Teoria Maszyn i Mechanizmów

Precyzyjnych

Analiza Mechanizmu Suwakowego

Mechanizm 3 A

Bartłomiej Furmański

IMiR, Mechatronika gr.23

rok akademicki 2010/2011

2

1. Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu

Dane do zadania zapisane w formie zapisu strukturalnego oraz parametrów

Zakres danych

Parametry mechanizmu

Struktura mechanizmu

Parametry kinematyczne członu

napędzającego

(φ

1

,ω

1

,0)

Masy i momenty statyczne członów (m

i

, J

si

)

(0,0); (m

2

,J

S2

); (0,0)

Obciążenie uogólnionymi siłami

zewnętrznymi (P

i

, M

i

)

(0,0); (0,M

2

); (P

3

,0)

Uogólniona siła równoważąca do

wyznaczenia

M

R1

1.1. Schemat ideowy mechanizmu

1. 2. Ruchliwość mechanizmu

w= 3n – 2p

5

– p

4

Mechanizm posiada 3 człony oraz 4 pary kinematyczne klasy 5 : (0,1); (1,2); (2,3); (3,0).
w= 3*3 – 2*4 = 9 – 8 = 1

1.3. Klasa mechanizmu

Po odłączeniu członu napędzającego 1 pozostałe człony 2 i 3 tworzą grupę strukturalną.

3

Człon napędzający:

Grupa strukturalna:

Badamy ruchliwość grupy strukturalnej
w

gr

= 3*2 – 2*3 = 0

Grupa strukturalna (2,3) jest grupą klasy 2 postaci 2.
Analizowany mechanizm składa się z członu napędzającego 1 i grupy strukturalnej klasy 2,
jest to zatem mechanizm klasy 2.

1.4. Model w programie SAM

Do obliczeń przyjęto następujące dane:
φ

1

= 70 ̊

ω

1

= 10

l

AB

= l

1

= 80 mm

l

BC

= l

2

= 135,4 mm

l

BS2

= l

31

= 67,7 mm

l

S2C

= l

32

= 67,7 mm

l

CD

= l

4

= 40 mm

4

2. Analiza kinematyczna mechanizmu

2.1. Metoda grafoanalityczna

W celu rozwiązania zadania metodą grafoanalityczną, mechanizm rysujemy w podziałce k

1

w

zadanym położeniu. Grafy zostały wykonane w programie AutoCAD więc podziałka wynosi
k

1

= 1, wykorzystanie tego programu pozwoli na otrzymanie dokładnych wyników.

2.1.1. Analiza prędkości

Analiza prędkości przeprowadzana jest na podstawie równania :

)

(

)

(

)

(

CB

B

C

V

V

V

+

=

= ∗ = 10 ∗ 80 = 800 [

]

Plan prędkości:

Odczytana wartość prędkości:

= 283,68[

]

= 826,37 [

]

Dzięki prędkości V

CB

jesteśmy w stanie obliczyć ω

2

=

=

283,68

135,4 ≅ 2,1[

&'(

]

Punkty C oraz D poruszają się ruchem prostoliniowym więc V

C

= V

D

Prędkość punktu środka masy S

2

:

)

*

=

∗

= 2,23 ∗ 67,7 = 150,97 [

]

5

Plan prędkości dla pkt. S

2

Odczytana wartość prędkości:

)

*

= 800,84[

]

2.1.2. Analiza przyspieszeń

Analizę przyspieszeń dokonujemy na podstawie równania :

)

(

)

(

)

(

)

(

t

C

n

C

B

C

a

a

a

a

+

+

=

'

,

= '

,

-

+'

,

/

= '

,

-

ponieważ ω

1

= const =>

ε

1

= 0

' =

∗ = 10 ∗ 80 = 8000 [

]

'

0

=

∗ = 2,1 ∗ 135,4 = 597,11 [

]

6

Przyspieszenia przedstawione są w podziałce k= 0,1

Plan przyspieszeń:

Odczytane wartości:

'

1

= 7628,9[

]

' = 1335,7[

]

Dzięki wartości

'

1

jesteśmy w stanie obliczyć

ε

2

2 =

'

1

=

7628,9

135,4 = 56,34 [

&'(

]

