Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY,
ALGORYTMY W OBLICZENIACH
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr III
rok akademicki 2011/2012
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Adam Wosatko
Ewa Pabisek
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Pojęcie metody numerycznej
Metoda numeryczna
Algorytm
1
Uporządkowany zestaw czynności zmierzających do osiągnięcia celu,
np. przepis kulinarny.
2
Logiczny ciąg operacji, na skutek których dane wejściowe zostają
przetworzone w wyniki.
Metoda numeryczna
Skończona liczba najprostszych działań arytmetycznych (+, −, · , /)
i logicznych określona za pomocą odpowiedniego algorytmu.
Pierwsze metody numeryczne powstały znacznie wcześniej niż komputery!
Dane (liczbowe) →
Algorytm metody numerycznej
→ Wyniki (liczbowe)
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Reprezentacja liczby
Pojęcie liczby
Liczba
Dawniej:
intuicyjnie rozumiana jako miernik wielkości zbioru
np. przedmiotów.
Dziś:
pojęcie abstrakcyjne, podstawowy obiekt matematyczny.
Czy liczba różni się od cyfry?
Liczba
składa się z cyfr, tak jak
słowo
składa się z liter, np. w systemie
dziesiętnym 198819 składa się z cyfr arabskich 1, 8 i 9.
Mówimy: liczba prętów zbrojeniowych, cyfra 5, ilość piasku, ilość stali.
Nie powinniśmy mówić: ilość cegieł, cyfra 14, liczba arabska.
Wyjątek stosowany w tym wykładzie: ilość cyfr.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Reprezentacja liczby
Reprezentacja liczby
Reprezentacja liczby
Sposób zapisu wartości liczby za pomocą znaków, w szczególności cyfr.
Przykład:
Słownie: sto czterdzieści trzy
Cyfry arabskie, system dziesiętny: 143
system dwójkowy (binarny): 10001111
Zazwyczaj liczba jest reprezentowana przez skończoną ilość cyfr.
Skończoność zapisu za pomocą cyfr powoduje, że nie dla każdej liczby
jest on dokładny, np. π = 3.14159 . . . ,
1
6
= 0.16667 . . . .
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Reprezentacja liczby
Reprezentacja liczby rzeczywistej
Zapis zmiennopozycyjny – notacja naukowa
Liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci:
L = m · p
c
,
gdzie: m – mantysa liczby L, p – podstawa systemu pozycyjnego,
c – cecha liczby L.
Przykład:
3472.254 = 0.3472254 · 10
4
= 0.3472254e+04
Ilość cyfr znaczących (ICZ)
Ilość cyfr występująca w zapisie liczby, bez uwzględniania tzw. lewych zer.
Przykład:
0.768344e-01 - 0.768332e-01 = 0.000012e-01
Spadek ICZ z 6 do 2 → obniżenie dokładności obliczeń.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Błędy operacji arytmetycznych
Definicja błędu
Inżynier ma czynienia z błędem, gdy wynik obliczeń (lub pomiaru)
odbiega od wyniku dokładnego czyli PRAWIE ZAWSZE (!!!).
Definicja - błąd bezwzględny
∆
x
= | x − X |
x - wartość dokładna (ścisła), X - wartość przybliżona,
∆
x
- błąd bezwzględny
Definicja - błąd względny
x
=
∆
x
| x|
= |
x −X
x
|
x
- błąd względny
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Błędy operacji arytmetycznych
Błąd bezwzględny i względny
Przykład
Wartość błędu bezwzględnego ∆
x
zależy
od rzędu wielkości rozpatrywanych liczb.
Przykład:
x
1.0101
101.01
10101
1010100
X
0.99901
99.901
9990.1
999010
∆
x
0.01109
1.109
110.90
11090
x
0.010979
0.010979
0.010979
0.010979
Bardziej obiektywną ocenę dokładności reprezentacji liczb
daje wartość błędu względnego
x
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Błędy operacji arytmetycznych
Podstawowe źródła błędów
Wszystkie zagadnienia rozwiązywane metodami numerycznymi
są na ogół obarczone pewnymi błędami.
Błędy te można podzielić na:
1
błędy wejściowe (początkowe)
2
błędy obcięcia
3
błędy zaokrągleń
4
błędy modelu
5
błędy metody
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Błędy operacji arytmetycznych
Błędy początkowe
Błędy danych wejściowych
Dane liczbowe wprowadzone do pamięci (komputera) odbiegają
od dokładnych wartości tych danych.
Błędy pomiaru – wynikają z pomiarów wielkości fizycznych,
np. błąd odczytu wskazań przyrządów,
niedoskonałość metody pomiarowej, itp.
Błędy reprezentacji – wynikają ze sposobu zapisu wartości liczby.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Błędy operacji arytmetycznych
Błędy obcięcia
Błędy obcięcia
Powstają podczas zmniejszenia liczby działań
(teoretycznie nieskończonych), np. przy obliczaniu sumy szeregu.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Błędy operacji arytmetycznych
Błędy zaokrągleń
Błędy zaokrągleń
Pojawiają się podczas wykonywania obliczeń.
Wynikają z ograniczonej reprezentacji liczb w pamięci komputera.
Błędy te możemy zmniejszyć ustalając sposób i kolejność działań lub
precyzję obliczeń (nie zawsze można).
