Przykład 1
Dane są trzy siły: P
1
= 3i + 4j, P
2
= 2i
−
5j, P
3
=
−
7i + 3j (składowe sił wyrażone są w
niutonach), przecinające się w punkcie
A
(1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej
wartość oraz kąt
α
nachylenia linii działania względem osi
Ox
układu.
R o z w i ą z a n i e
Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P
x
i
P
y
Wektor i wartość wypadkowej wynoszą
Kierunek wypadkowej określa kąt
α
, który wyznaczamy z następującego wzoru
Ponieważ składowe wypadkowej są następujące: P
x
< 0, P
y
> 0, to kąt
α
= 135º. Linia
działania wypadkowej przechodzi przez punkt
A
pod kątem
α
= 135º do osi
Ox
.
Przykład 2
Wzdłuż dwóch boków i głównej przekątnej sześcianu działają siły P
1
, P
2
, P
3
. Wartości tych
sił są równe: P
1
= P
2
= Q, P
3
= 3Q. Wyznaczyć ich wypadkową.
R o z w i ą z a n i e
Cosinusy kierunkowe sił P
1
, P
2
, P
3
wynoszą
Wyznaczamy składowe wypadkowej
Wartość wypadkowej wyznaczamy z następującego wzoru
a jej cosinusy kierunkowe i kąty wynoszą odpowiednio
Linia działania wypadkowej przebiega przez punkt przecięcia się linii działania sił P
1
, P
2
, P
3
pod kątami
α
,
β
i
γ
do osi układu współrzędnych
Oxyz
.
Przykład 3
Na punkt materialny o ciężarze G, leżący na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia
α
,
działają dwie siły S tak, jak przedstawiono na rysunku. Wyznaczyć siłę S oraz reakcję
równi, jeżeli punkt znajduje się w spoczynku.
R o z w i ą z a n i e
Metoda analityczna. Na punkt materialny działają cztery siły, które są w równowadze.
Na podstawie warunków równowagi sił zbieżnych można napisać następujące równania
równowagi
Z równania pierwszego otrzymamy
Po podstawieniu do drugiego równania
Stąd
Metoda geometryczna. Na rysunku przedstawiono zamknięty wielobok sił utworzony z
czterech sił działających na punkt materialny, z którego wyznaczono wartości siły S i
reakcji R
Przykład 4
Nieważka belka AB o długości l opiera się jednym końcem A na stałej podporze
przegubowej A. Drugi koniec B tej belki jest zamocowany na podporze przegubowej
przesuwnej (rysunek). Wyznaczyć reakcje podpór A i B, jeżeli belka jest obciążona w
punkcie C siłą P.
R o z w i ą z a n i e
Metoda analityczna. Na rysunku b belka została uwolniona od więzów i przyłożone
zostały reakcje R
Ax
, R
Ay
i R
B
. Ponieważ belka jest obciążona trzema siłami R
A
, R
B
i P,
wobec tego ich linie działania muszą przecinać się w jednym punkcie D, zaś trójkąt sił
musi być zamknięty (rys. c).
W przyjętym układzie współrzędnych
Axy
równania równowagi będą następujące
Ponadto
gdzie
Z rozwiązania powyższego układu trzech równań otrzymamy
Metoda geometryczna. Na rysunku c przedstawiono trójkąt sił R
A
, R
B
i P. Na podstawie
twierdzenia równań sinusów otrzymamy
Stąd
Przykład 5
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia
α
= 30º i jest utrzymywany w położeniu równowagi za pomocą liny OA, zgodnie z
rysunkiem. Do środka walca zamocowano drugą linę, którą przerzucono przez nieważki
krążek. Na końcu tej liny zawieszono ciężar P. Obliczyć wartość reakcji N w punkcie E
zetknięcia się walca z równią oraz napięcie w linie OA, jeżeli lina OB jest pozioma, a lina
OA tworzy z poziomem kąt
β
= 45º.
R o z w i ą z a n i e
Metoda analityczna. Na walec działają siły P, G, S i N. Równania równowagi walca są
następujące
Stąd
Metoda geometryczna. Na rysunku b przedstawiono zamknięty wielobok sił, utworzony ze
wszystkich sił działających na walec. Korzystając z odpowiednich trójkątów otrzymamy
Z rozwiązania tych równań otrzymamy takie same wartości sił S i N, jak przy zastosowaniu
metody analitycznej.
