Matematyka

Lista 6

1. Oblicz pochodne cz¡stkowe funkcji:

(a)

∂(3x

2

y−2xy+y)

∂x

,

∂(3x

2

y−2xy+y)

∂y

(b)

∂(2x

3

y

2

+3x

2

y)(2xy+2y−3)

∂x

,

∂(2x

3

y

2

+3x

2

y)(2xy+2y−3)

∂y

(c)

∂

2x3y2+3x2y

2xy+2y−3

∂x

,

∂

2x3y2+3x2y

2xy+2y−3

∂y

(d)

∂ ln(3x

2

−2y)

∂x

,

∂ ln(3x

2

−2y)

∂y

(e)

∂(3x

2

+6xy)

5

∂x

,

∂(3x

2

+6xy)

5

∂y

(f)

∂(3ax

2

+6bxy)

∂a

,

∂(3ax

2

+6bxy)

∂x

;

∂(3ax

2

+6bxy)

∂b

2. Poda¢ równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) w punkcie

(x

0

, y

0

)

.

(a) f(x, y) = ln(x + 2y), (x

0

, y

0

) = (1, 1)

(b) f(x, y) = 2x

4

+ y

4

, (x

0

, y

0

) = (0, 0)

(c) f(x, y) = 2x

4

+ y

4

, (x

0

, y

0

) = (1, 1)

(d) f(x, y) = x

2

− y

2

, (x

0

, y

0

) = (0, 0)

(e) f(x, y) = e

(2x

2

+3x

2

+1)

, (x

0

, y

0

) = (0, 0)

3. Obliczy¢ drugie pochodne cz¡stkowe funkcji f(x, y)

(a) f(x, y) = 3x

2

− 6x

3

+ 2xy + 2x − y + 3

(b) f(x, y) = −3x

3

+ 2x

2

y + 3xy

2

+ y

3

(c) f(x, y) =

3x−2y+1

x−y

(d) f(x, y) = (3x

2

− 6y + 1)

−2

(e)

√

4xy

2

+ 2xy

(f) xy ln(x + y)

4. Znale¹¢ ekstrema lokalne funkcji f(x, y)

(a) f(x, y) = 2x

3

+ xy

2

+ 5x

2

+ y

2

;

f (x, y) = x

3

+ 8y

3

− 6xy + 5

(b) f(x, y) = x

2

+ xy + y

2

− 6x − 9y

;

f (x, y) = (x

2

+ y)e

y

(c) f(x, y) = e

x−y

(x − 3y)

;

f (x, y) = 6xy − x

3

− y

3

(d) f(x, y) = e

2x

(x + y

3

− 3y)

;

f (x, y) = e

(x−y)

(x

2

− 2y

2

)

(e) f(x, y) = ln y + 2 ln x + ln(16 − x − y)