CZAS PRACY: 120 MINUT

LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50

Zadanie 1.

(4 pkt)

Rozwiąż nierówność

.

Zadanie 2.

(6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

ma dwa

różne pierwiastki rzeczywiste

takie, że

.

Zadanie 3.

(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wykres wielomianu

ma dokładnie dwa punkty wspólne z osią Ox.

Zadanie 4.

(4 pkt)

Wykaż, że dla każdych dodatnich liczb rzeczywistych a

,

b

,

c

,

d

prawdziwa jest nierówność

.

Zadanie 5.

(5 pkt)

Rozwiąż równanie

.

Zadanie 6.

(4 pkt)

Trzy liczby, których suma jest równa 26, są jednocześnie trzema kolejnymi wyrazami ciągu

geometrycznego oraz drugim, trzecim i szóstym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Wy-
znacz te liczby.

Zadanie 7.

(5 pkt)

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje

dokładnie raz cyfra 1, oraz dokładnie dwa razy cyfra 2.

Zadanie 8.

(4 pkt)

W trójkącie prostokątnym

ABC

odcinek

CD

jest wysokością opuszczoną na przeciwprosto-

kątną

AB

. Obwód trójkąta

ADC

jest równy 40, a obwód trójkąta

BDC

jest równy 24. Oblicz ob-

wód trójkąta

ABC

.

Zadanie 9.

(4 pkt)

Długości przekątnych rombu o kącie ostrym 45

o

są równe

e

oraz f

.

Wykaż, że

.

Zadanie 10.

(4 pkt)

Punkty

oraz

leżą na okręgu, którego środek leży na prostej o równaniu

. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 11.

(6pkt)

Dany jest zbiór trójkątów równoramiennych o obwodzie 24. Oblicz długości boków trójkąta

należącego do tego zbioru, który przy obrocie dookoła prostej zawierającej jego podstawę o kąt
360

o

wyznacza bryłę o największej objętości.

ROZWIĄZANIA

Zadanie 1.

(4 pkt)

Wyróżniamy na osi liczbowej parami rozłączne przedziały, których sumą jest zbiór wszystkich

liczb rzeczywistych:

,

,

.

Zapisujemy nierówność w każdym z przedziałów i rozwiązujemy układy nierówności

1.

albo

2.

; brak rozwiązań

albo
3.

Zapisujemy odpowiedź

Odpowiedź:

.

Zadanie 2.

(6 pkt)

Zapisujemy warunki zadania

i kolejno je rozwiązujemy:

1.

,

2.

Korzystając ze wzorów Viete’a otrzymujemy

i nierówność jest postaci

Rozwiązaniem tej nierówności jest

.

Rozwiązaniem zadania jest część wspólna rozwiązań warunku 1. oraz 2. czyli

.

Odpowiedź:

.

Zadanie 3.

(4 pkt)

Zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej

Jednym z punktów wspólnych wielomianu W z osią Ox jest

.

Jeżeli

, to innych punktów wspólnych nie ma.

Jeśli

, to punkt

też jest punktem wspólnym.

Jeśli

, to punktami wspólnymi są też

i

. Jednym z nich ma być

.

 

2, 0

 

, 0

m





, 0

m



0

m

!

 

0, 0

0

m

0

m



 

2, 0

 





























5

4

3

2

2

2

4

2

2

2

4

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

W x

x

x

mx

mx

m x

m

x

x

mx

x

m

x

x

x

mx

m

x

x

m











 

 

















2;

m



f





2;

m



f



 



2;1

2;

m

 

‰

f

3

2

3

4

m

m

m

m



!

 

œ

3

2

4

4

0

m

m

m





 !



 



2

1

4

1

0

m

m

m

 

 !

œ









2

1

4

0

m

m





!

œ









1

2

2

0

m

m

m







!





3

3

2

3

1

2

3

3

x

x

m m

m

m

























 







3

3

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1 2

2

1

2

1

1 2

2

1 2

2

1

2

1

2

1 2

2

3

3

x

x

x

x

x

x x

x

x

x

x

x x

x

x x

x

x

x

x

x x

























 



0

; 2

2;

m

' ! œ

 f  ‰

f

2

4

m

'



3

3

2

1

2

1.

0

2.

4

x

x

m

m

' !

­

®



!

 

¯



 



; 4

7, 5 ;

x

 f  ‰

f

3

2 3

9

23

x

x

x

t

­

®    !

¯

œ

3

4

30

x

x

t

­

®

!

¯

œ

7, 5

x

!

2

3

2 3

9

23

x

x

x

 d 

­

®    !

¯

œ

2

3

2

12

x

x

 d 

­

® !

¯

2

2 3

9

23

x

x

x

 

­

®    !

¯

œ

2

4

16

x

x

 

­

® !

¯

œ

4

x

 



3;

f



2;3







; 2

f 

3

0

x

y

 





5,10

B





9,12

A

2 1

e

f







e

f



2

2

cos 2

3 sin 2

cos

7 sin

x

x

x

x



˜









a c b d

ab

cd





t



 

5

4

3

2

2

2

2

2

4

2

W x

x

x

mx

mx

m x

m











3

3

2

1

2

4

x

x

m

m



!

 

1

2

,

x

x

2

1

0

x

mx





2

3

9

23

x

x

 

 !

1

Środa 27 kwietnia 2011

1

Gazeta Wyborcza

1

wyborcza.pl

32

Gazeta Edukacja

Sprawdź,

czy zdasz!

Matura

Poziom rozszerzony

Maturzysto!

Już za tydzień egzaminy. A już dziś drukujemy próbną maturę z matematyki na poziomie

rozszerzonym przygotowaną przez naszych ekspertów. Jutro – angielski i niemiecki

Próbna

matura

2011

matematyka

R

E

K

L

A

M

A

Partner
radiowy

Studia w kraju, za granicą, a może rok przerwy? Co planują tegoroczni maturzyści
po egzaminie, słuchaj w Faktach RMF FM.
Jakie stroje na egzamin dojrzałości są modne w tym roku, co powinny ubrać maturzystki,
a co maturzyści? Słuchaj w Faktach RMF MAXXX

30680131

Stąd wynika, że aby były dwa punkty wspólne, to

, czyli

.

Odpowiedź:

,

.

Zadanie 4. (4 pkt)

Obie strony nierówności są dodatnie, po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy

nierówności równoważne:

.

Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy

.

Podnosząc jeszcze raz obie strony do kwadratu, otrzymujemy

,

czyli

.

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a

, b, c, d

.

Zadanie 5. (5 pkt)

Korzystając ze wzorów na

oraz

, zapisujemy równanie w postaci

,

czyli

nie jest rozwiązaniem tego równania, możemy więc obie strony tego równania po-

dzielić przez

.

Otrzymujemy

czyli

Stąd

albo

.

Odpowiedź:

, gdzie k jest liczbą całkowitą

albo

, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Zadanie 6. (4 pkt)

Oznaczmy przez

a

pierwszą z trzech liczb (najmniejszą) oraz przez r różnicę ciągu arytme-

tycznego;

. Liczby możemy zapisać w postaci:

(

a

oznacza drugi wyraz cią-

gu arytmetycznego).

Znając sumę tych liczb oraz własność ciągu geometrycznego, zapisujemy układ równań

Po przekształceniach otrzymujemy układ równań

Z drugiego równania wynika, że

lub

, a to rozwiązanie jest sprzeczne z założeniem.

Stąd

, czyli

,

.

Odpowiedź: Liczby opisane w treści zadania, to 2, 6, 18.

Zadanie 7. (5 pkt)

Stwierdzamy, że są trzy parami rozłączne przypadki. Pierwszą cyfrą tej liczby może być:

1. cyfra 1,

2. cyfra 2,

3. cyfra należąca do zbioru

.

Obliczamy, ile jest liczb w każdym przypadku.

ad. 1.

ad. 2.

ad. 3.

Odpowiedź: Łącznie jest

takich liczb.

Zadanie 8. (4 pkt)

Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy
oznaczenia:

.

Oznaczmy przez

p

obwód trójkąta

ABC.

Trójkąty

ADC

oraz

ABC

są podobne, stąd

.

Trójkąty

BDC

oraz

ABC

są podobne, stąd

.

Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta

ABC

i przekształcamy tę równość

,

stąd

.

Odpowiedź: Obwód trójkąta

ABC

jest równy

.

Zadanie 9. (4 pkt)

Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia:

,

.

Stosując twierdzenie kosinusów do trójkątów

BAD

oraz

ABC,

otrzymujemy

.

Stąd

, co należało wykazać.

Zadanie 10. (4 pkt)

Środek

S

okręgu to punkt wspólny podanej prostej oraz symetralnej odcinka

AB

. Symetralna

odcinka

AB

ma równanie

. (Punkt

leży na symetralnej odcinka

AB

wte-

dy i tylko wtedy, gdy

).

Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań

Otrzymujemy

.

Obliczamy kwadrat promienia r okręgu:

.

