Przygotowanie do kolokwium nr 2
Twierdzenia dotyczące funkcji wymiernych
Definicja 1 – Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci:
Gdzie
są wielomianami, przy czym ni jest wielomianem zerowym. JeŜeli stopień
wielomianu
jest mniejszy od stopnia wielomianu to mówimy o funkcji wymiernej właściwej, w
przeciwnym wypadku funkcja
jest funkcją wymierną niewłaściwą.
Twierdzenie 1 – KaŜda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu
i
funkcji wymiernej właściwej
.
Fakt – KaŜdą funkcję wymierną właściwą moŜna przedstawić za pomocą sumy ułamków prostych.
Definicja 2 – Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci:
Gdzie
,
Definicja 3 – Ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci:
Gdzie
, , , ,
4 0
Rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste
Twierdzenie 2 – Niech
będzie funkcją wymierną właściwą. ZałóŜmy, Ŝe mianownik
moŜemy przedstawić w następującej postaci:
!
"
#
$
…
#
&
!
"
'
$
…
(
(
'
)
Wówczas wielomian
moŜna przedstawić za pomocą następującej sumy:
""
"
*
"#
$
"
#
$
*
"
*
#
&
#
&
""
+
""
"
"
*
"'
$
+
"'
$
"
"
'
$
("
+
("
(
(
*
('
)
+
('
)
(
(
'
)
Twierdzenie Heviside’a (tylko dla zainteresowanych)
MoŜna pokazać, Ŝe jeŜeli transformata wyjściowa
,
dana jest w następującej postaci:
,
-
"
*
.
1.1
Przy czym stopień wielomianu
jest mniejszy od stopnia wielomianu
- funkcja ,
jest
funkcją wymierną właściwą - to moŜna pokazać, Ŝe kolejne współczynniki
1
dane są zaleŜnością:
2#
-
#
3! , 56 3 0,1,2, … , 1
1.2
Gdzie:
-jeden z pierwiastków wielomianu
-krotność pierwiastka .
W przypadku, gdy w mianowniku występuje więcej niŜ jeden pierwiastek wygodnie jest wprowadzić
indeksowanie podwójne, tj.
,
-
1
1,"
1
1,
1
*
1,
8
1
.
1.3
Lub ogólnie:
,
: :
1,;
1
;
8
;<"
=
1<"
1.4
>-liczba róŜnych pierwiastków
Co moŜna rozwinąć w następującą sumę:
: :
1,;
1
8
;<"
=
1<"
","
"
*
",
$
"
$
,"
*
,
?
?
*
…
=,"
=
*
=,
@
=
@
1.5
Przy czym współczynnik
1,;
oblicza się wg następującej zaleŜności:
1,;
1,
8
2#
-
1
#
1
3!
B 1, … ,
1
3 0,1, … ,
1
1
1.6
ZauwaŜmy w tym punkcie, Ŝe w przypadku pierwiastków wielokrotnych najwyŜsza z pochodnych
funkcji
-
1
(stopień najwyŜszej pochodnej o jeden mniejszy od krotności pierwiastka) odpowiada
członowi w rozwinięciu z najniŜszą, pierwszą potęgą, i stałej
1,"
. Innymi słowy istnieje następująca
zaleŜność pomiędzy indeksami
B oraz 3:
1;
1"
1
1,
8
2"
1,
8
B
1
2
*
1
1
1
3
1
1
1
2
*
1
0
Widzimy zatem, Ŝe ogólna zaleŜność pomiędzy
B oraz 3 moŜe mieć następującą postać:
3
1
B
UWAGA: Z tego co pamiętam to na zajęciach podawałem definicję współczynnika
D
EF
w
następującej postaci:
D
E,G
H
E
G
I
E
G!
,
G J, K, L, … , M
E
K
Co oczywiście nie jest prawdą – naleŜy się posłuŜyć definicją przedstawioną wcześniej. Przykład
przedstawiony poniŜej powinien wyjaśnić sytuację.
Jak naleŜy się posługiwać powyŜszymi zaleŜnościami (tw.Heviside’a)?
a)
Sprawdzam, czy postać funkcji odpowiada załoŜeniom twierdzenia Heviside’a.
b)
Określamy liczbę róŜnych pierwiastków
, i przypisujemy ją do zmiennej > (zakładam, Ŝe
pierwiastki są juŜ znane)
c)
Wyznaczamy krotność
1
danego pierwiastka
1
d)
Posługujemy się zaleŜnością
1.6 w celu wyznaczenia współczynników
1,;
odpowiadających
zaleŜności
1.5. Do obliczenia współczynników
1,;
potrzebna jest znajomość funkcji
-
1
.
