Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC

przy wymuszeniu stałym

Ł a d o w a n i e k o n d e n s a t o r a

C

U

u

C

R

i

u

R

W

1

W

2

U

Ri

u

i

U

u

R

C

C

=

+

⇒

=

−

t

u

C

i

u

C

q

t

i

q

C

d

d

d

d

d

d

C

=

⇓

=

∧

=

RC

u

t

u

U

C

C

d

d

+

=

Dla U

= 0 — równanie różniczkowe liniowe jednorodne

T

u

t

u

u

u

t

T

C

C

C

C

d

d

d

d

+

=

⇒

= −

0

gdzie T

= RC — stała czasowa obwodu

A

T

t

A

t

T

u

t

C

ln

d

1

ln

0

+

−

=

+

−

=

∫

u

Be

C

t

T

=

−

Niech B

= B(t), zatem

d

d

u

t

B e

B

T

e

C

t

T

t

T

=

−

−

−

&

D

Ue

D

t

T

e

U

B

U

e

T

B

T

t

t

T

t

T

t

+

=

+

=

⇓

=

∫

−

0

d

&

T

t

T

t

T

t

C

De

U

e

D

Ue

u

−

−

+

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

=

Warunek początkowy: t

= 0 ⇒ u

C

(0)

= 0

0

= +

⇔

= −

U

D

D

U

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

=

−

=

−

−

T

t

T

t

C

e

U

Ue

U

u

1

t

u

U

C

→ ∞ ⇒

→

T

t

T

t

T

t

C

e

R

U

Ue

T

C

e

t

CU

t

u

C

i

−

−

−

=

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

=

=

1

d

d

d

d

u, i

t

t

=

0

T

u

C

u

R

i

U

U/R

R o z ł a d o w a n i e k o n d e n s a t o r a

C

U

C

u

R

2

W

1

W

R

u

i

u

Ri

u

Ri

RC

u

t

C

C

C

+

=

⇒

= −

= −

0

d

d

d

d

u

u

t

T

u

t

T

A

C

C

C

= −

⇒

= − +

ln

u

Be

C

t

T

=

−

Warunek początkowy: t

= 0 ⇒ u

C

(0)

= U

B

U

=

u

Ue

C

t

T

=

−

i

u

R

U

R

e

C

t

T

= −

= −

−

u, i

t

t

=

0

T

u

C

u

R

i

U

−

U/R

−

U

Energia wydzielona na rezystorze

( )

2

2

0

2

0

2

0

2

1

2

1

d

d

C

T

t

Cu

CU

t

e

R

U

R

t

Ri

W

=

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

=

=

∫

∫

∞

−

∞