Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC

przy wymuszeniu stałym Ł a d o w a n i e k o n d e n s a t o r a W1

R

i

u R

U

W2

u C

C

U − u

U

Ri

u

i

C

=

+

⇒

=

C

R

q

d = i t

d ∧ q

d = C u

d C

⇓

u

d

i = C

C

t

d

d u

RC

C + u = U

d

t

C

Dla U = 0 — równanie różniczkowe liniowe jednorodne d u

d u

C

C

d t

T

+ u = 0 ⇒

= −

t

C

d

u

T

C

gdzie T = RC — stała czasowa obwodu

t

1

t

ln u = −

d t + A = − + ln A C

∫

T

T

0

t

u =

−

Be T

C

Niech B = B( t), zatem d u

t

t

C

−

B

=

−

& T −

T

d

B e

e

t

T

t

−

& T

B e T = U

⇓

t

t

et T

B = U

d t + D = UeT + D

∫ T

0

t

t

t

⎛

⎞ −

−

⎜

⎟

T

T

T

=

+

= +

C

u

Ue

D e

U

De

⎜

⎟

⎝

⎠

Warunek początkowy: t = 0 ⇒ u (0) = 0

C

0 = U + D ⇔ D = − U

− t

⎛

− t ⎞

T

⎜

T ⎟

u = U − Ue

=

1

C

U ⎜ − e ⎟

⎝

⎠

t → ∞ ⇒ u → U

C

t

t

t

⎛

− ⎞

−

−

d

d

C

u

⎜

⎟ C

U

T

T

T

i = C

= CU

1− e

= Ue

=

e

t

d

t ⎜

⎟

d

T

R

⎝

⎠

u, i

T

uC

U

U/R

uR

i

t = 0

t

R o z ł a d o w a n i e k o n d e n s a t o r a W 1

R

i

uR

U

W

u

2

C

C

u

d

u

Ri

0

u

Ri

RC

C

+

=

⇒

= −

= −

C

C

t

d

d uC

d t

t

= −

⇒ ln u = − + A u

T

C

T

C

t

u =

−

Be T

C

Warunek początkowy: t = 0 ⇒ u (0) =

C

U

B = U

t

u =

−

Ue T

C

u

t

C

U

i = −

= −

−

e T

R

R

u, i

T

U

uC

t = 0

t

i

uR

− U/R

− U

Energia wydzielona na rezystorze 2

∞

∞

t

⎛

− ⎞

2

⎜ U

⎟

1

2

1

W =

Ri d

T

t =

R −

e

d t = CU =

∫

∫

C

Cu (0)2

⎜ R

⎟

2

2

0

0

⎝

⎠