Przykład 1
Rozbij funkcję
,
na ułamki proste, wykorzystaj twierdzenie Heviside’a. Następnie wykorzystując
dostępne wzory transformacyjne wyznacz funkcję
NO P
2"
Q,
R.
,
1
1
a)
Stopień mianownika jest większy od stopnia licznika, więc jest OK.!
b)
Określamy pierwiastki mianownika
1
, ich liczbę
> oraz krotność
1
E
I
E
M
E
1
0
2
2
1
1
> max 2
Zgodnie z ideą rozbijania funkcji na ułamki proste szukam rozwinięcia postaci:
,
","
"
",
"
,"
c)
Wyznaczam współczynniki
1;
","
",
$
2#
",2"
-
"
"
"
1!
-
"
"
"
",
",
$
2#
",2V
-
"
V
"
0!
-
"
V
"
,"
,
?
2#
,"2V
-
V
0!
-
V
Wyznaczam funkcje:
-
"
V
, -
"
"
, -
V
-
"
V
,
!
"
$
,
!
1
1
-
"
V
5
5
W-
"
V
X
1
1
Przypomnijmy, Ŝe:
Y
Z
′
5
5
[
\
′
′
-
V
,
!
?
,
!
1
1
Wyznaczam wartości powyŜszych funkcji w zaleŜności od odpowiadającego im pierwiastka.
Przykładowo dla dowolnej funkcji
-
1
podstawiam wartość pierwiastka
1
, i tak dostajemy
kolejno:
-
"
V
"
-
"
V
0 1
-
"
"
"
-
"
"
0 1
-
V
-
V
1 1
Wartości szukanych współczynników wyniosą:
","
-
"
"
"
1
",
-
"
V
"
1
,"
-
V
1
Ostatecznie otrzymujemy rozwinięcie postaci:
,
","
"
",
"
,"
1
1
1
1
d)
Wyznaczam funkcję czasu
NO
NO P
2"
],
^ P
2"
_
1
1
1
1`
W tym punkcie wykorzystam własność liniowości odwrotnego operatora Laplace’a,
zamieniając operację na sumie, na sumę operacji, tj.
P
2"
_
1
1
1
1` P
2"
_
1
` P
2"
_
1
` P
2"
_
1
1` N
"
O N
O N
a
O
Do wyznaczenia funkcji
N
1
O, 1,2,3 wykorzystuję następujące zaleŜności:
Funkcja czasu
Transformata Laplace’a
b
V
O
1
O ! b
V
O
1
c
de
b
V
O
1
N
"
O P
2"
_
1
` P
2"
_
1
` b
V
O
N
O P
2"
_
1
` O ! b
V
O
N
a
O P
2"
_
1
1` c
2e
b
V
O
e)
Rozwiązanie metodą konwencjonalną (np. dla porównania wyników)
Sposób 1
,
1
1
+
1
,
+
1
a
+
1
+
a
1
a
1
a
+
a
1
ZauwaŜmy, Ŝe mianownik wyjściowej zaleŜności nie jest toŜsamy mianownikowi ostatniego
wyraŜenia, tj.
1 f
a
1
Doprowadzamy ostatnią zaleŜność do takiej postaci aby taka toŜsamość zachodziła:
,
a
+
a
1
+
1
Teraz aby zapewnić toŜsamość pomiędzy licznikami, naleŜy poszukać takich
, , + aby
zachodziło:
+
1
Przypomnijmy, Ŝe dwa wielomiany są sobie toŜsame wtedy i tylko wtedy, gdy ich
współczynniki są sobie równe. Dostajemy zatem układ równań:
1
0
+ 0
Jego rozwiązaniem jest:
1 1 + 1
Dostajemy zatem rozwinięcie postaci:
,
1
1
+
1
1
1
1
1
Zgadza się to z wynikiem uzyskanym przy uŜyciu twierdzenia Heviside’a.
Sposób2
,
1
1
+
1
MnoŜymy obie strony równania przez mianownik wyraŜenia wyjściowego:
1
1
1 +
PoniewaŜ powyŜsza zaleŜność ma być prawdziwa dla kaŜdego
, moŜemy wybrać takie, które
pozwoli nam na szybkie wyznaczenie stałych
, , +, nie trudno się zorientować, Ŝe będą to
pierwiastki mianownika, odpowiadające danej stałej. I tak chcąc obliczyć
+ podstawiamy do
powyŜszej zaleŜności
1, dstajemy:
1 +
Chcąc wyznaczyć
podstawiamy
0, dstając:
1
A co z
? Jak zauwaŜyliśmy podstawienie wartości któregokolwiek z pierwiastków powoduje
redukcję członu związanego z
. Nic nie przeszkadza nam w tym, aby toŜsamość:
1
1
1 +
zróŜniczkować względem
, w wyniku dostajemy:
0 2
2+
Podstawiając
0 dostajemy:
1
ZauwaŜmy, Ŝe równie dobrze moglibyśmy róŜniczkować dalej, dostając:
0 2 2+
co daje ten sam wynik:
+ 1
Dostajemy ostatecznie rozwiniecie postaci:
,
1
1
+
1
1
1
1
1
Co zgadza się z wynikiem otrzymanym przy uŜyciu dwóch ostatnich metod.
Funkcje z członami
g
L
I
L
w mianowniku
W przypadku takich funkcji pierwiastki mianownika są liczbami zespolonymi i wynoszą:
"
,
Gdzie
jest liczbą urojoną. ZauwaŜmy, Ŝe człon
moŜemy przedstawić jako:
Przykład 2
Spróbujmy obliczyć transformatę odwrotną funkcji:
,
h
h
,
h
h
h
h
h
h
h
Wyznaczmy wartości
i :
h
h h
h ! h
Dostajemy układ równań:
0
Rozwiązaniem tego układu jest para liczb:
/2 /2
Nasze rozwinięcie przyjmuje postać:
,
h
h
h
h
h
/2
h
/2
h
Zgodnie z teorią:
P
2"
_
1
` c
de
Funkcja czasu w naszym przypadku przyjmuje zatem postać:
NO P
2"
],
^
2 c
2j1e
2 c
j1e
2 Wc
2j1e
c
j1e
X
Przypomnijmy, Ŝe zgodnie z wykładniczą definicją liczby zespolonej dostaniemy:
c
2j1e
coshO
hO coshO
hO
c
j1e
coshO
hO
Podstawiając do powyŜszego dostajemy:
NO
2 ! 2 !
hO sin hO
Formalnie kaŜdą funkcję powinniśmy jeszcze przemnoŜyć przez funkcję jednostkową Heviside’a
b
p
O:
NO b
p
O ! sin hO
Aby wynik był spójny z definicją transformaty Laplace’a.
Przykład 3
Wyznaczyć transformatę odwrotną funkcji
,
podaną poniŜej:
,
q
r
Wykorzystać następujące zaleŜności:
P]c
e
^
1
P]sinhO^
h
h
P]coshO^
h
Rozbijamy
,
na ułamki proste:
Korzystamy przy tym z twierdzenia 2, o rozbijaniu funkcji wymiernych na ułamki proste. ZauwaŜmy,
Ŝ
e musimy uŜyć ułamków prostych zarówno pierwszego i drugiego rodzaju:
,
q
r
"
q
a
r
"
r
q
a
q
r
Poszukajmy wartości stałych
"
,
,
a
. PoniewaŜ obie strony powyŜszego równania muszą być sobie
równowaŜne, a mianowniki są sobie równowaŜne, to wystarczy napisać toŜsamość liczników, tj.
"
r
q
a
"
a
q
"
r
a
q
Pamiętając, Ŝe dwa wielomiany są sobie toŜsame wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki są sobie
równe, dostaniemy układ równań:
"
1
a
q 0
"
r
a
q
Którego rozwiązaniem jest:
"
q
r
q
r
r
q
a
q
r
r
q
W tym miejscu wartości stałych
"
,
,
a
są juŜ znane, moŜemy zatem obliczyć transformatę
odwrotną.
NO P
2"
],
^ P
2"
_
"
q
a
r
` WN
"
O N
O N
a
OX ! b
V
O
N
"
O
"
c
se
N
cos rO
N
a
a
r ! sin rO
Pytania do samodzielnego opracowania
1)
Definicje i twierdzenia przedstawione na początku pozwalają na wygodną pracę z funkcjami
wymiernymi właściwymi, co w przypadku, gdy funkcja wymierna jest funkcją niewłaściwą?
2)
Dlaczego kaŜdy wynik operacji poszukiwania odwrotnej transformacji Laplace’a zawiera w
sobie czynnik
b
V
O, tj.
NO P
2"
],
^ b
V
O ! t
3)
W którym miejscu, w obliczeniach transformaty odwrotnej Laplace’a wykorzystujemy
własność liniowości operatora odwrotnej transformaty Laplace’a?
JeŜeli gdzieś się pomyliłem, proszę mnie o tym poinformować.
Pozdrawiam,
Łukasz Hirt