Podstawy metrologii – w7
W prezentacji wykorzystano materiały udostępnione przez dr inż. Jacka Jakubowskiego.
Niniejsza prezentacja zawiera materiały dodatkowe do wykładu z przedmiotu
Podstawy metrologii.
Pomocniczy materiał dydaktyczny – wyłącznie do celów edukacyjnych.
Udostępnianie osobom trzecim zabronione.
Podstawy metrologii – w7/s1
Sporządzenie dokumentacji pomiarów
Wcześniej przygotowany formularz zawierający:
• tabelę nagłówkową z danymi osób przeprowadzających eksperymenty, datą, miejscem i tematem
wykonywanych pomiarów
• cel pomiarów
• niezbędne dane teoretyczne o pomiarach objętych protokołem (zwł. w pomiarach pośrednich)
• wykaz aparatury (najczęściej w formie tabeli)
• ponumerowane schematy układów pomiarowych
• tabele na wpisywanie wyników pomiarów zaopatrzone w numer i tytuł, np.:
1. protokół pomiarów – wypełniany w trakcie wykonywania pomiarów
2. sprawozdanie – opracowanie wyników pomiarów, oszacowanie niepewności, prezentacja wyników
Ogólne zasady prowadzenia protokołu pomiarów
4
3
2
1
mV
mV
Hz
-
U
2
U
1
f
Lp.
U
z
=
±15V
Tabela 2. Wyniki pomiaru pewnej charakterystyki
Podstawy metrologii – w7/s2
Notowanie wyników pomiarów
• kolejność czynności: odczyt – zapis – sprawdzenie zapisu z odczytem
• zasada zapisu wyników w serii: z dokładnością do tej samej liczby miejsc po przecinku (nawet, jeśli są to zera!)
taki zapis eliminuje
podejrzenie, że ktoś
zapomniał dopisać
końcowych cyfr
1234,12
1234,04
1235,17
1234,00
1234,22
1234,12
1234,04
1235,17
1234
1234,22
Dobry zapis serii
pomiarowej
Zły zapis serii
pomiarowej
Tabela 3. Przykład zapisu serii pomiarów
Ogólne zasady sporządzania sprawozdania
zawartość opcjonalna – tabela nagłówkowa, streszczenie, opis podstaw teoretycznych doświadczenia
zawartość obligatoryjna – opracowane wyniki pomiarów:
• najczęściej wyznaczenie pary liczb, tj.:
estymaty wielkości mierzonej
niepewności (błędów) tej estymaty
+ ew. przykładowe obliczenia
• sporządzenie wykresów
w wyniku zastosowanego
szacowania niepewności (błędów)
zasady podawania wyników – patrz. wcześniejsze omówienie!
Podstawy metrologii – w7/s3
Zasady tworzenia wykresów
• rysunki odręczne: papier milimetrowy
• wydruki komputerowe: papier gładki
• opis zależności funkcyjnej oraz warunki pomiaru
• opis osi (wielkości, jednostki, działki odpowiadające 1, 2, 5, 10, 20, 50, itd. jednostkom)
• legenda i zróżnicowany sposób oznaczeń wykresów złożonych
Y = f(X)
Wykres w skali liniowej
na obu osiach
Podstawy metrologii – w7/s4
Skala logarytmiczna
–
• stosowana przy dużym zakresie wartości liczbowej wielkości na osiach wykresu
• odcinki na osi odpowiadające dekadom mają jednakową długość
• dekada: przedział, którego górna granica jest 10 razy większa od dolnego
20
5
⋅10
4
15
17
2
⋅10
4
14
10,5
40
7
10
100
8
0
2
5
9
15
20
21
14
11
10
10
10
11
11,5
11
9
5
0
K [V/V]
2
⋅10
6
1,5
⋅10
6
9
⋅10
5
6
⋅10
5
4
⋅10
5
2
⋅10
5
1
⋅10
5
1
⋅10
4
5
⋅10
3
2
⋅10
3
1
⋅10
3
500
20
12
8
4
2
1
f [Hz]
22
21
20
19
18
17
16
13
12
11
10
9
6
5
4
3
2
1
Lp
0
5
10
15
20
25
1,0E+00
1,0E+01
1,0E+02
1,0E+03
1,0E+04
1,0E+05
1,0E+06
1,0E+07
K V/V
w
zmocnienie K [V/V]
częstotliwość f [Hz]
Charakterystyka częstotliwościowa układu w skali logarytmicznej
Podstawy metrologii – w7/s5
0
2
5
9
15
20
21
20
17
14
11
10
10
10
10
10,5
11
11,5
11
9
5
0
K [V/V]
14,1
5
⋅10
4
15
12,9
2
⋅10
4
14
4,8
40
7
6,0
100
8
18.9
18.5
17.9
17.3
16.8
15.9
15
12
11,1
9,9
9,0
8,1
3,9
3,2
2,7
1,8
0,9
0
f ’ [cm]
2
⋅10
6
1,5
⋅10
6
9
⋅10
5
6
⋅10
5
4
⋅10
5
2
⋅10
5
1
⋅10
5
1
⋅10
4
5
⋅10
3
2
⋅10
3
1
⋅10
3
500
20
12
8
4
2
1
f [Hz]
22
21
20
19
18
17
16
13
12
11
10
9
6
5
4
3
2
1
Lp
Spostrzeżenie: zakres częstotliwości od 1Hz do 20MHz, czyli niecałe 7 dekad
Przyjmujemy: na jedną dekadę 3cm. Stąd 7 dekad obejmie 7·3cm = 21 cm.
10
0
Hz
→ 0 cm
10
1
Hz
→ 3 cm
10
2
Hz
→ 6 cm
10
3
Hz
→ 9 cm itd.
Narysować wykres w skali logarytmicznej na podstawie danych z tabeli mając do dyspozycji dla osi odciętych 21cm
Granicom dekad będą odpowiadać wartości w centymetrach
Zależność przeskalowująca:
(
)
]
cm
[
3
]
Hz
[
log
]
[
10
⋅
=
f
cm
f
skala decybelowa
: odmiana skali logarytmicznej, do wyrażania
stosunku dwu wielkości wg zależności
+100
+80
+60
+40
+20
0
- 20
- 40
- 60
- 80
100 000
10 000
1 000
100
10
1
0.1
0.01
0.0001
0.00001
K [dB]
K [V/V]
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
=
=
0
10
0
log
20
]
dB
[
]
dB
[
U
U
U
U
K
Podstawy metrologii – w7/s6
0
5
10
15
20
25
0,0E+00
5,0E+05
1,0E+06
1,5E+06
2,0E+06
2,5E+06
K V/V
częstotliwość f [Hz]
w
zmocnienie K [V/V]
Charakterystyka częstotliwościowa układu w skali liniowej
Niepoprawnie przygotowany wykres charakterystyki w skali liniowej
Podstawy metrologii – w7/s7
• wykorzystanie powierzchni rysunku (czasami konieczne przesunięcie układu współrzędnych)
• zaznaczanie przedziałów niepewności
zasady tworzenia wykresów c.d.
Podstawy metrologii – w7/s8
zasady tworzenia wykresów
-
aproksymacja dyskretnych wyników pomiarów
• graficznie, metodą „naciągniętej nici”
• analitycznie, metodą najmniejszych kwadratów LS (Least Squares)
zarys metody LS: dla ustalonego x
i
w pomiarze powinno być
y’
i
= a
0
+a
1
⋅x
i
na skutek błędów jest y
i
, czyli błąd:
ε
i
= y
i
– y’
i
= y
i
– (a
0
+a
1
⋅x
i
)
idea: zsumować kwadraty wszystkich błędów i znaleźć minimum tej sumy
minimum sumy zachodzi gdy:
(
)(
)
(
)(
)
(
)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
−
=
Δ
Δ
−
=
Δ
−
=
2
2
2
0
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
N
y
x
x
y
x
a
y
x
y
x
N
a
[
]
∑
∑
=
=
+
−
=
=
N
i
i
i
N
i
i
x
a
a
y
err
1
2
1
0
1
2
)
(
ε
Dla przypadku aproksymacji liniowej: Y = a
0
+a
1
⋅X
poszukujemy: a
0
oraz a
1
, mając dane N par wyników: (x
i
, y
i
)
Metoda LS opiera się na twierdzeniu, że jeśli suma kwadratów różnic między rzędnymi punktów wyznaczonych
z pomiarów (wartości y
i
) i rzędnymi odpowiadających im punktów leżących na wykreślonej krzywej (wartości y
wi
)
osiąga minimum, to taka krzywa jest najlepiej dopasowana do uzyskanych wyników pomiarowych.
∑
=
=
−
N
i
wi
i
y
y
1
2
min
)
(
Podstawy metrologii – w7/s9
Przykład. Dla zadanych wyników pomiarów wyznaczyć metodą LS i narysować krzywą aproksymującą
te wyniki wielomianem 1-go stopnia (linią prostą).
1
5
5
3
6
1
y
i
x
i
26
35
12
9
Σ
1.5
5
25
1
5
3
4
15
9
5
3
2
6.5
6
1
6
1
1
a
0
+a
1
⋅x
i
x
i
⋅
y
i
y
i
x
i
i
2
i
x
25
,
1
24
12
9
26
3
75
,
7
24
26
9
12
35
24
9
35
3
1
0
2
−
=
⋅
−
⋅
=
=
⋅
−
⋅
=
=
−
⋅
=
Δ
a
a
⇒
y = – 1,25
⋅x + 7,75
Wyniki pomiarów
Struktura tabeli pomocniczej
Aproksymowany wykres na podstawie pomiarów