Przykład 6
Ciało o ciężarze G jest zawieszone na wsporniku składającym się z trzech prętów
połączonych przegubowo w sposób pokazany na rysunku. Pręty AO i BO, leżące w
płaszczyźnie prostopadłej do pionowej ściany, tworzą z tą ścianą kąty
β
= 45º. Pręt CO
tworzy z pionową ścianą kąt
α
= 60º i również leży w płaszczyźnie prostopadłej do tej
ściany. Obliczyć siły w prętach, pomijając ich ciężary własne oraz tarcie w przegubach.
R o z w i ą z a n i e
Metoda analityczna. Na przegub O działają siły wynikające z oddziaływania prętów OA,
OB i OC: S
1
, S
2
i S
3
oraz ciężar G. Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy
następujące równania
Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy
Przykład 7
Wyznaczyć siły w prętach konstrukcji pokazanej na rysunku. Nieważkie pręty AB, AC, BC,
BE, CE i CD są połączone przegubowo w węzłach A, B, C, D i E. W węźle B działają dwie
siły: 2P w kierunku pionowym i siła P w kierunku pręta BC.
R o z w i ą z a n i e
Metoda analityczna. Na węzeł B działają reakcje S
1
, S
2
i S
3
, wynikające z
oddziaływania prętów AB, BE i BC oraz siły P i 2P. Równania równowagi tego węzła są
następujące
Na węzeł C działają reakcje S
3
, S
4
, S
5
i S
6
oraz siła P. Równania równowagi
rozpatrywanego węzła są równe
Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy
Przykład 1
Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie
Oxy
Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
R o z w i ą z a n i e.
Wektor główny układu sił jest równy
Moment główny układu wynosi
Przykład 2
Nieważka belka AB = 4l została obciążona trzema siłami równoległymi P
1
, P
2
, P
3
prostopadłymi do belki. Znaleźć reakcje stałej podpory przegubowej w punkcie A i podpory
przegubowej przesuwnej w punkcie B. Dane liczbowe: P
1
= 100 N, P
2
= 300 N, P
3
= 400
N, l = 1 m.
R o z w i ą z a n i e.
Reakcje w podporach A i B maja kierunek pionowy. Na belkę działa układ pięciu sił
równoległych P
1
, P
2
, P
3
, R
A
i R
B
. Dwie niewiadome reakcje R
A
i R
B
wyznacza się z dwóch
równań równowagi
Stąd
Przykład 3
Nieważka belka AB = 3l jest zamocowana w punkcie A na stałej podporze przegubowej, a
w punkcie B na podporze przegubowej przesuwnej. Obciążenie belki stanowią siły P
1
=
300 N i P
2
= 400 N, a kąt
α
= 30º. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B.
R o z w i ą z a n i e.
Kierunek reakcji R
A
w stałej podporze przegubowej A nie jest znany, wiadomo tylko, że
linia działania tej siły przechodzi przez środek przegubu A. Reakcję tę rozkłada się na dwie
składowe wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych
Axy
. Składowe reakcji R
A
zostały oznaczone przez R
Ax
i R
Ay
. Zatem, belka jest obciążona dwoma siłami
zewnętrznymi P
1
i P
2
oraz trzema reakcjami więzów R
Ax
, R
Ay
i R
B
. Wartości tych reakcji
wyznacza się z trzech równań równowagi
Z rozwiązania powyższego układu trzech równań z trzema niewiadomymi otrzymamy
Reakcja R
B
jest ujemna, stąd jej kierunek jest przeciwny niż założono na rysunku. Wartość
reakcji R
A
oblicza się ze wzoru
Przykład 4
Nieważka rama płaska została zamocowana na stałej podporze przegubowej w punkcie A
i podporze przegubowej przesuwnej w punkcie B. Obciążenie zewnętrzne ramy stanowią
siły P i siła 2P. Obliczyć reakcje podpór R
A
i R
B
, jeżeli P = 1000 N, l = 0,5 m.
R o z w i ą z a n i e.
Rama jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i reakcjami R
A
i R
B
. Ponieważ kierunek
reakcji R
A
jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe R
Ax
, R
Ay
. Niewiadome
reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi ramy
Stąd
Przykład 5
Obliczyć reakcje podpór A i B w belce pokazanej na rysunku. Obciążenie zewnętrzne
stanowią dwie siły P
1
= 200 N, P
2
= 100 N i moment M = 200 N · m. Pozostałe dane
liczbowe wynoszą: l = 1 m,
α
= 45º,
β
= 30º.
R o z w i ą z a n i e.
Belka jest obciążona dwiema siłami zewnętrznymi P
1
, P
2
, momentem M oraz reakcjami
R
A
i R
B
. Ponieważ kierunek reakcji R
A
jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie
składowe R
Ax
, R
Ay
. Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi
Stąd
Reakcje R
Ax
, R
Ay
są ujemne, stąd ich kierunek jest przeciwny do założonego. Wartość
reakcji R
A
wynosi
Przykład 6
Jednorodna pozioma belka AB o ciężarze równym G jest oparta końcem A na stałej
podporze przegubowej oraz końcem B na gładkiej równi pochyłej. W punktach D i E do
belki przyłożone są siły P
1
, P
2
. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B. Dane
liczbowe:
P
1
= 100 N, P
2
= 800 N, G = 200 N,
α
= 45º,
β
= 60º, l = 4 m.
R o z w i ą z a n i e.
Oddziaływanie równi na koniec belki B, czyli reakcja R
B
więzów będzie prostopadła do
płaszczyzny tej równi. Wynika to z faktu, że siła tarcia między płaszczyznami równi i belki
równa się zeru. Kierunek reakcji R
A
w przegubie A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia
działania tej siły przechodzi przez środek przegubu, tj. przez punkt A. Reakcję tę
rozkładamy na dwie składowe R
Ax
, R
Ay
wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych
Axy
. Tak więc belka jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i trzema reakcjami.
Wyznaczamy wartości tych reakcji z trzech równań równowagi
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy
Stąd
Przykład 7
Po belce podsuwnicowej AB porusza się suwnica, której wózek, składający się z dwóch
kół tocznych, oddziałuje na belkę siłami P
1
, P
2
. W jakiej odległości x od punktu A powinien
wózek się zatrzymać, aby reakcja w punkcie B była dwukrotnie mniejsza od reakcji w
punkcie A ? Dane liczbowe: P
1
= 4000 N i P
2
= 2000 N, b = 1 m, l = 10 m.
R o z w i ą z a n i e.
Ponieważ siły P
1
, P
2
, działające na belkę, są pionowe oraz reakcja R
B
ma kierunek
pionowe, również reakcja R
A
ma kierunek pionowy. Piszemy dwa równania równowagi
Po rozwiązaniu tego układu równań, przy założeniu, że R
B
= 0,5R
A
, otrzymujemy
Przykład 8
Wyznaczyć reakcje podpory przegubowej stałej A i dwóch podpór przegubowych
przesuwnych B i D oraz wzajemne oddziaływanie w przegubie C obydwu części belki
ABCD. Dane liczbowe: P
1
= 1000 N,
P
2
= 2000 N,
α
= 30º, l = 1 m.
R o z w i ą z a n i e.
W celu wyznaczenia reakcji R
A
, R
B
, R
C
i R
D
rozważymy równowagę obu części belki.
Równania równowagi lewej części belki mają postać
Równania równowagi prawej części belki
Otrzymaliśmy układ sześciu równań równowagi z sześcioma niewiadomymi. Po
rozwiązaniu tego układu otrzymujemy
Reakcje R
A
i R
C
wynoszą
Przykład 9
Dźwig o ciężarze własnym G = 5P, obciążony na wysięgniku siłą P, zainstalowano na torze
jezdnym AB. Obliczyć reakcje kół dźwigu, reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A i
podpory przegubowej przesuwnej w punkcie B oraz reakcję w przegubie E, jeżeli AE = 4a,
BE = 8a, CE = DE = a.
R o z w i ą z a n i e.
Reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A sprowadzają się do reakcji R
A
o nie
znanym kierunku oraz momentu utwierdzenia M
A
. W podporze przegubowej przesuwnej w
punkcie B i podporach kół dźwigu w punkcie C i D występują reakcje o kierunku
pionowym, prostopadle do płaszczyzny poziomej (przesuwu). Reakcja przegubu E
sprowadza się do siły o nie znanym kierunku działania, przechodzącej przez oś tego
przegubu. Z dwóch równań równowagi dźwigu (rys. b) wyznaczamy reakcje R
C
i R
D
podpór jego kół
Stąd
Równania równowagi dwóch części belki AB, zgodnie z rys. d są następujące:
•
część belki BE
•
część belki AB
Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy