Analiza 1, Informatyka, kurs powt´

orkowy, PPT, lista przygotowawcza

Stosuj¸

ac regu l¸

e de L’Hospitala, znale´

z´

c granice nast¸

epuj¸

acych funkcji

a)

lim

x→1

ln x

x − 1

,

b)

lim

x→0

(1 − cos x)

2

sin x

.

Uzasadni´

c dlaczego mo˙zna tu stosowa´

c regu l¸

e de L’Hospitala.

2.

Znale´

z´

c ekstrema lokalne oraz warto´

sci najwi¸

eksz¸

a i najmniejsz¸

a funkcji

f (x) =

1
3

x

3

−

1
2

x

2

okre´

slonej na odcinku [−2, 2].

3.

Znale´

z´

c ekstrema lokalne oraz warto´

sci najwi¸

eksz¸

a i najmniejsz¸

a funkcji

f (x) = x − sin x okre´

slonej na odcinku [−π, π].

4.

Zbada´

c przebieg funkcji (dziedzina, punkty zerowe, przedzia ly monoton-

iczno´

sci, ekstrema lokalne, wypuk lo´

s´

c, punkty przegi¸

ecia, asymptoty) funkcji

f (x) = 1 + 2x

2
3

(x + 1)

−1

.

5. Styczna do wykresu funkcji f (x) = ln x w punkcie (x

0

, f (x

0

)) przechodzi

przez punkt (0, 0). Znale´

z´

c x

0

i f (x

0

).

6. Zbada´

c zbie˙zno´

s´

c szeregu

∞

X

n=1

(−1)

n

sin(2009n

2

)

(1.7)

n

.

7. Obliczy´

c n-t¸

a sum¸

e szereg´

ow i zbada´

c ich zbie˙zno´

s´

c

a)

P

∞
n=1

ln(1 +

1

n

); b) 1 +

P

∞
n=2

ln(1 −

1

n

2

).

8. Zbada´

c zbie˙zno´

s´

c szereg´

ow

a)

P

∞
n=1

x
n

dla 0 ≤ x < 1; b)

P

∞
n=1

nx

n

dla 0 ≤ x < 1; c)

P

∞
n=1

1

√

n(n+1)

.