Przykład:
0.2e+00 + 0.1e+17 - 0.1e+17 = 0
0.1e+17 - 0.1e+17 + 0.2e+00 = 0.2e+00
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Inne rodzaje błędów
Błędy modelu i błędy metody
Błędy modelu
Wyniki obliczeń określają zachowanie się pewnego rzeczywistego układu
fizycznego, chemicznego, itp. Podczas budowania modelu fizycznego (np.
konstrukcji) i matematycznego pomija się część efektów – uznaje się je za
niestotne dla rozwiązania. Przyjęty model stanowi przybliżenie
rzeczywistości. W wyniku obliczeń (numerycznych) mogą pojawić się
jakieś jego niezgodności z zachowaniem układu rzeczywistego, które są
następstwem pomyłek (czyli tzw. ”grubych błędów”).
Błędy metody
Metody numeryczne, za pomocą których wykonywane są obliczenia,
bardzo często są metodami przybliżonymi. Zatem realizacja danego
algorytmu może prowadzić do błędu metody. Nie dotyczy to metod
dokładnych.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Cechy algorytmów
Kiedy algorytm jest poprawny?
Poszukiwanie rozwiązania problemu czy zadania za pomocą określonej
metody numerycznej ma sens, gdy wiadomo, że to rozwiązanie istnieje
i jest jednoznaczne.
W przeciwnym wypadku możemy doprowadzić do obliczeń
bez końca
,
co przy zastosowaniu komputera skutkuje zawieszeniem jego działania.
W celu wykonania obliczeń i uzyskania wyniku należy sformułować
poprawny algorytm.
Algorytm poprawnie sformułowany
jest wtedy,
gdy liczba operacji (działań) będzie skończona.
Dane (liczbowe) → Algorytm metody numerycznej → Wyniki (liczbowe)
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Cechy algorytmów
Algorytm numerycznie niestabilny
Algorytm numerycznie niestabilny
Niewielkie błędy wynikające z obliczeń numerycznych (np. zaokrąglenia)
na jakimś etapie rosną tak, że w kolejnych etapach znacznie
zniekształcają wyniki końcowe.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Cechy algorytmów
Algorytm numerycznie stabilny
Algorytm numerycznie stabilny
Algorytm, który dla nieco zaburzonych danych zwraca nieco zaburzone
wyniki. Zwiększenie dokładności obliczeń pozwala wyznaczyć dowolne
istniejące rozwiązanie.
Nie dopuszczamy do sytuacji, kiedy w wyniku kumulacji
błędów możemy uzyskać wysoce przekłamany wynik.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Cechy algorytmów
Cechy dobrego algorytmu
Niezawodność, zbieżność
Zawsze daje wyniki – niezależnie od danych.
Stabilność
Zaburzenia w trakcie realizacji (występowanie błędów)
nie wpływają na wynik końcowy.
Szybkość
Wynik uzyskuje się możliwie jak najszybciej (optymalnie szybko).
Można spotkać metody (algorytmy) numeryczne które są szybkie, ale nie
są stabilne i... odwrotnie.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Uwarunkowanie zadania
Złe uwarunkowanie zadania
To jak bardzo wynik W (a + δa) różni się od W (a) zależy od rodzaju
zadania i cechę tą nazywamy
uwarunkowaniem zadania
.
Zadanie jest
źle uwarunkowane
, jeśli małe zmiany danych początkowych
wywołują duże zmiany wyników czyli występuje
duża wrażliwość
rozwiązania
zadania na
małe zmiany danych
początkowych.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Reprezentacja liczb w obliczeniach numerycznych
Uwarunkowanie zadania
Złe uwarunkowanie zadania
Przykład:
Rozwiązanie układu równań liniowych A x = B:
5
−331
6
−397
x
1
x
2
=
3.5
5.2
→
x
1
x
2
=
331.7
5.0
5
−331
6
−397
x
1
x
2
=
3.5
5.1
→
x
1
x
2
=
298.6
4.5
Wskaźnikiem uwarunkowania tego zadania jest wielkość:
cond(A) = ||A|| · ||A
−1
|| , gdzie: ||A||
∞
=
max
1 ≤ i ≤ m
P
n
j =1
|a
ij
|.
Zadanie jest dobrze uwarunkowane jeśli cond(A) jest małe.
Dla przykładu:
cond(A) = 403 · 728 = 293384 → zadanie źle uwarunkowane
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
bledy 3 id 90025 Nieznany (2)
Bledy w zywienie kotow, Nieznany
bledy id 75132 Nieznany (2)
Bledy w kompleksowym leczeniu z Nieznany (2)
bledy 3 id 90025 Nieznany (2)
5 Bledy termoelektr MEP id 4005 Nieznany
4 Bledy instalacyjne MEP id 375 Nieznany
bledy LG id 163444 Nieznany (2)
BLEDY LOGICZNE id 75111 Nieznany (2)
bledy i statystyka id 90029 Nieznany
bledy fotografii akwarystyc XG2 Nieznany
5 Bledy termoelektr MEP id 4005 Nieznany
bledy lekarskie
Gor±czka o nieznanej etiologii
2 8 Błedy pomiarów
02 VIC 10 Days Cumulative A D O Nieznany (2)
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
45 sekundowa prezentacja w 4 ro Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron