Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC
przy wymuszeniu stałym Ł a d o w a n i e k o n d e n s a t o r a W1
R
i
u R
U
W2
u C
C
U − u
U
Ri
u
i
C
=
+
⇒
=
C
R
q
d = i t
d ∧ q
d = C u
d C
⇓
u
d
i = C
C
t
d
d u
RC
C + u = U
d
t
C
Dla U = 0 — równanie różniczkowe liniowe jednorodne d u
d u
C
C
d t
T
+ u = 0 ⇒
= −
t
C
d
u
T
C
gdzie T = RC — stała czasowa obwodu
1
t
ln u = −
d t + A = − + ln A C
∫
T
T
0
t
u =
−
Be T
C
Niech B = B( t), zatem d u
t
t
C
−
B
=
−
& T −
T
d
B e
e
t
T
t
−
& T
B e T = U
⇓
t
t
et T
B = U
d t + D = UeT + D
∫ T
0
t
t
t
⎛
⎞ −
−
⎜
⎟
T
T
T
=
+
= +
C
u
Ue
D e
U
De
⎜
⎟
⎝
⎠
Warunek początkowy: t = 0 ⇒ u (0) = 0
C
0 = U + D ⇔ D = − U
− t
⎛
− t ⎞
T
⎜
T ⎟
u = U − Ue
=
1
C
U ⎜ − e ⎟
⎝
⎠
t → ∞ ⇒ u → U
C
t
t
⎛
− ⎞
−
−
d
d
C
u
⎜
⎟ C
U
T
T
T
i = C
= CU
1− e
= Ue
=
e
t
d
t ⎜
⎟
d
T
R
⎝
⎠
u, i
T
uC
U
U/R
uR
i
t = 0
t
R o z ł a d o w a n i e k o n d e n s a t o r a W 1
R
i
uR
U
W
u
2
C
C
u
d
u
Ri
0
u
Ri
RC
C
+
=
⇒
= −
= −
C
C
t
d
d uC
d t
t
= −
⇒ ln u = − + A u
T
C
T
C
t
u =
−
Be T
C
Warunek początkowy: t = 0 ⇒ u (0) =
C
U
B = U
t
u =
−
Ue T
C
u
t
C
U
i = −
= −
−
e T
R
R
u, i
T
U
uC
t = 0
t
i
uR
− U/R
− U
Energia wydzielona na rezystorze 2
∞
∞
t
⎛
− ⎞
2
⎜ U
⎟
1
2
1
W =
Ri d
T
t =
R −
e
d t = CU =
∫
∫
C
Cu (0)2
⎜ R
⎟
2
2
0
0
⎝
⎠