dr in˙z. Magdalena Topczewska

´

Cwiczenia nr 4

Charakterystyki i funkcje zmiennej losowej

Zakres teorii

• Charakterystyki liczbowe

– warto´

s´

c oczekiwana

– wariancja

– odchylenie standardowe

– mediana

– dominanta (moda)

– kwartyle

– wsp´

o lczynnik asymetrii i sp laszczenia

– momenty

• Funkcje zmiennej losowej dyskretnej i ci

,

ag lej

Wybrane charakterystyki zmiennych losowych

Warto´

s´

c oczekiwana (warto´

s´

c przeci

,

etna, warto´

s´

c ´

srednia)

Warto´

s´

c okre´

slaj

,

aca spodziewany wynik do´

swiadczenia losowego

• zmienna dyskretna:

E(X) =

n

P

i=1

x

i

p

i

• zmienna ci

,

ag la:

E(X) =

+∞

R

−∞

xf (x)dx

Wariancja
Miara rozproszenia danych wok´

o l warto´

sci przeci

,

etnej

• zmienna dyskretna:

V (X) =

n

P

i=1

(x

i

− E(X))

2

p

i

• zmienna ci

,

ag la:

V (X) =

+∞

R

−∞

(x − E(X))

2

f (x)dx

Prostszy wz´

or: V (X) = E(X

2

) − E

2

(X).

Odchylenie standardowe

D(X) =

pV (X).

Mediana
Warto´

s´

c ´

srodkowa zmiennej losowej

P (X 6 M e) > 0.5

i

P (X > M e) > 0.5

W przypadku zmiennej ci

,

ag lej: F (M e) = 0.5.

Kwartyl dolny (pierwszy)

P (X 6 Q

1

) > 0.25

i

P (X > Q

1

) > 0.75

W przypadku zmiennej ci

,

ag lej: F (Q

1

) = 0.25.

Kwartyl g´

orny (trzeci)

P (X 6 Q

3

) > 0.75

i

P (X > Q

3

) > 0.25

W przypadku zmiennej ci

,

ag lej: F (Q

3

) = 0.75.

Moda (dominanta)

Warto´

s´

c najcz

,

e´

sciej wyst

,

epuj

,

aca w zbiorze (r´

o ˙zna od warto´

sci minimalnej i maksymalnej).

• zmienna dyskretna: warto´

s´

c zmiennej losowej, dla kt´

orej prawdopodobie´

nstwo jest przyjmuje najwi

,

eksz

,

a warto´

s´

c,

• zmienna ci

,

ag la: warto´

s´

c zmiennej losowej, dla kt´

orej funkcja g

,

esto´

sci osi

,

aga maksimum globalne.

Funkcje zmiennych losowych

Funkcje zmiennych dyskretnych
Je ˙zeli X jest zmienn

,

a dyskretn

,

a o warto´

sciach x

1

, x

2

, . . . , x

n

, to Y = g(X) jest funkcj

,

a zmiennej losowej X o warto´

sciach y

j

= g(x

i

).

Funkcje zmiennych ci

,

ag lych

1

Je ˙zeli f

X

(x) jest funkcj

,

a zmiennej losowej X, oraz Y = g(X), gdzie g(x) jest funkcj

,

a monotoniczn

,

a i r´

o˙zniczkowaln

,

a (g

0

(x) 6= 0),

to

f

Y

(y) = f

X



g

−1

(y)








dg

−1

(y)

dy






jest funkcj

,

a g

,

esto´

sci zmiennej Y .

Je ˙zeli g(y) jest funkcj

,

a monotoniczn

,

a przedzia lami, w´

owczas rozpatrywane s

,

a kolejne przedzia ly i

f

Y

(y) =

X

i

f

Y (i)

(y)

Zadania

Zad 1.
Dana jest funkcja prawdopodobie´

nstwa

x

i

1

2

3

4

5

p

i

2

15

5

15

4

15

3

15

1

15

Obliczy´

c:

• warto´s´

c przeci

,

etn

,

a,

• wariancj

,

e,

• odchylenie standardowe,

• median

,

e i mod

,

e,

• kwartyl dolny i g´

orny.

Zad 2.
Obliczy´

c wariancj

,

e, odchylenie standardowe, kwartyl dolny i g´

orny, median

,

e i mod

,

e zmiennej losowej X o

g

,

esto´

sci

f (x) =



1
9

x

2

dla 0 6 x 6 3

0

w p.p.

Zad 3.
Znale´

z´

c warto´

s´

c oczekiwan

,

a zmiennej losowej X o g

,

esto´

sci

f (x) =

 1

π

·

1

1 + x

2

(rozk lad Cauchy’ego).

Zad 4.
Naszkicowa´

c wykres g

,

esto´

sci prawdopodobie´

nstwa zmiennej losowej

f (x) =



1

2x

2

dla |x| > 1

0

w p.p.

Wyznaczy´

c median

,

e, warto´

s´

c przeci

,

etn

,

a, wariancj

,

e zmiennej losowej X.

Zad 5.
Niezale˙zne zmienne losowe X i Y maj

,

a jednakowe funkcje prawdopodobie´

nstwa.

x

i

0

1

2

p

i

1
3

1
3

1
3

Niech U

1

= X + Y , U

2

= 2X, U

3

= XY , U

4

= X

2

. Wyznaczy´

c ich funkcje prawdopodobie´

nstwa.

Zad 6.
Zmienna losowa X posiada g

,

esto´

s´

c f (x) = 2 cos 2x w przedziale < 0,

π

4

> i zero poza przedzia lem. Obliczy´

c

median

,

e i mod

,

e.

Zad 7.
Zmienna losowa X posiada g

,

esto´

s´

c

f (x) =



−

3
4

x

2

+ 6x −

45

4

dla x ∈ h3; 5i

0

w p.p.

Wyznaczy´

c odchylenie standardowe, median

,

e, kwartyl dolny i g´

orny oraz mod

,

e.

Zad 8.
Znale´

z´

c g

,

esto´

s´

c prawdopodobie´

nstwa

2

1. zmiennej losowej Y wyra˙zaj

,

acej pole kwadratu,

2. zmiennej losowej Z wyra˙zaj

,

acej obj

,

eto´

s´

c sze´

scianu,

je´

sli kraw

,

ed´

z X jest zmienn

,

a losow

,

a o g

,

esto´

sci prawdopodobie´

nstwa

f (x) =







0

dla x < 0

1
a

dla 0 6 x 6 a

0

dla x > a

Nast

,

epnie obliczy´

c prawdopodobie´

nstwo P (a < Z < 2a).

3