki obliczeniowe dla układu równań:
ńł
�ł
�ł
x2 + y2 = 5
�ł
ół
xy = 2
przyjmując jako punkt startowy punkt o współrzędnych (0, 1).
Zad. 7.2 Rozwiązać metodą Newtona układy równań
ńł ńł
�ł �ł
�ł �ł
2x3 - x2 = 1 4x2 - x2 = 0
1 2 1 2
A) B)
�ł �ł
ół ół
x1x3 - x2 = 4 4x1x2 - x1 = 1
2 2
przyjmując za przybliżenie początkowe wektor A) x(0) = [1, 4]T , B) x(0) = [0, 1]T (dwie iteracje).
8 Metoda iteracji prostej
Metoda iteracji prostej wyznaczania miejsca zerowego jest oparta na twierdzeniu Banacha o punkcie
stałym odwzorowania zwężającego. Zakładamy, że f : [a, b] [a, b].
Najpierw nasze równanie nieliniowe
f(x) = 0, (2)
przekształcamy (dobierając odpowiednią funkcję Ć) do równania równoważnego (tzn. mającego te same
rozwiązania)
x = Ć(x). (3)
Taki x, dla którego zachodzi powyższa równość, nazywamy punktem stałym odwzorowania Ć. Następnie,
startując z pewnego przybliżenia początkowego x0 " [a, b], konstruujemy ciąg kolejnych przybliżeń xk
według wzoru
xk+1 = Ć(xk), k = 0, 1, . . . . (4)
Z twierdzenia Banacha wynika następujący warunek wystarczajacy zbiezności ciągu (4):
Twierdzenie 2 Niech funkcja Ć : [a, b] [a, b] bedzie rózniczkowalna w przedziale [a, b]. Załóżmy, że
"0Wówczas
1. dla każdego przybliżenia początkowego x0 " [a, b], ciąg kolejnych przybliżeń (4) jest zbiezny do pew-
nego x " [a, b], tzn. istnieje granica lim xn = x,
n"
2. x jest jedynym rozwiązaniem równania (3) w [a, b],
qn
3. "n"N0|x - xn| |x1 - x0|.
q-1
Proces iteracyjny kontynuujemy, aż
1 - q
|xn - xn-1| �,
q
gdzie � jest zadaną dokładnością.
Zad. 8.1 Obliczyć metodą iteracji pierwiastek równania x3 + x = 1000 z dokładnością 10-4.
Wskazówka. Równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty w przedziale [9, 10].
Zad. 8.2 Ustalić przedział do którego należy pierwiastek równania, a następnie znalez
ć jego przybliżoną
wartość
1. x4 - x - 10 = 0
2. x3 + x - 5 = 0
metodą iteracji (pierwsze i drugie przybliżenie).