Związki miarowe w trójkącie prostokątnym (30, 60, 90 stopni oraz 45, 45, 90 stopni). Zakres gimnazjum. Download.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 1

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym o kątach: 30, 60, 90 stopni oraz 45, 45, 90 stopni. To jest darmowy e-book pdf z matematyki do gimnazjum. Zawiera wyjaśnione zadania z pełnym rozwiązaniem oraz ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania + odpowiedzi. Download go.

Związki miarowe w trójkątach

o kątach 30˚, 60˚, 90˚ oraz 45˚, 45˚, 90˚

Przedmowa

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym to jeden z kilku najważniejszych a może nawet i najważniejszy dział
w gimnazjum. Wymaga on znajomości rozwiązywania równań, działań na pierwiastkach oraz wyuczenia się na
pamięć kilku wzorów z zakresu geometrii. Od tego działu, zależy kilka działów następnych. Po prostu trzeba się
go nauczyć, o ile chce się mieć na świadectwie ocenę satysfakcjonującą. Dział ten sam w sobie nie jest trudny,
ale wymaga bardzo dobrej znajomości podstaw geometrii. W związku z tym nim przejdę do jego omawiania,
postaram się co nieco z niej powtórzyć.

Spis tematów

Przypomnienie podstaw geometrii oraz arytmetyki. ....................................................................................... 2

— trójkąt prostokątny oraz twierdzenie Pitagorasa ...................................................................................... 2

— kąt oraz miara kąta .................................................................................................................................... 2

— zgodność oznaczeń we wzorze z wykonanym rysunkiem ......................................................................... 3

— kwadrat ...................................................................................................................................................... 3

— trójkąt równoboczny ................................................................................................................................. 4

— pierwiastki arytmetyczne stopnia drugiego .............................................................................................. 5

— rozwiązywanie równań stopnia pierwszego z jedną niewiadomą o współczynnikach rzeczywistych ....... 6

Związki miarowe w trójkącie o kątach: 90˚, 45˚, 45˚. ...................................................................................... 7

Związki miarowe w trójkącie o katach: 30˚, 60˚, 90˚. .................................................................................... 13

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 2

Temat: Przypomnienie podstaw geometrii oraz arytmetyki.

Trójkąt prostokątny oraz twierdzenie Pitagorasa

Na  początek  zacznijmy  od  przypomnienia  sobie  jak  na-
zywają  się  boki  w  trójkącie  prostokątnym  i  które  to  są.
Jak  widzisz  z  rysunku  obok,  najdłuższy  bok  w trójkącie
prostokątnym nazywa się

przeciwprostokątną

bo leży naprzeciw kąta prostego,

zaś każdy z dwóch pozostałych boków nazywa się

przyprostokątną

bo leży przy kącie prostym.

Twierdzenie Pitagorasa

mówi, że jeśli długość jednej z

przyprostokątnych

podniesiesz do kwadratu (do potęgi dru-

giej) i dodasz do tego długość drugiej

przyprostokątnej

podniesioną do kwadratu, to zawsze otrzymasz długość

przeciwprostokątnej

podniesioną także do kwadratu. Korzystając z oznaczeń z powyższego rysunku, możesz zapisać:

lub w odwrotnej kolejności:

W podręcznikach szkolnych tw. Pitagorasa najczęściej jest zapisane przy użyciu niewiadomych:

, , :

lub rzadziej:

Ja polecam przyzwyczajać się do zapisu który jest w ramce, bo znacznie on zmniejsza prawdopodobieństwo pomy-
lenia się przy jego układaniu, a niewiadome w nim użyte, przywołują skojarzenia:

—

to długość najdłuższego boku tego trójkąta,

—

to długość krótszej przyprostokątnej,

—

to długość dłuższej przyprostokątnej.

Kąt oraz miara kąta

Kąt

— część płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku, razem

z tymi półprostymi.

[Błędem jest wskazywanie palcem obszaru leżącego blisko wierzchołka i mówienie, że to kąt.]

Ramiona kąta — półproste które wyznaczają kąt.

Miara kąta

— liczba mianowana wyrażająca rozpiętość między ramionami kąta. Mianem, czyli jednost-

ką są najczęściej stopnie lub radiany, rzadziej grady (gradusy).

Czasami zamiast sformułowania „miara kąta” można spotkać sformułowanie „rozwartość kąta”.

Kąty równe — przynajmniej dwa kąty o tej samej mierze (mające tyle samo np. stopni).