Odpowiedź: Równanie okręgu jest postaci:

.

Zadanie 11. (6 pkt)

Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku

, czyli

.

Bryła powstała z obrotu trójkąta dookoła prostej

AB

to suma dwóch przystających stożków

o promieniu

i wysokości

.

Zapisujemy wzór funkcji

: objętość bryły w zależności od x,

Funkcja V przyjmuje największą wartość dla

.

Odpowiedź: Wymiary trójkąta są następujące: podstawa ma długość 6, ramiona mają długość 9.

3

x

 









1

2

12 12 2

16

6

3

V x

x

x

x

x

S

S

˜

˜ ˜



˜

 ˜

 

0; 6

x



V

 

V x

2

1

2

3

V

r

x

S

˜ ˜

˜











2

2

2

12 12 2

r

y

x

y

x

y

x

x







˜



h

x

r

DC

12

x

y



2

2

24

x

y



A

B

C

D

x

x

y

y

.



 



2

2

28

31

2210

x

y







2

2

2210

r

AS





28, 31

S



3

0

2

25

0

x

y

x

y

 

­

®  

¯

AP

BP

 

,

P

x y

2

25

0

x

y

 

2 1

e

f



















2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3 2 2

2 1

2

2

2

a

e

f

a















2

2

2

2

2

2

2

cos 45

2

2

2

2

e

a

a

a a

a

a

a





˜ ˜

q









2

2

2

2

2

2

2

cos135

2

2

2

2

f

a

a

a a

a

a

a





˜ ˜

q





A

B

C

D

a

a

a

45

q

,

BD

e

AC

f

AB

BC

CD

DA

a

8 34

2176

8 34

p

2

2

2

c

a

b



œ

2

2

2

2

2

24

40

2176

1

a

b

c

c

p

p

p

§

·

§

·

§ ·

§ ·





¨

¸

¨

¸

¨ ¸

¨ ¸

© ¹

© ¹

©

¹

©

¹

24

a

c

p

40

b

c

p

,

,

BC

a

AC

b

AB

c

A

B

C

D

a

b

c

.

5120 10240 13440

28800





2

5

4

7

8

13440

1

2

§ · § ·

˜

˜

˜

¨ ¸ ¨ ¸

© ¹ © ¹

3

5

4

1

8

10240

1

1

§ · § ·

˜

˜

˜

¨ ¸ ¨ ¸

© ¹ © ¹

3

5

1

8

5120

2

§ ·

˜

˜

¨ ¸

© ¹

^

`

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

4

r

2

a

2

r

a

0

r

2

r

a





3

5

26

2

0

a

r

r r

a



­

®



¯









2

4

26

4

a

a

r

a

r

a

r

a a

r

   

­°

®





°¯

,

,

4

a

a

r

a

r





0

r

!

5

6

x

k

S

S



x

k

S

3

tg

3

x



tg

0

x

3

tg

tg

0

3

x

x

§

·



¨

¸

¨

¸

©

¹

2

3

tg

tg

0

3

x

x



2

6 cos x

cos

0

x

2

6 sin

2 3 sin cos

0

x

x

x



˜

2

2

2

2

cos

sin

3 2 sin cos

cos

7 sin

x

x

x

x

x

x





˜



sin 2

D

cos 2

D





2

0

ad

bc



t

   

2

2

2

4

ad

bc

abcd

abcd





t

2

ad

bc

abcd



t







2

a c b d

ab cd

abcd





t





2

4

m

1

0

m

4

m

2

m

1

Próbna matura z matematyki

1

Gazeta Edukacja

33

wyborcza.pl

1

Gazeta Wyborcza

1

Środa 27 kwietnia 2011

O

G

Ł

O

S

Z

E

N

I

E

W

Ł

A

S

N

E

W

Y

D

A

W

C

Y

Od jutra

w kioskach

WIEDZA O KULTURZE

co czwartek kolejny tom

ZAMÓWIENIA PRZYJMUJEMY NA
LUB POD NUMEREM TELEFONU 801 130 000

KOSZT POŁĄCZENIA WYNOSI 0,29 ZŁ W SIECI TP SA

P

O

L

E

C

A

J

Ą

Sprawdzasz i wiesz

n

ponad 1000 zwięzłych haseł,

pojęć i terminów

n

kulturoznawstwo

n

tradycje i nurty teatralne

n

gatunki sztuki filmowej

NOWA SERIA

SŁOWNIKÓW TEMATYCZNYCH

NIEZBĘDNA DLA UCZNIA

30701557