Podstawy metrologii – w7

W prezentacji wykorzystano materiały udostępnione przez dr inż. Jacka Jakubowskiego.

Niniejsza prezentacja zawiera materiały dodatkowe do wykładu z przedmiotu
Podstawy metrologii.

Pomocniczy materiał dydaktyczny – wyłącznie do celów edukacyjnych.

Udostępnianie osobom trzecim zabronione.

Podstawy metrologii – w7/s1

Sporządzenie dokumentacji pomiarów

Wcześniej przygotowany formularz zawierający:
• tabelę nagłówkową z danymi osób przeprowadzających eksperymenty, datą, miejscem i tematem

wykonywanych pomiarów

• cel pomiarów
• niezbędne dane teoretyczne o pomiarach objętych protokołem (zwł. w pomiarach pośrednich)
• wykaz aparatury (najczęściej w formie tabeli)
• ponumerowane schematy układów pomiarowych
• tabele na wpisywanie wyników pomiarów zaopatrzone w numer i tytuł, np.:

1. protokół pomiarów – wypełniany w trakcie wykonywania pomiarów
2. sprawozdanie – opracowanie wyników pomiarów, oszacowanie niepewności, prezentacja wyników

Ogólne zasady prowadzenia protokołu pomiarów

4

3

2

1

mV

mV

Hz

-

U

2

U

1

f

Lp.

U

z

=

±15V

Tabela 2. Wyniki pomiaru pewnej charakterystyki

Podstawy metrologii – w7/s2

Notowanie wyników pomiarów
• kolejność czynności: odczyt – zapis – sprawdzenie zapisu z odczytem
• zasada zapisu wyników w serii: z dokładnością do tej samej liczby miejsc po przecinku (nawet, jeśli są to zera!)

taki zapis eliminuje
podejrzenie, że ktoś
zapomniał dopisać
końcowych cyfr

1234,12
1234,04
1235,17
1234,00
1234,22

1234,12
1234,04
1235,17
1234
1234,22

Dobry zapis serii

pomiarowej

Zły zapis serii

pomiarowej

Tabela 3. Przykład zapisu serii pomiarów

Ogólne zasady sporządzania sprawozdania

zawartość opcjonalna – tabela nagłówkowa, streszczenie, opis podstaw teoretycznych doświadczenia

zawartość obligatoryjna – opracowane wyniki pomiarów:

• najczęściej wyznaczenie pary liczb, tj.:

estymaty wielkości mierzonej

niepewności (błędów) tej estymaty

+ ew. przykładowe obliczenia

• sporządzenie wykresów

w wyniku zastosowanego
szacowania niepewności (błędów)

zasady podawania wyników – patrz. wcześniejsze omówienie!

Podstawy metrologii – w7/s3

Zasady tworzenia wykresów

• rysunki odręczne: papier milimetrowy
• wydruki komputerowe: papier gładki
• opis zależności funkcyjnej oraz warunki pomiaru
• opis osi (wielkości, jednostki, działki odpowiadające 1, 2, 5, 10, 20, 50, itd. jednostkom)
• legenda i zróżnicowany sposób oznaczeń wykresów złożonych

Y = f(X)

Wykres w skali liniowej
na obu osiach

Podstawy metrologii – w7/s4

Skala logarytmiczna

–

• stosowana przy dużym zakresie wartości liczbowej wielkości na osiach wykresu
• odcinki na osi odpowiadające dekadom mają jednakową długość
• dekada: przedział, którego górna granica jest 10 razy większa od dolnego

20

5

⋅10

4

15

17

2

⋅10

4

14

10,5

40

7

10

100

8

0

2

5

9

15

20

21

14

11

10

10

10

11

11,5

11

9

5

0

K [V/V]

2

⋅10

6

1,5

⋅10

6

9

⋅10

5

6

⋅10

5

4

⋅10

5

2

⋅10

5

1

⋅10

5

1

⋅10

4

5

⋅10

3

2

⋅10

3

1

⋅10

3

500

20

12

8

4

2

1

f [Hz]

22

21

20

19

18

17

16

13

12

11

10

9

6

5

4

3

2

1

Lp

0

5

10

15

20

25

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

1,0E+04

1,0E+05

1,0E+06

1,0E+07

K V/V

w

zmocnienie K [V/V]

częstotliwość f [Hz]

Charakterystyka częstotliwościowa układu w skali logarytmicznej

Podstawy metrologii – w7/s5

0

2

5

9

15

20

21

20

17

14

11

10

10

10

10

10,5

11

11,5

11

9

5

0

K [V/V]

14,1

5

⋅10

4

15

12,9

2

⋅10

4

14

4,8

40

7

6,0

100

8

18.9

18.5

17.9

17.3

16.8

15.9

15

12

11,1

9,9

9,0

8,1

3,9

3,2

2,7

1,8

0,9

0

f ’ [cm]

2

⋅10

6

1,5

⋅10

6

9

⋅10

5

6

⋅10

5

4

⋅10

5

2

⋅10

5

1

⋅10

5

1

⋅10

4

5

⋅10

3

2

⋅10

3

1

⋅10

3

500

20

12

8

4

2

1

f [Hz]

22

21

20

19

18

17

16

13

12

11

10

9

6

5

4

3

2

1

Lp

Spostrzeżenie: zakres częstotliwości od 1Hz do 20MHz, czyli niecałe 7 dekad

Przyjmujemy: na jedną dekadę 3cm. Stąd 7 dekad obejmie 7·3cm = 21 cm.

10

0

Hz

→ 0 cm

10

1

Hz

→ 3 cm

10

2

Hz

→ 6 cm

10

3

Hz

→ 9 cm itd.

Narysować wykres w skali logarytmicznej na podstawie danych z tabeli mając do dyspozycji dla osi odciętych 21cm

Granicom dekad będą odpowiadać wartości w centymetrach

Zależność przeskalowująca:

(

)

]

cm

[

3

]

Hz

[

log

]

[

10

⋅

=

f

cm

f

skala decybelowa

: odmiana skali logarytmicznej, do wyrażania

stosunku dwu wielkości wg zależności

+100
+80
+60
+40
+20

0

- 20
- 40
- 60
- 80

100 000

10 000

1 000

100

10

1

0.1

0.01

0.0001

0.00001

K [dB]

K [V/V]

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

=

=

0

10

0

log

20

]

dB

[

]

dB

[

U

U

U

U

K

Podstawy metrologii – w7/s6

0

5

10

15

20

25

0,0E+00

5,0E+05

1,0E+06

1,5E+06

2,0E+06

2,5E+06

K V/V

częstotliwość f [Hz]

w

zmocnienie K [V/V]

Charakterystyka częstotliwościowa układu w skali liniowej

Niepoprawnie przygotowany wykres charakterystyki w skali liniowej

Podstawy metrologii – w7/s7

• wykorzystanie powierzchni rysunku (czasami konieczne przesunięcie układu współrzędnych)

• zaznaczanie przedziałów niepewności

zasady tworzenia wykresów c.d.

Podstawy metrologii – w7/s8

zasady tworzenia wykresów

-

aproksymacja dyskretnych wyników pomiarów

• graficznie, metodą „naciągniętej nici”
• analitycznie, metodą najmniejszych kwadratów LS (Least Squares)

zarys metody LS: dla ustalonego x

i

w pomiarze powinno być

y’

i

= a

0

+a

1

⋅x

i

na skutek błędów jest y

i

, czyli błąd:

ε

i

= y

i

– y’

i

= y

i

– (a

0

+a

1

⋅x

i

)

idea: zsumować kwadraty wszystkich błędów i znaleźć minimum tej sumy

minimum sumy zachodzi gdy:

(

)(

)

(

)(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

−

=

Δ

Δ

−

=

Δ

−

=

2

2

2

0

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x

x

N

y

x

x

y

x

a

y

x

y

x

N

a

[

]

∑

∑

=

=

+

−

=

=

N

i

i

i

N

i

i

x

a

a

y

err

1

2

1

0

1

2

)

(

ε

Dla przypadku aproksymacji liniowej: Y = a

0

+a

1

⋅X

poszukujemy: a

0

oraz a

1

, mając dane N par wyników: (x

i

, y

i

)

Metoda LS opiera się na twierdzeniu, że jeśli suma kwadratów różnic między rzędnymi punktów wyznaczonych
z pomiarów (wartości y

i

) i rzędnymi odpowiadających im punktów leżących na wykreślonej krzywej (wartości y

wi

)

osiąga minimum, to taka krzywa jest najlepiej dopasowana do uzyskanych wyników pomiarowych.

∑

=

=

−

N

i

wi

i

y

y

1

2

min

)

(

Podstawy metrologii – w7/s9

Przykład. Dla zadanych wyników pomiarów wyznaczyć metodą LS i narysować krzywą aproksymującą
te wyniki wielomianem 1-go stopnia (linią prostą).

1

5

5

3

6

1

y

i

x

i

26

35

12

9

Σ

1.5

5

25

1

5

3

4

15

9

5

3

2

6.5

6

1

6

1

1

a

0

+a

1

⋅x

i

x

i

⋅

y

i

y

i

x

i

i

2

i

x

25

,

1

24

12

9

26

3

75

,

7

24

26

9

12

35

24

9

35

3

1

0

2

−

=

⋅

−

⋅

=

=

⋅

−

⋅

=

=

−

⋅

=

Δ

a

a

⇒

y = – 1,25

⋅x + 7,75

Wyniki pomiarów

Struktura tabeli pomocniczej

Aproksymowany wykres na podstawie pomiarów