Przykład 1
Dane są trzy siły: P

1

= 3i + 4j, P

2

= 2i

−

5j, P

3

=

−

7i + 3j (składowe sił wyrażone są w

niutonach), przecinające się w punkcie

A

(1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej

wartość oraz kąt

α

nachylenia linii działania względem osi

Ox

układu.

R o z w i ą z a n i e
Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P

x

i

P

y

Wektor i wartość wypadkowej wynoszą

Kierunek wypadkowej określa kąt

α

, który wyznaczamy z następującego wzoru

Ponieważ składowe wypadkowej są następujące: P

x

< 0, P

y

> 0, to kąt

α

= 135º. Linia

działania wypadkowej przechodzi przez punkt

A

pod kątem

α

= 135º do osi

Ox

.

Przykład 2
Wzdłuż dwóch boków i głównej przekątnej sześcianu działają siły P

1

, P

2

, P

3

. Wartości tych

sił są równe: P

1

= P

2

= Q, P

3

= 3Q. Wyznaczyć ich wypadkową.

R o z w i ą z a n i e
Cosinusy kierunkowe sił P

1

, P

2

, P

3

wynoszą

Wyznaczamy składowe wypadkowej

Wartość wypadkowej wyznaczamy z następującego wzoru

a jej cosinusy kierunkowe i kąty wynoszą odpowiednio

Linia działania wypadkowej przebiega przez punkt przecięcia się linii działania sił P

1

, P

2

, P

3

pod kątami

α

,

β

i

γ

do osi układu współrzędnych

Oxyz

.

Przykład 3
Na punkt materialny o ciężarze G, leżący na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia

α

,

działają dwie siły S tak, jak przedstawiono na rysunku. Wyznaczyć siłę S oraz reakcję
równi, jeżeli punkt znajduje się w spoczynku.

R o z w i ą z a n i e
Metoda analityczna. Na punkt materialny działają cztery siły, które są w równowadze.
Na podstawie warunków równowagi sił zbieżnych można napisać następujące równania
równowagi

Z równania pierwszego otrzymamy

Po podstawieniu do drugiego równania

Stąd

Metoda geometryczna. Na rysunku przedstawiono zamknięty wielobok sił utworzony z
czterech sił działających na punkt materialny, z którego wyznaczono wartości siły S i
reakcji R

Przykład 4
Nieważka belka AB o długości l opiera się jednym końcem A na stałej podporze
przegubowej A. Drugi koniec B tej belki jest zamocowany na podporze przegubowej
przesuwnej (rysunek). Wyznaczyć reakcje podpór A i B, jeżeli belka jest obciążona w

punkcie C siłą P.

R o z w i ą z a n i e
Metoda analityczna. Na rysunku b belka została uwolniona od więzów i przyłożone
zostały reakcje R

Ax

, R

Ay

i R

B

. Ponieważ belka jest obciążona trzema siłami R

A

, R

B

i P,

wobec tego ich linie działania muszą przecinać się w jednym punkcie D, zaś trójkąt sił
musi być zamknięty (rys. c).
W przyjętym układzie współrzędnych

Axy

równania równowagi będą następujące

Ponadto

gdzie

Z rozwiązania powyższego układu trzech równań otrzymamy

Metoda geometryczna. Na rysunku c przedstawiono trójkąt sił R

A

, R

B

i P. Na podstawie

twierdzenia równań sinusów otrzymamy

Stąd

Przykład 5
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia

α

= 30º i jest utrzymywany w położeniu równowagi za pomocą liny OA, zgodnie z

rysunkiem. Do środka walca zamocowano drugą linę, którą przerzucono przez nieważki
krążek. Na końcu tej liny zawieszono ciężar P. Obliczyć wartość reakcji N w punkcie E
zetknięcia się walca z równią oraz napięcie w linie OA, jeżeli lina OB jest pozioma, a lina
OA tworzy z poziomem kąt

β

= 45º.

R o z w i ą z a n i e
Metoda analityczna. Na walec działają siły P, G, S i N. Równania równowagi walca są
następujące

Stąd

Metoda geometryczna. Na rysunku b przedstawiono zamknięty wielobok sił, utworzony ze
wszystkich sił działających na walec. Korzystając z odpowiednich trójkątów otrzymamy

Z rozwiązania tych równań otrzymamy takie same wartości sił S i N, jak przy zastosowaniu
metody analitycznej.