Punkty C oraz D poruszają się ruchem prostoliniowym więc a

C

= a

D

7

Przyspieszenie punktu środka masy S

2

:

'

)

0

=

∗

= 2,1 ∗ 67,7 = 298,56 [

]

'

)

1

= 2 ∗

= 56,34 ∗ 67,7 = 38014,22 [

]

Plan przyspieszeń dla pkt. S

2

:

Odczytane wartości:

'

)

=

4273

[

]

8

2.2. Metoda analityczna

Rysunek wieloboku wektorowego mechanizmu:

Do obliczeń przyjęto następujące dane:
φ

1

= 70 ̊

φ

3

= const = 270 ̊

φ

4

= const = 0 ̊

l

1

= 80 mm

l

2

= 135,4 mm

l

3

= 40 mm

ω

1

=

34 = 10

Szukane:

φ

2

, ω

2

,

ε

2,

v

D

, a

D

Rozwiązanie :

Mechanizm zapisujemy wielobokiem wektorowym

5 + 5 + 5 + 5 = 0

Po zrzutowaniu równania na osie układu współrzędnych otrzymamy

cos 3 + cos 3 − cos 3 − = 0

(1)

sin 3 + sin 3 + sin 3 = 0

(2)

Z równania 2 możemy obliczyć φ

2

sin 3 = −

sin 3 + sin 3

3 = '&< sin −

sin 3 + sin 3

9

3 = '&<sin −

80 sin 70° + 40 sin 270°

135,4

= −15,06° => 344,94°

Znając kąt

3 możemy obliczyć

= 34 , różniczkujemy więc równanie 2. Po

przekształceniu oraz uproszczeniu otrzymujemy wzór:

34 = −

φ4 cos 3

cos 3

34 = −

80 ∗ 10 ∗ cos 70°

135,4 cos 344,94° = −2,09 [

]

Różniczkując dwu-krotnie równanie 2 obliczymy

2 = 3@ . Po przekształceniu oraz

uproszczeniu otrzymujemy wzór:

3@ =

34 sin 3 + 34 sin 3

cos 3

3@ =

80 ∗ 10 sin 70° + 135,4 ∗ −2,09 sin 344,94°

135,4 cos 344,94°

= 56,32 [

]

Znając wszystkie kąty możemy obliczyć v

D

oraz a

D

które są kolejno pierwszą i druga

pochodną l

0

wyliczoną z równania 1 (wszystkie równania są już w najprostszej postaci).

A

B

= 4 = − 34 sin 3 − 34 sin 3

4 = − 80 ∗ 10 ∗ sin70° − 135,4 ∗ −2,09 ∗ sin344,94° = −825,28 [

]

'

B

= @ = − 34 cos 3 − 34 cos 3 − 3@ sin 3

@ = −80 ∗ 10 ∗ −135,4 ∗ −2,09 ∗ cos 344,94° − 135,4 ∗ 56,32 ∗ sin344,94°

= −1325,89 [

]

10

2.3. Analiza kinematyczna w programie SAM 6.0

A(6) –

3

AV(6) –

AA(6) –

2

Vx(4) - v

D

Ax(4) - a

D

11

2.4. Porównanie wyników różnych metod obliczniowych

parametr

Metoda

grafoanalityczna

Metoda

analityczna

SAM

3

-

-15,06 ̊

-15,03 ̊

ω

2

2,1

-2,09

-2,09

2

56,34

56,32

56,39

v

D

826,37

-825,28

-825,39

a

D

1335,7

-1325,89

-1329,03

v

S2

800.84

-

800,67

a

S2

4273

-

4276,55

Na podstawie zebranych wyników, można stwierdzić, że obliczenia zostały wykonane
poprawnie. Róznice w wynikach mogą być spowodowane błędami zaokrągleń.

3. Analiza kinetostatyczna mechanizmu

3.1. Przyjęcie danych potrzebnych do rozwiązania tego zagadnienia

m

2

= 0,5 kg

J

S2

= 763,88 kgmm

2

M

2

= 50 Nmm

P

3

= 30 N

3.2. Obliczenia sił ciężkości oraz sił bezwładności oraz momentów od sił bezwładności

Siła ciężkości członu 2:
G

2

= m

2

*g = 0,5*9,81= 4,91 N

Siła bezwładności członu 2:

B

S2

= a

S2

*m

2

= 4273* 0,5 = 2136,5

[

CD∗EE

*

] = 2,14 N

Moment od siły bezwładności

M

B

= J

S2

*

2 = 763,88 * 56,34 = 43037 [

CD∗EE

*

*

]= 43,04[Nmm]

3.3. Wyznaczanie reakcji w parach kinematycznych oraz momentu równoważącego
metodą grafo analityczną

Rysuję mechanizm w podziałce długości- k naznaczając na rysunku zwroty przyspieszeń
kątowych członów oraz zwroty i kierunki przyspieszeń liniowych środka masy członnu 2.
Obciążamy mechanizm siłami ciężkości, siłami bezwładniści i momentami od sił
bezwładniści oraz uogulnionymi siłami zewnętrznymi oporu.

12

3.3.1 Analiza sił działających w grupie strukturalnej (2,3)

h

1

= 65,39 [mm]

h

2

= 65,82 [mm]

Wektorowe równania równowago sił działających na człony 2 i 3 :

13

F GH

I( )

= ,H

)

+ J̅ + GH + GH

1

+ GH

0

= 0

F GH

I

= GH + H + GH = 0

Dodając rówania strnami otrzymamy równowanie równowagi dla grupy strukturalnej

0

3

03

12

12

2

2

=

+

+

+

+

+

P

R

R

R

G

B

n

t

S

W równaniu posiadamy trzy niewiadome, wartość

GH

1

możemy obliczyć z warunków

równowago momentów dla członu 2

F L

I

= −, ℎ −G

1

+ J ℎ + L + L = 0

G

1

=

, ℎ − J ℎ − L − L

=

−2,14 ∗ 65,82 + 4,91 ∗ 65,39 + 50 + 43,04

135,4

= 2,02 [N]

Teraz równanie równowagi grupy strukturalnej ma postać:

0

3

03

12

12

2

2

=

+

+

+

+

+

P

R

R

R

G

B

n

t

S

Wykres sił został wykanoany w programie AutoCAD, więc podziałka wynosi k=1

Wartości odczytane z wykresu:

G

0

= 29,44 [N]

G = 29,51[N]

G = 8,67 [N]

14

3.3.2. Analiza sił działających w członie napędzającym

h

1

= 79,02 mm

Wektorowe równanie sił dzaiałających w członie napędzającym:

0

)

(

)

(

)

(

21

01

01

=

+

+

R

R

R

n

t

15

Wykres działających sił:

Odczytane z wykresu:

G

0

= 2,55 [N]

G

1

= 22,42 [N]

Z równania momentów działających na człon napędzający można oblivczyć M

zr

F L

I(O)

= G ℎ − L

P

= 0

Po przekształceniu otrzymujemy wzór :

L

P

= G ℎ = 29,51 ∗ 79,02 = 2331,88 [N

]

3.4. Obliczenie momentu równoważącego metodą mocy chwilowych

16

3 = 100°

3 = 108°

Równanie mocy chwilowych:

L5

P

5 + L5 5 + L5 5 + ,H

)

A̅

)

+ J̅ A̅

)

+ H A̅

B

= 0

Po rozpisaniu w iloczyn skalarny otrzymamy:

L

P

cos 180° + L

cos 180° + L

cos 180° + ,

)

A

)

cos 3 + J A

)

cos 3

+ A

B

cos 0 = 0

Po przekształceniu otrzymujemy:

L

P

=

− L

cos 180° + L

cos 180° + ,

)

A

)

cos 3 + J A

)

cos 3 + A

B

cos 0

cos 180°

=

−50 ∗ 2,1 − 43,04 ∗ 2,1 + 2,14 ∗ 800,84 ∗ cos 108° + 4,91 ∗ 800,84 cos 100° + 30 ∗ 826,37

10

= 2338,33[N

]

3.5. Obliczenie momentu równoważącego w programie SAM

Schemat w programie:

17

Otrzymany wykres:

Odczytane wartości:
M

R1

= -2360,77 [Nmm]

3.6. Porównanie wynikiów

Metoda grafoanalityczna

Metoda mocy chwilowych

Program SAM

2331,88

2338,33

-2360,77