Przygotowanie do kolokwium nr 2

Twierdzenia dotyczące funkcji wymiernych

Definicja 1 – Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci:

 





Gdzie

  są wielomianami, przy czym  ni jest wielomianem zerowym. Jeżeli stopień

wielomianu

 jest mniejszy od stopnia wielomianu  to mówimy o funkcji wymiernej właściwej, w

przeciwnym wypadku funkcja

 jest funkcją wymierną niewłaściwą.

Twierdzenie 1 – Każda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu

 i

funkcji wymiernej właściwej




.



   





Fakt – Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić za pomocą sumy ułamków prostych.

Definicja 2 – Ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci:



  



Gdzie

  ,   

Definicja 3 – Ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci:

  





   



Gdzie

, , ,   ,     



 4  0

Rozkład funkcji wymiernych na ułamki proste

Twierdzenie 2 – Niech

 




będzie funkcją wymierną właściwą. Załóżmy, że mianownik



możemy przedstawić w następującej postaci:

  



!   

"



#

$

…   





#

&

! 



 

"

  





'

$

… 



 

(

  

(



'

)

Wówczas wielomian

 można przedstawić za pomocą następującej sumy:

 



""

  

"

  * 



"#

$

  

"



#

$

 * 



"

  



  * 



#

&

  





#

&







""

  +

""





 

"

  

"

  * 



"'

$

  +

"'

$





 

"

  

"



'

$







("

  +

("





 

(

  

(

  * 



('

)

  +

('

)





 

(

  

(



'

)



Twierdzenie Heviside’a (tylko dla zainteresowanych)

Można pokazać, że jeżeli transformata wyjściowa

,  dana jest w następującej postaci:

,  

 

  

- 

  







"

  





  



 * 





  



 . 

1.1

Przy czym stopień wielomianu

  jest mniejszy od stopnia wielomianu   - funkcja ,  jest

funkcją wymierną właściwą - to można pokazać, że kolejne współczynniki



1

dane są zależnością:



2#



-

#



3! , 56 3  0,1,2, … ,   1

1.2

Gdzie:

-jeden z pierwiastków wielomianu  

-krotność pierwiastka .

W przypadku, gdy w mianowniku występuje więcej niż jeden pierwiastek wygodnie jest wprowadzić
indeksowanie podwójne, tj.

,  

 

  

- 

  

1









1,"

 

1





1,

  

1





 * 



1,

8

  

1





 . 

1.3

Lub ogólnie:

,  

 

   : :



1,;

  

1



;



8

;<"

=

1<"

1.4

>-liczba różnych pierwiastków  

Co można rozwinąć w następującą sumę:

: :



1,;

  

1





8

;<"

=

1<"





","

  

"

  * 



",

$

  

"





$





,"

  



  * 



,

?

  







?

 *

… 



=,"

  

=

  * 



=,

@

  

=





@

1.5

Przy czym współczynnik



1,;

oblicza się wg następującej zależności:



1,;

 

1,

8

2#



-

1

#



1



3!

B  1, … , 

1

3  0,1, … , 

1

 1

1.6

Zauważmy w tym punkcie, że w przypadku pierwiastków wielokrotnych najwyższa z pochodnych
funkcji

-

1

(stopień najwyższej pochodnej o jeden mniejszy od krotności pierwiastka) odpowiada

członowi w rozwinięciu z najniższą, pierwszą potęgą, i stałej



1,"

. Innymi słowy istnieje następująca

zależność pomiędzy indeksami

B oraz 3:



1;



1"



1



1,

8

2"



1,

8

B

1

2

*



1

 1



1

3



1

 1



1

 2

*

1

0

Widzimy zatem, że ogólna zależność pomiędzy

B oraz 3 może mieć następującą postać:

3  

1

 B

UWAGA: Z tego co pamiętam to na zajęciach podawałem definicję współczynnika

D

EF

w

następującej postaci:

D

E,G



H

E

G

I

E



G!

,

G  J, K, L, … , M

E

 K

Co oczywiście nie jest prawdą – należy się posłużyć definicją przedstawioną wcześniej. Przykład
przedstawiony poniżej powinien wyjaśnić sytuację.

Jak należy się posługiwać powyższymi zależnościami (tw.Heviside’a)?

a)

Sprawdzam, czy postać funkcji odpowiada założeniom twierdzenia Heviside’a.

b)

Określamy liczbę różnych pierwiastków

 , i przypisujemy ją do zmiennej > (zakładam, że

pierwiastki są już znane)

c)

Wyznaczamy krotność



1

danego pierwiastka



1

d)

Posługujemy się zależnością

1.6 w celu wyznaczenia współczynników 

1,;

odpowiadających

zależności

1.5. Do obliczenia współczynników 

1,;

potrzebna jest znajomość funkcji

-

1

 .

Przykład 1

Rozbij funkcję

,  na ułamki proste, wykorzystaj twierdzenie Heviside’a. Następnie wykorzystując

dostępne wzory transformacyjne wyznacz funkcję

NO  P

2"

Q, R.

,  

1



  1

a)

Stopień mianownika jest większy od stopnia licznika, więc jest OK.!

b)

Określamy pierwiastki mianownika



1

, ich liczbę

> oraz krotność 

1

E

I

E

M

E

1

0

2

2

1

1

>  max   2

Zgodnie z ideą rozbijania funkcji na ułamki proste szukam rozwinięcia postaci:

,  



","

 

"





",

  

"









,"

  





c)

Wyznaczam współczynniki



1;



","

 

",

$

2#

 

",2"



-

"

"



"



1!

 -

"

"



"





",

 

",

$

2#

 

",2V



-

"

V



"



0!

 -

"

V



"





,"

 

,

?

2#

 

,"2V



-



V







0!

 -



V







Wyznaczam funkcje:

-

"

V

, -

"

"

, -



V

-

"

V

 ,  !   

"





$

 ,  !





1

  1

-

"

V



5

5 W-

"

V

X 

1

  1



Przypomnijmy, że:

Y

 

 Z

′



5

5 [

 

 \ 



′

  ′





-



V

 ,  !   







?

 ,  !   1 

1



Wyznaczam wartości powyższych funkcji w zależności od odpowiadającego im pierwiastka.
Przykładowo dla dowolnej funkcji

-

1

podstawiam wartość pierwiastka



1

, i tak dostajemy

kolejno:

-

"

V



"

  -

"

V

0  1

-

"

"



"

  -

"

"

0  1

-



V





  -



V

1  1

Wartości szukanych współczynników wyniosą:



","

 -

"

"



"

  1



",

 -

"

V



"

  1



,"

 -



V





  1

Ostatecznie otrzymujemy rozwinięcie postaci:

,  



","

 

"





",

  

"









,"

  



 

 

1



1





1

  1

d)

Wyznaczam funkcję czasu

NO

NO  P

2"

], ^  P

2"

_

1



1





1

  1`

W tym punkcie wykorzystam własność liniowości odwrotnego operatora Laplace’a,
zamieniając operację na sumie, na sumę operacji, tj.

P

2"

_

1



1





1

  1`  P

2"

_

1

`  P

2"

_

1



`  P

2"

_

1

  1`  N

"

O  N



O  N

a

O

Do wyznaczenia funkcji

N

1

O,  1,2,3 wykorzystuję następujące zależności:

Funkcja czasu

Transformata Laplace’a

b

V

O

1

O ! b

V

O

1



c

de

b

V

O

1

 

N

"

O  P

2"

_

1

`  P

2"

_

1

`  b

V

O

N



O  P

2"

_

1



`  O ! b

V

O

N

a

O  P

2"

_

1

 1`  c

2e

b

V

O

e)

Rozwiązanie metodą konwencjonalną (np. dla porównania wyników)
Sposób 1

,  

1



  1 











+

 1

,  











+

 1 





 

a



+

 1 

+

a

   1



  

a

  1





a

+   



    

a

  1

Zauważmy, że mianownik wyjściowej zależności nie jest tożsamy mianownikowi ostatniego
wyrażenia, tj.



  1 f

a

  1

Doprowadzamy ostatnią zależność do takiej postaci aby taka tożsamość zachodziła:

,  

a

+   



    

a

  1





+        



  1

Teraz aby zapewnić tożsamość pomiędzy licznikami, należy poszukać takich

, , + aby

zachodziło:



+          1

Przypomnijmy, że dwa wielomiany są sobie tożsame wtedy i tylko wtedy, gdy ich
współczynniki są sobie równe. Dostajemy zatem układ równań:

  1

    0

+    0

Jego rozwiązaniem jest:

  1   1 +  1

Dostajemy zatem rozwinięcie postaci:

,  

1



  1 











+

 1  

1



1





1

 1

Zgadza się to z wynikiem uzyskanym przy użyciu twierdzenia Heviside’a.