Przykład 6
Ciało o ciężarze G jest zawieszone na wsporniku składającym się z trzech prętów
połączonych przegubowo w sposób pokazany na rysunku. Pręty AO i BO, leżące w
płaszczyźnie prostopadłej do pionowej ściany, tworzą z tą ścianą kąty

β

= 45º. Pręt CO

tworzy z pionową ścianą kąt

α

= 60º i również leży w płaszczyźnie prostopadłej do tej

ściany. Obliczyć siły w prętach, pomijając ich ciężary własne oraz tarcie w przegubach.

R o z w i ą z a n i e
Metoda analityczna. Na przegub O działają siły wynikające z oddziaływania prętów OA,
OB i OC: S

1

, S

2

i S

3

oraz ciężar G. Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy

następujące równania

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy

Przykład 7
Wyznaczyć siły w prętach konstrukcji pokazanej na rysunku. Nieważkie pręty AB, AC, BC,
BE, CE i CD są połączone przegubowo w węzłach A, B, C, D i E. W węźle B działają dwie
siły: 2P w kierunku pionowym i siła P w kierunku pręta BC.

R o z w i ą z a n i e
Metoda analityczna. Na węzeł B działają reakcje S

1

, S

2

i S

3

, wynikające z

oddziaływania prętów AB, BE i BC oraz siły P i 2P. Równania równowagi tego węzła są
następujące

Na węzeł C działają reakcje S

3

, S

4

, S

5

i S

6

oraz siła P. Równania równowagi

rozpatrywanego węzła są równe

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy

Przykład 1
Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie

Oxy

Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

R o z w i ą z a n i e.
Wektor główny układu sił jest równy

Moment główny układu wynosi

Przykład 2
Nieważka belka AB = 4l została obciążona trzema siłami równoległymi P

1

, P

2

, P

3

prostopadłymi do belki. Znaleźć reakcje stałej podpory przegubowej w punkcie A i podpory
przegubowej przesuwnej w punkcie B. Dane liczbowe: P

1

= 100 N, P

2

= 300 N, P

3

= 400

N, l = 1 m.

R o z w i ą z a n i e.
Reakcje w podporach A i B maja kierunek pionowy. Na belkę działa układ pięciu sił
równoległych P

1

, P

2

, P

3

, R

A

i R

B

. Dwie niewiadome reakcje R

A

i R

B

wyznacza się z dwóch

równań równowagi

Stąd

Przykład 3
Nieważka belka AB = 3l jest zamocowana w punkcie A na stałej podporze przegubowej, a

w punkcie B na podporze przegubowej przesuwnej. Obciążenie belki stanowią siły P

1

=

300 N i P

2

= 400 N, a kąt

α

= 30º. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B.

R o z w i ą z a n i e.
Kierunek reakcji R

A

w stałej podporze przegubowej A nie jest znany, wiadomo tylko, że

linia działania tej siły przechodzi przez środek przegubu A. Reakcję tę rozkłada się na dwie
składowe wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych

Axy

. Składowe reakcji R

A

zostały oznaczone przez R

Ax

i R

Ay

. Zatem, belka jest obciążona dwoma siłami

zewnętrznymi P

1

i P

2

oraz trzema reakcjami więzów R

Ax

, R

Ay

i R

B

. Wartości tych reakcji

wyznacza się z trzech równań równowagi

Z rozwiązania powyższego układu trzech równań z trzema niewiadomymi otrzymamy

Reakcja R

B

jest ujemna, stąd jej kierunek jest przeciwny niż założono na rysunku. Wartość

reakcji R

A

oblicza się ze wzoru

Przykład 4
Nieważka rama płaska została zamocowana na stałej podporze przegubowej w punkcie A
i podporze przegubowej przesuwnej w punkcie B. Obciążenie zewnętrzne ramy stanowią
siły P i siła 2P. Obliczyć reakcje podpór R

A

i R

B

, jeżeli P = 1000 N, l = 0,5 m.

R o z w i ą z a n i e.
Rama jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i reakcjami R

A

i R

B

. Ponieważ kierunek

reakcji R

A

jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe R

Ax

, R

Ay

. Niewiadome

reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi ramy

Stąd

Przykład 5
Obliczyć reakcje podpór A i B w belce pokazanej na rysunku. Obciążenie zewnętrzne
stanowią dwie siły P

1

= 200 N, P

2

= 100 N i moment M = 200 N · m. Pozostałe dane

liczbowe wynoszą: l = 1 m,

α

= 45º,

β

= 30º.

R o z w i ą z a n i e.
Belka jest obciążona dwiema siłami zewnętrznymi P

1

, P

2

, momentem M oraz reakcjami

R

A

i R

B

. Ponieważ kierunek reakcji R

A

jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie

składowe R

Ax

, R

Ay

. Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi

Stąd

Reakcje R

Ax

, R

Ay

są ujemne, stąd ich kierunek jest przeciwny do założonego. Wartość

reakcji R

A

wynosi

Przykład 6
Jednorodna pozioma belka AB o ciężarze równym G jest oparta końcem A na stałej
podporze przegubowej oraz końcem B na gładkiej równi pochyłej. W punktach D i E do
belki przyłożone są siły P

1

, P

2

. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B. Dane

liczbowe:
P

1

= 100 N, P

2

= 800 N, G = 200 N,

α

= 45º,

β

= 60º, l = 4 m.

R o z w i ą z a n i e.
Oddziaływanie równi na koniec belki B, czyli reakcja R

B

więzów będzie prostopadła do

płaszczyzny tej równi. Wynika to z faktu, że siła tarcia między płaszczyznami równi i belki
równa się zeru. Kierunek reakcji R

A

w przegubie A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia

działania tej siły przechodzi przez środek przegubu, tj. przez punkt A. Reakcję tę
rozkładamy na dwie składowe R

Ax

, R

Ay

wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych

Axy

. Tak więc belka jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i trzema reakcjami.

Wyznaczamy wartości tych reakcji z trzech równań równowagi

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

Stąd

Przykład 7
Po belce podsuwnicowej AB porusza się suwnica, której wózek, składający się z dwóch
kół tocznych, oddziałuje na belkę siłami P

1

, P

2

. W jakiej odległości x od punktu A powinien

wózek się zatrzymać, aby reakcja w punkcie B była dwukrotnie mniejsza od reakcji w
punkcie A ? Dane liczbowe: P

1

= 4000 N i P

2

= 2000 N, b = 1 m, l = 10 m.

R o z w i ą z a n i e.
Ponieważ siły P

1

, P

2

, działające na belkę, są pionowe oraz reakcja R

B

ma kierunek

pionowe, również reakcja R

A

ma kierunek pionowy. Piszemy dwa równania równowagi

Po rozwiązaniu tego układu równań, przy założeniu, że R

B

= 0,5R

A

, otrzymujemy

Przykład 8
Wyznaczyć reakcje podpory przegubowej stałej A i dwóch podpór przegubowych
przesuwnych B i D oraz wzajemne oddziaływanie w przegubie C obydwu części belki
ABCD. Dane liczbowe: P

1

= 1000 N,

P

2

= 2000 N,

α

= 30º, l = 1 m.

R o z w i ą z a n i e.
W celu wyznaczenia reakcji R

A

, R

B

, R

C

i R

D

rozważymy równowagę obu części belki.

Równania równowagi lewej części belki mają postać

Równania równowagi prawej części belki

Otrzymaliśmy układ sześciu równań równowagi z sześcioma niewiadomymi. Po
rozwiązaniu tego układu otrzymujemy

Reakcje R

A

i R

C

wynoszą

Przykład 9
Dźwig o ciężarze własnym G = 5P, obciążony na wysięgniku siłą P, zainstalowano na torze
jezdnym AB. Obliczyć reakcje kół dźwigu, reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A i
podpory przegubowej przesuwnej w punkcie B oraz reakcję w przegubie E, jeżeli AE = 4a,
BE = 8a, CE = DE = a.

R o z w i ą z a n i e.
Reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A sprowadzają się do reakcji R

A

o nie

znanym kierunku oraz momentu utwierdzenia M

A

. W podporze przegubowej przesuwnej w

punkcie B i podporach kół dźwigu w punkcie C i D występują reakcje o kierunku
pionowym, prostopadle do płaszczyzny poziomej (przesuwu). Reakcja przegubu E
sprowadza się do siły o nie znanym kierunku działania, przechodzącej przez oś tego
przegubu. Z dwóch równań równowagi dźwigu (rys. b) wyznaczamy reakcje R

C

i R

D

podpór jego kół

Stąd

Równania równowagi dwóch części belki AB, zgodnie z rys. d są następujące:

•

część belki BE

•

część belki AB

Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy