Makroekonomia Gospodarki Otwartej

Wykład 6

Model Dornbuscha przestrzelenia kursu

walutowego

Leszek Wincenciak

Wydział Nauk Ekonomicznych UW, 2012

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

2/26

Plan wykładu:

Założenia modelu

Formalne przedstawienie modelu

Równowaga na rynku aktywów
Równowaga na rynku dóbr
Równowaga w modelu
Ilustracja graficzna równowagi

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Założenia modelu

3/26

Założenia modelu

◮

Mała gospodarka otwarta – zagraniczne ceny i stopy
procentowe dane

◮

Kurs walutowy jest płynny – traktujemy go jako zmienną
swobodnie dostosowującą się do „wydarzeń” (jump variable)

◮

Ceny dostosowują się powoli do swoich długookresowych
wartości równowagi (krótkookresowa sztywność vs.
długookresowa elastyczność)

◮

Poziom produkcji na poziomie pełnego wykorzystania
czynników produkcji

◮

Doskonała mobilność kapitału, pełna substytucyjność
aktywów krajowych i zagranicznych

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

4/26

Równowaga na rynku aktywów

Równowaga na rynku aktywów

Doskonała mobilność kapitału w połączeniu z doskonałą
substytucyjnością aktywów sprawiają, że krajowa stopa procentowa
i zagraniczna stopa procentowa połączone są relacją
niezabezpieczonego parytetu stóp procentowych:

i = i

f

+ x,

(1)

gdzie x oznacza oczekiwaną stopę aprecjacji waluty zagranicznej.
Zakładając racjonalne oczekiwania, co implikuje doskonałe
przewidywania, mamy równość oczekiwanej i faktycznej stopy
aprecjacji waluty zagranicznej. Oznaczamy:

e(t) = ln E(t) ⇒ ˙e(t) =

d ln E(t)

dt

=

˙

E(t)
E(t)

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

5/26

Równowaga na rynku aktywów

Równowaga na rynku aktywów

i = i

f

+ ˙e.

(2)

Równowaga na rynku pieniężnym:

M

P

= e

−λi

Y

φ

,

(3)

gdzie M – podaż pieniądza, P – poziom cen, λ – półelastyczność
popytu na pieniądz względem stopy procentowej, φ – elastyczność
popytu na pieniądz względem dochodu. Logarytmując powyższe
równanie (małe litery oznaczają logarytmy) otrzymujemy:

m − p = −λi + φy.

(4)

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

6/26

Równowaga na rynku aktywów

Równowaga na rynku aktywów

Łącząc równanie (4) z równaniem (2) otrzymujemy równanie
opisujące równowagę na rynku aktywów:

m − p = −λi

f

−

λ ˙e + φy,

(5)

gdzie dochód został zastąpiony dochodem przy pełnym
zatrudnieniu y.
W równowadze długookresowej ( ˙e = 0), mamy:

m − p = −λi

f

+ φy.

(6)

p = m + λi

f

−

φy.

(6’)

Równanie (6’) opisuje długookresowy poziom cen.

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

7/26

Równowaga na rynku aktywów

Równowaga na rynku aktywów

Odejmując stronami równania (5) oraz (6) otrzymujemy:

p − p = λ ˙e,

(7)

lub:

˙e =

1

λ

(p − p).

(8)

Powyższe równanie jest jednym z kluczowych równań modelu,
opisuje zmiany bieżącego kursu walutowego, które są wynikiem
odchyleń bieżącego poziomu cen od poziomu długookresowej
równowagi.

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

8/26

Równowaga na rynku dóbr

Równowaga na rynku dóbr

Ponieważ produkcja przy poziomie pełnego zatrudnienia jest dana,
to nadwyżkowy popyt na dobra będzie wywierał presję inflacyjną.
Zakładamy, że zagregowany popyt na rynku dóbr jest funkcją
względnej ceny dóbr zagranicznych do krajowych (EP

f

/P , czyli

w logarytmach e + p

f

−

p), stopy procentowej oraz realnego

dochodu.

ln D = d = u + δ(e − p) + γy − σi,

(9)

gdzie zakładamy dla uproszczenia, że ceny zagraniczne
znormalizowano do jedności.

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

9/26

Równowaga na rynku dóbr

Równowaga na rynku dóbr

Nadwyżka zagregowanego popytu nad produkcją powoduje wzrost
cen, zgodnie z równaniem:

˙p = π(d − y),

(10)

skąd po podstawieniu równania (9) otrzymujemy:

˙p = π[u + δ(e − p) + (γ − 1)y − σi].

(11)

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

10/26

Równowaga na rynku dóbr

Równowaga na rynku dóbr

W równowadze długookresowej mamy ˙p = 0 oraz p = p.
Wstawiając te informacje do równania (11) otrzymujemy równanie
kursu walutowego w długookresowej równowadze:

e = p +

1
δ

[σi

f

+ (1 − γ)y − u],

(12)

gdzie p dane jest przez równanie (6’) a i = i

f

ponieważ

w równowadze długookresowej nie zmienia się także kurs walutowy.

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

11/26

Równowaga na rynku dóbr

Dochodzenie do równowagi

Wyznaczając z równania (4) stopę procentową i wstawiając do
równania (11) otrzymujemy:

˙p = π[u + δ(e − p) +

σ
λ

(m − p) − ρy],

(13)

gdzie ρ =

φσ

λ

+ 1 − γ.

W równowadze długookresowej mamy:

˙p = π[u + δ(e − p) +

σ
λ

(m − p) − ρy] = 0.

(14)

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

12/26

Równowaga na rynku dóbr

Dochodzenie do równowagi

Odejmujemy prawą stronę równania (14) od prawej strony
równania (13). Ponieważ ˙p =

d

(p−p)

dt

dla ustalonego p, możemy

wyrazić stopę zmiany cen jako funkcję odchyleń aktualnego ich
poziomu od poziomu długookresowej równowagi oraz odchyleń
bieżącego kursu walutowego od kursu długookresowej równowagi:

˙p = −π



δ +

σ
λ



(p − p) + πδ(e − e).

(15)

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

13/26

Równowaga w modelu

Równowaga

Mamy zatem do rozwiązania następujący układ równań
różniczkowych, opisujących stan równowagi w modelu Dornbuscha:

(

˙e =

1

λ

(p − p)

˙p = −π δ +

σ
λ

(p − p) + πδ(e − e)

Stan równowagi stacjonarnej:

(

˙e = 0

˙p = 0

Stan równowagi wyznaczony jest przez przecięcie się dwóch izoklin
fazowych: ˙p = 0 oraz ˙e = 0.

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

14/26

Równowaga w modelu

Analiza izoklin fazowych

Badamy izoklinę dla ˙e = 0.

˙e = 0 ⇔

1

λ

(p − p) = 0 ⇔ p = p

Zachowanie się kursu walutowego w otoczeniu izokliny:

d ˙e
dp

=

1

λ

> 0,

co oznacza, że w układzie (e, p) powyżej izokliny kurs walutowy
rośnie, zaś poniżej – maleje.

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

15/26

Równowaga w modelu

Analiza izoklin fazowych

p

e

˙e = 0

p

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

16/26

Równowaga w modelu

Analiza izoklin fazowych

Badamy izoklinę dla ˙p = 0.

˙p = 0 ⇔ −π



δ +

σ
λ



(p − p) + πδ(e − e) = 0 ⇔

p =

δ

δ +

σ
λ

e −

δ

δ +

σ
λ

e + p

Zachowanie się poziomu cen w otoczeniu izokliny:

d ˙p
dp

= −π



δ +

σ
λ



< 0,

co oznacza, że nad izokliną ceny maleją, zaś pod izokliną – rosną.

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

17/26

Równowaga w modelu

Analiza izoklin fazowych

p

e

˙p = 0

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

18/26

Ilustracja graficzna równowagi

Ilustracja graficzna – ścieżka siodłowa (saddle path)

p

e

˙p = 0

˙e = 0

p

e

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

18/26

Ilustracja graficzna równowagi

Ilustracja graficzna – ścieżka siodłowa (saddle path)

p

e

˙p = 0

˙e = 0

p

e

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

18/26

Ilustracja graficzna równowagi

Ilustracja graficzna – ścieżka siodłowa (saddle path)

p

e

˙p = 0

˙e = 0

p

e

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

18/26

Ilustracja graficzna równowagi

Ilustracja graficzna – ścieżka siodłowa (saddle path)

p

e

˙p = 0

˙e = 0

p

e

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

18/26

Ilustracja graficzna równowagi

Ilustracja graficzna – ścieżka siodłowa (saddle path)

p

e

˙p = 0

˙e = 0

p

e

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

18/26

Ilustracja graficzna równowagi

Ilustracja graficzna – ścieżka siodłowa (saddle path)

p

e

˙p = 0

˙e = 0

p

e

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Formalne przedstawienie modelu

19/26

Ilustracja graficzna równowagi

Kalibracja modelu

i

f

= 0.05

λ = 0.5

φ = 0.8

M = 135

Y = 135

u = 4.5

δ = 0.5

γ := 0.7

σ = 0.5

π = 0.95

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

20/26

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

Załóżmy, że w pewnym momencie czasu rośnie podaż pieniądza
i zostaje utrzymana na tym nowym, wyższym poziomie.
W warunkach modelu Dornbuscha oznacza to, że:

◮

przy sztywnych cenach w krótkim okresie prowadzi to do
wzrostu realnej podaży pieniądza i w efekcie do spadku stopy
procentowej

◮

w długim okresie wzrost podaży pieniądza przekłada się na
wzrost cen (przez wzrost zagregowanego popytu)

◮

pojawiają się oczekiwania wzrostu kursu walutowego w długim
okresie

◮

ten podwójny efekt (spadek stóp procentowych i wzrost kursu
oczekiwanego) sprawia, że waluta krajowa ulega większej
bieżącej deprecjacji niż wynika to z długookresowych
czynników

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

21/26

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

Nowy długookresowy poziom cen możemy wyznaczyć korzystając
z równania (6’):

p

′

= m

′

+ λi

f

−

φy.

Możemy zauważyć, że:

p

′

−

p = m

′

−

m,

co oznacza, że zmiana poziomu cen jest proporcjonalna do
przyrostu podaży pieniądza (pieniądz jest neutralny w długim
okresie).

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

22/26

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

Jeśli długookresowy poziom cen ulega zmianie, to w równaniach
opisujących model ujawnia się to w postaci wzrostu p. Powoduje to
zatem, że obie izokliny fazowe, ˙e = 0 oraz ˙p = 0, przesuwają się na
wykresie do góry.

(

˙e =

1

λ

(p − p)

˙p = −π δ +

σ
λ

(p − p) + πδ(e − e)

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

23/26

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

Jeśli odpowiednio dobierzemy wartości parametrów modelu, to bez
utraty ogólności możemy założyć, że rozwiązanie leży na
przekątnej układu, czyli w równowadze p = e. Oznacza to, że
ekspansja monetarna spowoduje wzrost długookresowego poziomu
cen i kursu walutowego w tej samej proporcji. Uczestnicy rynku,
mający racjonalne oczekiwania wiedzą o tym. Oczekują zatem, że
gospodarka ze stanu równowagi w punkcie A przejdzie do stanu
równowagi w punkcie C. Jednak z powodu wolno dostosowujących
się cen, gospodarka nie może natychmiast przejść do punktu C.
Osiągnięcie stanu nowej równowagi możliwe jest jedynie wtedy, gdy
kurs walutowy w chwili bieżącej wzrośnie bardziej, niż wynika to
z nowego długookresowego poziomu równowagi.

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

24/26

Ilustracja graficzna – ekspansja monetarna

p

e

p

e

b

A

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

24/26

Ilustracja graficzna – ekspansja monetarna

p

e

p

e

b

A

˙p

′

= 0

˙e

′

= 0

p

′

e

′

˜

e

b

b

C

B

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

25/26

Exchange rate overshooting

t

0

t

m

m

′

m

t

0

t

p

p

′

p

t

0

t

i

′

i

i

t

0

t

e

e

′

˜

e

e

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

26/26

Analiza graficzna z wykorzystaniem IRP

i

E

E

1

i

1

L

(Y, i)

M

P

b

b

b

b

RET

F

(E

e

1

, i

∗

)

RET

D

(i

1

)

M

1

P

1

b

b

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

26/26

Analiza graficzna z wykorzystaniem IRP

i

E

E

1

i

1

L

(Y, i)

M

P

b

b

b

b

RET

F

(E

e

2

, i

∗

)

E

2

i

2

M

1

P

1

M

2

P

1

b

b

b

b

b

b

b

b

RET

D

(i

2

)

Wykład 6 – Model Dornbuscha (Exchange rate overshooting)

Skutki trwałej ekspansji monetarnej

26/26

Analiza graficzna z wykorzystaniem IRP

i

E

E

1

i

1

L

(Y, i)

M

P

b

b

b

b

RET

F

(E

e

2

, i

∗

)

M

2

P

2

=

M

1

P

1

E

3

E

2

i

2

M

2

P

1

RET

D

(i

1

)

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b