Algebra ogólna

UMCS Lublin

Zestaw zaliczeniowy - dr Agnieszka Kozak

Zadanie 1.

1. Znaleźć wszystkie dzielniki elementu a = 5 + i

√

3 w pierścieniu

Z[i

√

3].

2. Czy element a jest rozkładalny w pierścieniu

Z[i

√

3]?

3. Czy element a jest odwracalny w pierścieniu

Z[i

√

3]?

4. Czy rozkład tego elementu jest jednoznaczny w pierścieniu

Z[i

√

3]?

5. Wyznaczyć element b który jest stowarzyszony z elementem a w pierścieniu

Z[i

√

3].

Zadanie 2.

Sprawdzić, czy zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych pierścienia

Z

8

jest ide-

ałem tego pierścienia. Wyznacz dzielniki zera w tym pierścieniu.
Zadanie 3.

Wyznaczyć największy wspólny dzielnik wielomianów f (x) = x

4

+ 1 i g(x) = 3x

3

+

3x + 4 w pierścieniu

Z

5

[x].

Zadanie 4.

Niech x

1

, x

2

, x

3

będą pierwiastkami wielomianu x

3

− 3x

2

+ 5

∈ Q[x]. Obliczyć

(x

1

+ x

2

)(x

1

+ x

3

)(x

2

+ x

3

).

Zadanie 5.

Suma dwóch pierwiastków wielomianu 2x

3

− x

2

− 7x + c ∈ Q[x] wynosi 1. Wyznaczyć

c.
Zadanie 6.

Przez

Z

6

[x] oznaczamy pierścień wszystkich wielomianów o współczynnikach z pier-

ścienia

Z

6

. Znaleźć wszystkie pary a, b

∈ Z

6

takie, że wielomian f = 2x

4

+5x

3

+4x

2

+ax+b

przy dzieleniu przez x + 1 dawał resztę 5, a przy dzieleniu przez x + 3 resztę 1. Dzielenia
te wykonujemy zgodnie z regułami działań w

Z

6

[x].

Zadanie 7.

Niech x

1

, x

2

, x

3

będą pierwiastkami wielomianu x

3

− 3x

2

+ 5

∈ Q[x]. Obliczyć

x

1

x

2

+

x

1

x

3

+

x

2

x

1

+

x

2

x

3

+

x

3

x

1

+

x

3

x

2

.

Zadanie 8.

Znaleźć ogólny wzór na rozwiązania w liczbach całkowitych równania

827x + 131y = 1.

Zadanie 9.

Niech x

1

, x

2

, x

3

będą pierwiastkami wielomianu 5x

3

− 4x

2

+ 3x

− 2. Obliczyć

1

x

1

+

1

x

2

+

1

x

3

.

Zadanie 10.

Dla jakich p, q, r

∈ R wielomian f = x

3

+ px

2

+ qx + r dzieli się przez (x

− 1)

3

?

Zadanie 11.

Znaleźć permutację x

∈ S

5

taką, że w grupie S

5

zachodzi równość

(

1 2 3 4 5
5 4 1 3 2

)

◦ x =

(

1 2 3 4 5
4 1 2 5 3

)

.

Zadanie 12.

Niech G =

{(x, y) ∈ R

2

: x

̸= 0}. Sprawdzić, czy zbiór G z działaniem ∗ określonym

wzorem

(x

1

, y

1

)

∗ (x

2

, y

2

) = (x

1

x

2

, x

1

y

2

+ y

1

)

jest grupą.
Zadanie 13.

Dla każdego elementu a grupy (

Z

6

,

⊕) wyznaczyć podgrupę (a) i znaleźć rza

Zadanie 14.

Niech

R

∗

=

R \ {0} i G będzie grupą wszystkich wzajemnie jednoznacznych funkcji z

R

∗

na

R

∗

z działaniem złożenia. Oznaczamy

f

1

(x) = x,

f

2

(x) =

−x, f

3

(x) =

1

x

,

f

4

(x) =

−

1

x

dla x

∈ R

∗

. Sprawdzić, czy zbiór H =

{f

1

, f

2

, f

3

, f

4

} z działaniem złożenia jest podgrupą

grupy G.

Zadanie 15.

W zbiorze liczb całkowitych określamy działanie

a

◦ b = a + b + 2

Czy zbiór liczb całkowitych stanowi grupę ze względu na to działanie?
Zadanie 16.

W zbiorze liczb rzeczywistych należących do przedziału A = [

−1; ∞) określamy dzia-

łanie

a

∗ b = a · b + a + b

Sprawdzić, czy zbiór A wraz z działaniem

∗ stanowi grupę abelową.

Zadanie 17.

Sprawdzić, że zbiór wszystkich macierzy postaci

[

1,

a

0,

1

]

,

gdzie a

∈ Z, tworzy grupę względem mnożenia macierzy?

Zadanie 18.

Niech f

∈ Z[x] będzie wielomianem, dla którego reszty z dzielenia przez x − 1 i x + 2

wynoszą odpowiednio

−5 i 1. Znaleźć resztę z dzielenia f przez (x − 1)(x + 2).

Zadanie 19.

Niech S będzie grupą wszystkich wzajemnie jednoznacznych funkcji f :

Z → Z z

działaniem złożenia i H =

{f ∈ S : f(−1) = −1}. Sprawdzić, że H jest podgrupą grupy

S.
Zadanie 20.