Sposób2

,  

1



  1 











+

 1

Mnożymy obie strony równania przez mianownik wyrażenia wyjściowego:

1     1    1  +



Ponieważ powyższa zależność ma być prawdziwa dla każdego

, możemy wybrać takie, które

pozwoli nam na szybkie wyznaczenie stałych

, , +, nie trudno się zorientować, że będą to

pierwiastki mianownika, odpowiadające danej stałej. I tak chcąc obliczyć

+ podstawiamy do

powyższej zależności

 1, dstajemy:

1  +

Chcąc wyznaczyć

 podstawiamy  0, dstając:

1  

A co z

? Jak zauważyliśmy podstawienie wartości któregokolwiek z pierwiastków powoduje

redukcję członu związanego z

. Nic nie przeszkadza nam w tym, aby tożsamość:

1     1    1  +



zróżniczkować względem

, w wyniku dostajemy:

0  2      2+

Podstawiając

 0 dostajemy:

    1

Zauważmy, że równie dobrze moglibyśmy różniczkować dalej, dostając:

0  2  2+

co daje ten sam wynik:

  +  1

Dostajemy ostatecznie rozwiniecie postaci:

,  

1



  1 











+

 1  

1



1





1

 1

Co zgadza się z wynikiem otrzymanym przy użyciu dwóch ostatnich metod.

Funkcje z członami

g

L

 I

L

w mianowniku

W przypadku takich funkcji pierwiastki mianownika są liczbami zespolonymi i wynoszą:

"

  ,



 

Gdzie

jest liczbą urojoną. Zauważmy, że człon



 



możemy przedstawić jako:



 



       

Przykład 2

Spróbujmy obliczyć transformatę odwrotną funkcji:

,  

h



 h



,  

h



 h





h

  h   h  



 h 



 h

Wyznaczmy wartości

 i :

  h     h   h

    h !     h

Dostajemy układ równań:

    0

    

Rozwiązaniem tego układu jest para liczb:

   /2   /2

Nasze rozwinięcie przyjmuje postać:

,  

h



 h





h

  h   h  

/2

 h 

/2

 h

Zgodnie z teorią:

P

2"

_

1

 `  c

de

Funkcja czasu w naszym przypadku przyjmuje zatem postać:

NO  P

2"

], ^ 

2 c

2j1e



2 c

j1e



2 Wc

2j1e

 c

j1e

X

Przypomnijmy, że zgodnie z wykładniczą definicją liczby zespolonej dostaniemy:

c

2j1e

 coshO  hO  coshO  hO

c

j1e

 coshO  hO

Podstawiając do powyższego dostajemy:

NO 

2 ! 2 ! hO  sin hO

Formalnie każdą funkcję powinniśmy jeszcze przemnożyć przez funkcję jednostkową Heviside’a
b

p

O:

NO  b

p

O ! sin hO

Aby wynik był spójny z definicją transformaty Laplace’a.

Przykład 3

Wyznaczyć transformatę odwrotną funkcji

,  podaną poniżej:

,  



 

  q



 r





Wykorzystać następujące zależności:

P]c

e

^ 

1

  P]sinhO^ 

h



 h



P]coshO^ 



 h



Rozbijamy

,  na ułamki proste:

Korzystamy przy tym z twierdzenia 2, o rozbijaniu funkcji wymiernych na ułamki proste. Zauważmy,

ż

e musimy użyć ułamków prostych zarówno pierwszego i drugiego rodzaju:

,  



 

  q



 r









"

 q 





 

a



 r







"





 r



    q



 

a



  q



 r





Poszukajmy wartości stałych



"

, 



, 

a

. Ponieważ obie strony powyższego równania muszą być sobie

równoważne, a mianowniki są sobie równoważne, to wystarczy napisać tożsamość liczników, tj.



 





"





 r



    q



 

a

 





"

 



  

a

 



q  

"

r



 

a

q

Pamiętając, że dwa wielomiany są sobie tożsame wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki są sobie
równe, dostaniemy układ równań:



"

 



 1



a

 



q  0



"

r



 

a

q  

Którego rozwiązaniem jest:



"



q



 

r



 q









r



 

r



 q





a

 q

r



 

r



 q



W tym miejscu wartości stałych



"

, 



, 

a

są już znane, możemy zatem obliczyć transformatę

odwrotną.

NO  P

2"

], ^  P

2"

_



"

 q 





 

a



 r



`  WN

"

O  N



O  N

a

OX ! b

V

O

N

"

O  

"

c

se

N



 



cos rO

N

a





a

r ! sin rO

Pytania do samodzielnego opracowania

1)

Definicje i twierdzenia przedstawione na początku pozwalają na wygodną pracę z funkcjami
wymiernymi właściwymi, co w przypadku, gdy funkcja wymierna jest funkcją niewłaściwą?

2)

Dlaczego każdy wynik operacji poszukiwania odwrotnej transformacji Laplace’a zawiera w
sobie czynnik

b

V

O, tj.

NO  P

2"

], ^  b

V

O ! t 

3)

W którym miejscu, w obliczeniach transformaty odwrotnej Laplace’a wykorzystujemy
własność liniowości operatora odwrotnej transformaty Laplace’a?

Jeżeli gdzieś się pomyliłem, proszę mnie o tym poinformować.
Pozdrawiam,
Łukasz Hirt