Kąt prosty

— kąt o mierze 90˚.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 3

Zgodność oznaczeń we wzorze z rysunkiem

Kolejna rzecz o której musisz pamiętać zwłaszcza w geometrii, to zgodność oznaczeń zastosowanych
we wzorze z wykonanym rysunkiem. Jeśli robisz rysunek na przykład kwadratu i długość jego boku
oznaczysz literką

, to pisząc wzór na pole tego kwadratu musisz napisać:

a na obwód:

. = 4

. Nie możesz w takim przypadku pisać, że

, bo długość boku kwadratu została

oznaczona literką

Jeśli nie wiesz jakiej literki użyć we wzorze żeby była zgodność z rysunkiem, możesz posłużyć się oznaczeniami
wierzchołków danej figury. Zamiast pisać, że odcinek o końcach w punktach A i B ma długość

, możesz napisać:

|| lub . Zapisów takich użyję w poniższym podtemacie o kwadracie.

Ten drugi zapis długości odcinka AB jest bardziej precyzyjny od pierwszego, gdyż dodatkowo daje Ci informację o tym, że masz na myśli odcinek prostej, a nie odcinek krzywej.
Ponieważ w teorii matematycznej prosta jest szczególnym przypadkiem krzywej (fachowo mówimy, że prosta to zdegenerowana krzywa), więc dla prostej oba te zapisy są
poprawne. Dla krzywej zaś, poprawny jest tylko zapis pierwszy.

Kwadrat

— czworokąt mający wszystkie boki i kąty równe.

Ponieważ suma kątów w każdym czworokącie wynosi 360˚, więc kąty w kwadracie mają miarę po 90˚.

. = 4 ⋅ ||

= ||

|| = ||

;

|| = || ∙ √2

;

|| = || ∙ √2

|| = || ∙

√

;

|| = || ∙

√

Własności kwadratu (dawniej właściwości):

— przekątne przecinają się w połowie

— przekątne przecinają się pod kątem prostym

— przekątna kwadratu dzieli kąt przy jego wierzchołku na połowy, czyli na dwa kąty po 45˚

— wszystkie boki kwadratu mają taką samą długość (są równe)

— wszystkie kąty kwadratu mają po 90˚ (są proste)

— 2 przekątne kwadratu dzielą go na 4 trójkąty prostokątne równoramienne.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 4

Trójkąt równoboczny

— figura geometryczna mająca dokładnie 3 boki o tej samej długości.

Własności trójkąta równobocznego:

— ma 3 boki o tej samej długości:

|| = || = ||

— ma 3 wysokości i wszystkie one mają tę samą długość:

|| = || = ||

— każdy jego kąt ma miarę 60˚:

∢ = ∢ = ∢ = 60˚

— miara kąta między wysokością a bokiem na który jest opuszczona wynosi zawsze

90˚

— wysokość tego trójkąta dzieli bok na który jest opuszczona na połowy

|| = ||, || = ||, || = ||

— wszystkie jego wysokości przecinają się w jednym punkcie

(punkt S)

— wszystkie dwusieczne jego kątów przecinają się w jednym punkcie

Na powyższym rysunku jest to punkt S.

— wszystkie symetralne jego boków przecinają się w jednym punkcie

Na powyższym rysunku jest to punkt S.

— wysokości tego trójkąta, jego dwusieczne oraz symetralne przecinają się w tym samym punkcie

— punkt o którym mowa wyżej jest także środkiem okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt.

Okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki trójkąta ABC nazywamy okręgiem opisanym

na trójkącie ABC.

Okrąg styczny do wszystkich boków trójkąta ABC nazywamy okręgiem wpisanym

w ten trójkąt. Na powyższym rysunku przechodzi on przez punkty: D, E, F.

Jeśli w trójkącie równobocznym zastosujesz oznaczenia zgodne z powyższym rysunkiem:

ℎ — wysokość trójkąta równobocznego ABC

— długość boku trójkąta ABC

— długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC

— długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC

— punkt przecięcia wysokości w trójkącie ABC

— pole powierzchni trójkąta ABC.

to będą zachodzić zależności, które trzeba wyuczyć się na pamięć:

ℎ = +

= 2

√

ℎ =

√

. = 3

Do powyższych wzorów w których występuje

√3 można dojść stosując twierdzenie Pitagorasa. Łatwiej jednak nauczyć się ich na pamięć. Wyjaśnienie skąd się one biorą,

znajdziesz w opracowaniu:

http://matematyka.strefa.pl/twierdzenie_Pitagorasa.pdf

W opracowaniu tym, bardzo często będzie zachodzić potrzeba szybkiego naszkicowania sobie trójkąta równobocz-
nego. Warto więc wiedzieć, jak w oparciu o kratki zeszytowe móc szybko to zrobić.

Wykorzystując  twierdzenie  Pitagorasa  możesz  obliczyć,  że  w  tak
narysowanym trójkącie ramiona są dłuższe od podstawy mniej wię-
cej  o  0,3  mm.  Oznacza  to,  że  przedstawiony  obok  trójkąt  nie  jest
równoboczny  lecz  równoramienny.  Różnica  między  długością  ra-
mienia a długością podstawy jest jednak tak mała, że w szkicach do
zadań można taki trójkąt traktować jak równoboczny.

Aby znaleźć środek okręgu opisanego na trójkącie, należy wykreślić przynajmniej dwie symetralne boków tego trójkąta.

Aby znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt, należy wykreślić przynajmniej dwie dwusieczne kątów tego trójkąta.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 5

Pierwiastki arytmetyczne stopnia drugiego

Jeśli wiesz, że:

= 5 ∙ 5 =

√

= 13 ∙ 13 = 169,

√169 = 13

∙

√
√

Widzisz zatem, że pierwiastek z wyniku (kolor jasnozielony) daje liczbę która była potęgowana (kolor czerwony).
Wiedz jednak, że nie dotyczy to potęgowania liczb ujemnych:

−5

−5 ∙ −5 =

ale

√

= 5, a nie −5.

Dodatkowo pamiętaj o tym, że:

+ 4

√11

3 + 4

√11

Zwróć uwagę na zapis centymetrów.

√ = ∙ √

Przed symbolem pierwiastka, symbolu mnożenia na ogół się nie pisze.

√ = √

Bardzo ważne jest to, aby zwracać uwagę dokąd sięga „daszek” pierwiastka.

√

∙ √ ∙ ∙ √ = ∙

∙

√ ∙ √

√

∙

, jeśli ≥ 0

To co jest napisane wyżej kolorem szarym, powinno być obliczone w myślach. Jeśli pod symbolem pierwiastka stopnia parzystego znajduje się liczba ujemna (lub wyrażenie
o wartości ujemnej), to wartość takiego pierwiastka nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych — podobnie jest przy dzieleniu liczby różnej od zera przez zero.

Szybciej jest nauczyć się gotowego wzoru na pamięć:

√

∙

, jeśli

≥ 0

Przykład:

5√

= 5

∙

= 25 ∙ 7 = 175

√
√

≠ 0

Przykłady:

√
√

;

√

≈ 0,994009165

√ ∙ √ ∙ √ = √

Przykłady:

√5 ∙ √3 = √15; √9

∙

√5

√45

≈ 1,12632284

Pamiętaj. Zapis z użyciem symbolu pierwiastka, jest zapisem dokładnym. Zaokrąglanie go do podanego rzędu robi się tylko wtedy gdy bezpośrednio wskazuje na to treść

zadania lub gdy chcesz wartość taką zaznaczyć np. na osi liczbowej lub w układzie współrzędnych.

Dość często gdy liczba pod pierwiastkiem jest parzysta oraz sporadycznie gdy jest ona nieparzysta, można taki pier-
wiastek zapisać za pomocą iloczynu (mnożenia) przynajmniej dwóch pierwiastków z których przynajmniej jeden da
się precyzyjnie obliczyć. Zobaczmy:

√48 = √16 ∙ 3 = √16 ∙ √3 = 4√3

√45 = √9 ∙ 5 = √9 ∙ √5 = 3√5

Wykonywanie działania odwrotnego do powyższego jest banalne. Wystarczy liczbę która nie jest spierwiastkowania
(w poniższym przykładzie jest to liczba

) podnieść do tej potęgi co stopień pierwiastka i przemnożyć przez liczbę

która jest pod pierwiastkiem. Zobacz:

√2 = √25 ∙ √2 = √25 ∙ 2 = √50 ≈ 7,07

√3

√1024

∙

√3

√3072

≈ 2,23

Bardziej zrozumiale i szczegółowo omówione pierwiastkowanie znajdziesz w oddzielnym opracowaniu.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 6

Rozwiązywanie równań stopnia pierwszego z jedną niewiadomą o współczynnikach rzeczywistych

Oprócz skrótowo przypomnianego pierwiastkowania, trzeba także umieć biegle rozwiązywać równania z jedną nie-
wiadomą. Metody rozwiązywania takich równań zostały omówione w osobnym opracowaniu. Jeden przykład przed-
stawiam poniżej.

√

+ 6

= 8

√

/∙

Mnożę obie strony równania przez najmniejszy wspólny mianownik.

√

∙

Wykonuję skrócenie liczby 6 która jest w liczniku, z liczbą w mianowniku.

√3 + 38 = 48 /

– 38

Od obu stron równania odejmuję 38 by po lewej stronie został tylko jednomian z

√3 +38

− 38

= 48

− 38

Zauważam, że

jest za symbolem pierwiastka i żeby przez przypadek nie potrakto-

wać go jakby był pod symbolem pierwiastka, piszę go przed pierwiastkiem.

√3 = 10 /∙

√3

Mnożę obie strony równania przez

√3, by później nie było potrzeby usuwania nie-

wymierności z mianownika ułamka.

3 ∙

√3

∙

√3

√

= 10

√3

= 10√3 /

: 9

Dzielę obie strony równania przez liczbę stojącą przy ݔ, czyli w tym przypadku przez 9.

√

Prześledź teraz rozwiązane 3 typy równań z którymi najczęściej będzie można się spotkać w tym opracowaniu.

√2 = 5√3 /∙ √2

= 5√6 /: 2

√6

√3

= 4√7 /∙ 2

√3 = 8√7 /∙ √3

= 8√21 /: 3

√21

√3

= 20 /∙ 4

√3 = 80 /∙ √3

= 80

√3 /: 3

√3

∙

√

√3

240

√3

≈ 6,12

≈ 12,22

≈ 6,80

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 7

Temat: Związki miarowe w trójkącie o kątach: 90˚, 45˚, 45˚.

Nim zacznę omawiać szczegółowo trójkąt o kątach 45˚, 45˚, 90˚ przyjrzyj się dokładnie kwadratowi z narysowaną
w nim jedną przekątną

Zauważ, że przekątna kwadratu dzieli go na dwa przystające (identyczne) trójkąty o kątach 45˚,
45˚, 90˚ oraz, że na podstawie twierdzenia Pitagorasa jej długość:

= √2

Zatem

aby obliczyć długość przekątnej kwadratu, należy długość jego boku pomnożyć przez

√2

Aby obliczyć przybliżoną długość przekątnej kwadratu, należy długość jego boku pomnożyć przez zaokrąglenie

√2

do podanego rzędu. Najczęściej przyjmuje się, że

√2 ≈ 1,41.

Ćwiczenie

: Bok kwadratu ma długość 7 cm. Jaką długość ma jego przekątna?

[Odp. 7

√2 cm.]

Ćwiczenie

: Bok kwadratu ma długość 0,4 cm. Jaką długość ma jego przekątna?

[Odp. 0,4

√2 cm.]

Ćwiczenie

: Bok kwadratu ma długość 11

cm. Jaką długość ma jego przekątna?

[Odp. 11

య

ళ

√2 cm.]

Ćwiczenie

: Bok kwadratu ma długość 4,2 cm. Ile milimetrów ma długość jego przekątnej?

[Odp. 42

√2 mm.]

Ćwiczenie

: Bok kwadratu ma długość 5,6 m. Ile milimetrów ma długość jego przekątnej?

[Odp. 5600

√2 mm.]

Przekształcając powyższy wzór:

= √2, dostajesz kolejny wzór:

= ∙ √

który oznacza, że:

długość boku kwadratu można obliczyć mnożąc długość jego przekątnej przez ułamek

√

Ćwiczenie

: Przekątna kwadratu ma długość 14

√2 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu?

[Odp. 14 cm.]

Ćwiczenie

: Przekątna kwadratu ma długość 25,7

√2 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu?

[Odp. 25,7 cm.]

Ćwiczenie

: Przekątna kwadratu ma długość 8

√2 m. Jaką długość ma bok tego kwadratu?

[Odp. 8 m.]

Ćwiczenie

: Przekątna kwadratu ma długość 10 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu?

[Odp. 5

√2 cm.]

Ćwiczenie

: Przekątna kwadratu ma długość 6,8 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu?

[Odp. 3,4

√2 cm.]

Ćwiczenie

: Przekątna kwadratu ma długość 1 mm. Jaką długość ma bok tego kwadratu?

[Odp. 0,5

√2 mm.]

Ćwiczenie

: Przekątna kwadratu ma długość 0,01 mm. Jaką długość ma bok tego kwadratu?

[Podpowiedź. Zamień liczbę 0,01

na 0,010. Odp. 0,005

√2 mm.]

Ćwiczenie

: Przekątna kwadratu ma długość 20

√7 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu?

[Odp. 10

√14 cm.]

Ćwiczenie

: Przekątna kwadratu ma długość 6

√7 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu?

[Odp. 3

√14 cm.]

Ćwiczenie

: Przekątna kwadratu ma długość 42

√13 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu?

[Odp. 21

√26 cm.]

Zauważ teraz, że wzór o którym mowa wyżej, można zapisać także w postaci:

∙

√2

co oznacza, że

długość boku kwadratu wylicza się mnożąc

połowę długości przekątnej

przez

√2

Przekątna — odcinek w wielokącie łączący dwa wierzchołki nie sąsiadujące ze sobą.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 8

Jeśli odcinek o długości

oznaczysz literką np.

(połowa długości przekątnej), to powyższy wzór zmieni się w taki:

√2

Zatem, aby obliczyć długość boku kwadratu, znając połowę długości przekątnej, wystarczy tyl-
ko pomnożyć ją przez

√2. Dlaczego tak się dzieje pokazuje rysunek obok — odcinek AB to

przekątna kwadratu ALBS. Skoro kwadrat ALBS ma bok o długości

, to jego przekątna, w myśl

wzoru który został napisany na początku tego tematu musi mieć długość

√2.

To jeszcze nie wszystko co widać z tego rysunku. Przyjrzyj się, że pole trójkąta ABC jest równe
połowie pola kwadratu:

△

a jego obwód:

. = 2 + √2

Ćwiczenie

: Odcinek łączący środek kwadratu z jego wierzchołkiem ma długość 3 cm. Jaką długość ma bok tego

kwadratu?

[Odp. 3

√2 cm.]

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC, opuszczono wysokość na najdłuższy bok. Jakie dłu-

gości mają boki tego trójkąta, jeśli wysokość ta ma długość 9 cm?

[Odp. 9

√2 cm, 9√2 cm, 18 cm.]

No dobrze. Już coś wiesz, ale mieliśmy mówić o jakichś związkach miarowych, a do tej pory nawet o nich nie wspo-
mniałem. Nie było to przypadkowe.

W związkach miarowych w trójkącie prostokątnym o kątach 45˚, 45˚, 90˚ chodzi

o to, żeby w oparciu o długość jednego boku takiego trójkąta i znajomość jednego kąta ostrego, wyliczyć długości
dwóch pozostałych boków, bez stosowania twierdzenia Pitagorasa

Wyliczenia o których mowa robi się bardzo łatwo, jeśli najpierw dopatrzysz się tego, że ów trójkąt to połowa kwa-
dratu i w myślach dorysujesz w sposób poprawny 2 odcinki, które dadzą Ci poszukiwany kwadrat.

Zadanie:

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie ostrym 45˚. Jaką długość ma jego przeciwprostokątna, jeśli jed-

na z przyprostokątnych ma długość 8 cm? Obliczenia wykonaj bez stosowania tw. Pitagorasa.

Zauważasz, że trójkąt ten to połowa kwadratu.

Dorysowujesz jego lustrzane

odbicie zawsze względem najdłuższego boku w taki sposób

by powstał kwadrat. Na rysunku obok, odbicie to zaznaczyłem przerywaną linią.

Długość boku powstałego kwadratu oznaczasz przez a. Jest to jednocześnie długość
przyprostokątnej AB (oraz BC), która w myśl treści zadania ma długość 8 cm.

Zauważasz, że przeciwprostokątna trójkąta ABC (najdłuższy bok tego trójkąta, czyli bok
AC), to przekątna otrzymanego kwadratu.

Długość przekątnej kwadratu oznaczasz przez

Wykorzystujesz wzór na długość przekątnej kwadratu:

√2 .

Ponieważ z treści zadania

= 8 cm, więc

= 8√2 cm.

Odpowiedź. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8

√2 cm.

Więcej było mojego komentarza w tym zadaniu niż obliczeń. Zauważ, że obliczenia zajęły tylko 1 linijkę i polegały wyłącznie na napisaniu liczby 8 zamiast literki

Pisząc o lustrzanym odbiciu mam na myśli symetrię względem prostej zawierającej najdłuższy bok tego trójkąta. Więcej o symetriach

przeczytasz w oddzielnym opracowaniu.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 9

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym równoramiennym, krótsze boki mają długość po 4 cm. Jaką długość ma naj-

dłuższy bok tego trójkąta?

[Odp. 4

√2 cm.]

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych po 45˚, najkrótsze boki mają długość po 8 cm. Jaką długość

ma najdłuższy bok tego trójkąta?

[Odp. 8

√2 cm.]

Ćwiczenie

: W trójkącie o kątach 90˚, 45˚, 45˚ boki leżące przy kącie prostym mają długość po 3,2 cm. Jaką długość

ma bok leżący naprzeciw kąta prostego?

[Odp. 3,2

√2 cm.]

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 45˚, jedna z przyprostokątnych ma długość 57 mm. Ile cen-

tymetrów ma długość przeciwprostokątnej?

[Odp. 5,7

√2 cm.]

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym równoramiennym, wysokość opuszczona na przyprostokątną ma długość

15 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta?

[Odp. 15

√2 cm.]

Zadanie:

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie ostrym 45˚. Jakie długości mają przyprostokątne tego trójkąta,

jeśli przeciwprostokątna ma długość 8 cm? Obliczenia wykonaj bez stosowania tw. Pitagorasa.

Zauważasz, że trójkąt ten to połowa kwadratu.

Dorysowujesz jego lustrzane odbicie zawsze względem najdłuższego boku, tak by powstał
kwadrat. Na powyższym rysunku, odbicie to zaznaczyłem przerywanymi liniami.

Długość boku powstałego kwadratu oznaczasz przez a. Jest to jednocześnie poszukiwana
długość przyprostokątnej trójkąta ABC.

Zauważasz, że przeciwprostokątna trójkąta ABC (najdłuższy bok tego trójkąta), to przekątna
AC otrzymanego kwadratu.

Długość przekątnej kwadratu oznaczasz przez

Z treści zadania wiesz, że

= 8 cm

Stosujesz wzór na długość przekątnej kwadratu:

√2 pisząc zamiast liczbę 8 (patrz

punkt 6). Zatem:

8 =

√2 /∙ √2

√2 = 2 /: 2

√2 =

Spostrzegasz, że obie przyprostokątne są bokami kwadratu, więc mają tą samą długość.

Udzielasz odpowiedź, gdyż w treści zadania było zadane pytanie.

Odpowiedź. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości po 4

√2 cm.

W powyższym zadaniu, poszukiwaną długość boku można było od razu wyliczyć wykorzystując wzór:

∙

√

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym równoramiennym długość najdłuższego boku wynosi 16 cm. Jakie są długo-

ści dwóch pozostałych boków?

[Odp. 8

√2 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym równoramiennym, długość przeciwprostokątnej wynosi 14 cm. Jakie długo-

ści mają przyprostokątne tego trójkąta?

[Odp. 7

√2 cm, 7√2 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych po 45˚ bok leżący naprzeciw kąta prostego ma długość

8 cm. Jakie długości mają pozostałe boki tego trójkąta?

√2 cm

Ćwiczenie

: Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym wynosi 5 cm. Jakie długości

mają boki tego trójkąta?

[Podpowiedź. Środek okręgu opisanego na dowolnym trójkącie prostokątnym leży zawsze w połowie

przeciwprostokątnej. Odp.

√2 cm, 5√2 cm, 10 cm.]

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 10

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym ABC o kącie ostrym 45˚ opuszczono wysokość na przeciwprostokątną. Jakie

są długości boków trójkąta ABC, jeśli długość tej wysokości wynosi 5

√13 cm? [Odp.

√26 cm, 5√26 cm,

√13 cm]

Ćwiczenie

: Ile wynosi pole i obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego w którym najdłuższy bok ma dłu-

gość 9 cm?

[P = 20,25 cm

, Obw. = 9 + 9

√2 cm.]

Ćwiczenie

: Trójkąt równoramienny ABC, gdzie ∢A = 90˚ przekształcono przez jednokładność w skali k = 4 wzglę-

dem wierzchołka A na trójkąt AEF. Oblicz pole i obwód trójkąta ABC, jeśli odległość między punktami
E i F wynosi 12 cm.

[P = 2,25 cm

, Obw. = 3 + 3

√2 cm.]

Ćwiczenie

: Droga wznosi się pod kątem 45˚. O ile metrów wzniesie się kierowca jadący tą drogą po przejechaniu

112 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych.

[Odp. 79,20 m]

Ćwiczenie

: Jaką odległość pokonał kierowca jadący drogą wznoszącą się pod kątem 45˚, jeśli wzniósł się o 12 m?

Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych.

[Odp. 17,0 m.]

Ćwiczenie

: W pewnym miejscu spadek terenu wynosi 45˚. Jaka jest długość tego spadku, jeśli jego wysokość ma

23 m? Wynik zaokrąglij do rzędu jedności.

[Odp. 33 m.]

Zadanie:

Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych po 45˚. Jaka jest długość podstawy dolnej tego

trapezu, jeśli długości jego ramion wynoszą po 2 m, a długość krótszej podstawy wynosi 1 m? Wynik za-
okrąglij do rzędu części setnych.

Rozwiązanie:

Z górnych wierzchołków trapezu prowadzę dwie wysokości: DE i CF. Dzięki temu widzę, że:

|!"| = || = 1 m

oraz, że trójkąty AED i BFC to połówki kwadratów.

Zatem ze wzoru na długość prze-
kątnej kwadratu:

|!|√2

2 m =

|!|√2 /∙ √2

√2 m = 2|!| /: 2

√2 m = |!|

Można też było wykorzystać wzór:

|| =

√2

co dałoby ten sam wynik, ale znacznie szybciej.

Ponieważ

|"| = |!| więc:

|"| = √2 m

|| = |!| + |!"| + |"|

|| = √2 + 1 + √2 m = 1 + 2√2 m ≈ 3,8284 m ≈ 3,83 m

Odpowiedź. Długość podstawy dolnej tego trapezu wynosi około 3,83 m.

Uwaga.

Jeśli wynik działania wychodzi z użyciem znaku + lub –, i chcesz do niego dopisać jednostki, np. metry, to
cały wynik należy ująć w nawias.

Innymi słowy należy pisać: 1

+ 2

√2

lub

1 + 2

√2

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 11

Uwaga. Jeśli w zadaniu trzeba zaokrąglić

wynik, to zawsze chodzi o wynik końcowy zadania. Nie wolno zaokrąglać

wyników otrzymywanych w trakcie obliczeń.

Uwaga. Jeśli w treści zadania jest powiedziane, że obliczony wynik należy zaokrąglić, to najpierw należy go precy-

zyjnie obliczyć np. przy pomocy kalkulatora i dopiero wówczas dokonać żądanego zaokrąglenia. Nie wolno
robić czegoś takiego, że najpierw zaokrąglamy część otrzymanego wyniku końcowego np. sam

√2 a dopiero

potem mnożymy go przez jakąś liczbę. Zobaczmy, że gdybyśmy w zadaniu powyższym najpierw zaokrąglili
√2 do rzędu części setnych, to otrzymalibyśmy, że: || ≈ 1 + 2 ∙ 1,41 m ≈ 3,82 m, a nie 3,83 m.

Uwaga. Zaokrąglanie części wyniku końcowego, jak pokazuje to powyższa uwaga, można robić tylko wtedy, gdy

w treści zadania jest napisane żeby przyjąć zamiast

√2 liczbę np. 1,41.

Ćwiczenie

: Przekrój poprzeczny koryta rzeki jest trapezem o kątach ostrych po 45˚. Jaka jest wysokość tego koryta,

jeśli długość jego boku wynosi 4 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych.

[Odp. 2,8 m.]

Ćwiczenie

: Oblicz obwód trapezu prostokątnego w którym kąt ostry ma miarę 45˚, dłuższa podstawa ma długość

13 cm, a krótsza 7 cm.

[Odp.

26 + 6√2 cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 45˚, długość wysokości wynosi 3 cm, a krótsza podstawa ma

długość 6 cm. Oblicz długości pozostałych boków tego trapezu.

[Odp. 3

√2 cm, 9 cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 45˚, obwód jest równy

14 + 5√2 cm, a podstawa dolna jest

3,5 razy dłuższa od podstawy górnej. Oblicz długości boków tego trapezu.

[Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich

boków od długości krótszej podstawy. Odp. 2 cm, 5 cm, 7 cm, 5

√2 cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 45˚, obwód jest równy

22√10 + 4√5 cm, a stosunek pod-

stawy dolnej do górnej wynosi 11 : 9. Oblicz długości boków tego trapezu.

[Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich

boków od jednej zmiennej. Odp. 2

√10 cm, 9√10 cm, 11√10 cm, 4√5 cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym ABCD kąty przy wierzchołkach A, C, D są proste. Jakie długości mają boki tego

trapezu, jeśli wiadomo, że jedna z przekątnych jest nachylona do podstawy pod kątem 45˚ i ma długość
5 cm?

[Odp. 4 × 2,5

√2 cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie równoramiennym kąt rozwarty ma 135˚. Jedna z jego podstaw ma długość 16 cm, a druga

jest od niej dłuższa o 15%. Oblicz obwód i pole tego trapezu.

[Odp.

. = 34,4 + 2,4√2 cm, = 20,64 cm

Zadanie:

Przez środki okręgów o promieniach 2 cm i 6 cm poprowadzono prostą, która przecina styczną do tych
okręgów pod kątem 45˚ w punkcie leżącym między tymi okręgami. Ile wynosi odległość między środ-
kami tych okręgów?

Rozwiązanie

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku, mam, że

∢

BSD = ∢ASC = 45˚ (kąty wierzchołkowe).

Wiedząc, że kąt między promieniem poprowadzonym do punk-
tu styczności, a styczną zawsze wynosi 90˚, otrzymujesz, że trój-
kąt ASC ma kąty o miarach: 45˚, 45˚, 90˚. Analogicznie z trójką-
tem SBD. Oznacza to, że:

|#| = ||√2 = 2√2 cm

|#| = ||√2 = 6√2 cm

Zatem:

|| = |#| + |#| = 2√2 + 6√2 cm = 8√2 cm

Odpowiedź. Odległość między środkami tych okręgów wynosi 8

√2 cm.

O zaokrąglaniu liczb możesz przeczytać w oddzielnym opracowaniu.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 12

Ćwiczenie

: W okręgu o promieniu 0,5 cm poprowadzono dwie średnice: AC i BD przecinające się pod kątem 90˚.

Oblicz pole i obwód czworokąta ABCD.

[Odp.

. = 2√2 cm, = 0,5 cm

Ćwiczenie

: Prosta łącząca środki dwóch okręgów o promieniach r = 5 cm i R = 40 cm przecina się ze styczną do

tych okręgów pod kątem 45˚. Oblicz jaka jest odległość między środkami tych okręgów. Rozpatrz dwa
przypadki tj. gdy punkt przecięcia tych prostych leży poza tymi okręgami oraz między nimi.

[Podpowiedź.

W jednym z przypadków dopatrz się jednokładnych kwadratów i od długości przekątnej większego z nich odejmij długość przekątnej
mniejszego z nich. Odp. 35

√2 cm. W drugim przypadku wykorzystaj wiedzę o kątach wierzchołkowych i o kącie między promieniem okrę-

gu a punktem styczności. Odp. 45

√2 cm.]

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 13

Temat: Związki miarowe w trójkącie o kątach: 30˚, 60˚, 90˚.

W związkach miarowych o których mowa w tym temacie, podobnie jak przy trójkącie o kątach 45˚, 45˚, 90˚ chodzi
o to, by znając długość jednego z boków takiego trójkąta i miarę jednego kąta ostrego, wyliczyć długości dwóch po-
zostałych boków, także bez stosowania twierdzenia Pitagorasa.

Nim zacznę szczegółowo omawiać trójkąt o kątach 30˚, 60˚, 90˚ przyjrzyj się dokładnie poniższemu trójkątowi rów-
nobocznemu.

Zauważ, że narysowana w nim wysokość podzieliła dany trójkąt równoboczny na dwa
przystające  (identyczne)  trójkąty,  z  których  każdy  ma  kąty  o  miarach:  30˚,  60˚,  90˚.
Zatem, mówiąc o związkach miarowych w trójkącie o takich kątach, będziesz za każ-
dym  razem  doszukiwać  się  trójkąta  równobocznego,  a  nie  kwadratu  jak  to  było
w poprzednim temacie. Tym razem jednak, lustrzane odbicie będziesz wykonywać po
tej  stronie,  po  której  występuje  kąt  prosty,  czyli  symetrycznie  względem  dłuższej
przyprostokątnej.

Zadanie:

Dany jest trójkąt prostokątny ABC w którym kąt przy wierzchołku B ma miarę 60˚, a krótsza jego przypro-

stokątna ma długość 5 cm. Jakie długości mają dwa pozostałe boki tego trójkąta?

Zauważasz, że trójkąt ABC ten to połowa trójkąta równobocznego DBC.

Dorysowujesz jego lustrzane odbicie zawsze względem dłuższej przyprostokątnej.

Długość boku powstałego trójkąta równobocznego oznaczasz przez

|| =

Jest to jednocześnie długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC, czyli najdłuższego
jego boku.

Zauważasz, że krótsza przyprostokątna trójkąta ABC, to połowa boku trójkąta równobocznego DBC.

Zatem:

5 cm =

|| /∙ 2

|| =

Spostrzegasz, że dłuższa przyprostokątna trójkąta ABC, to wysokość ℎ trójkąta równobocznego DBC. W opar-
ciu o wzór:

ℎ =

√3

wyliczasz, że:

ℎ =

√3

ℎ = 5

√3 cm

Udzielasz odpowiedź, gdyż w treści zadania było zadane pytanie.

Odpowiedź. Dwa pozostałe boki tego trójkąta mają długość 10 cm i 5

√3 cm.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 14

Zadanie:

Dany jest trójkąt prostokątny ABC w którym kąt przy wierzchołku B ma miarę 90˚, a dłuższa jego przypro-

stokątna ma długość 8 cm. Jakie długości mają dwa pozostałe boki tego trójkąta?

Zauważasz, że trójkąt ABC to połowa trójkąta równobocznego ADC.

Dorysowujesz jego lustrzane odbicie zawsze względem dłuższej przyprostokątnej.

Długość boku powstałego trójkąta równobocznego ADC oznaczasz przez

|| =

Jest to jednocześnie długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC, czyli najdłuższego je-

go boku.

Zauważasz, że dłuższa przyprostokątna trójkąta ABC, jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego
ADC i z treści zadania ma ona długość 8 cm.

Wykorzystując wzór na wysokość trójkąta równobocznego:

ℎ

√3

oraz to, że ℎ =

cm, masz, że:

8 =

√3

/∙ 2

16 =

√3 /∙ √3

√3 = 3 /: 3

√3

Spostrzegasz, że krótsza przyprostokątna trójkąta ABC, to połowa boku trójkąta równobocznego ADC.

|| =

∙ 8 = 4 cm

Odp.: Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość

√

cm, zaś krótsza jego przyprostokątna ma długość 4 cm.

Zadanie:

Dany jest trójkąt prostokątny ABC w którym kąt przy wierzchołku B ma miarę 30˚, a dłuższa jego przypro-

stokątna ma długość 4

√5 cm. Jakie długości mają dwa pozostałe boki tego trójkąta?

Zauważasz, że trójkąt ABC to połowa trójkąta równobocznego CDB.

Dorysowujesz jego lustrzane odbicie zawsze względem dłuższej przyprostokątnej.

Długość boku powstałego trójkąta równobocznego oznaczasz przez

|| =

Jest to jednocześnie długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC, czyli najdłuższego

jego boku.

Zauważasz, że dłuższa przyprostokątna trójkąta ABC, to wysokość ℎ trójkąta równobocznego DBC i w myśl
treści zadania ma ona długość 4

√5 cm. Zatem ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, masz, że:

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 15

ℎ =

√3

√5 = √

/∙ 2

√5 = √3 /∙ √3

√15 = 3 /: 3

√15

Ponieważ

|| =

więc:

|| =

∙

√15

|| =

√15

Odpowiedź: Pozostałe boki tego trójkąta mają długości:

√

cm i

√

cm.

Zobacz teraz jak krótkie jest rozwiązywanie tego typu zadań bez komentarza słownego.

Zadanie:

Kąt nachylenia wydmy piaskowej na pustyni wynosi 30˚. Jaka jest wysokość tej wydmy, jeśli długość jej

zbocza wynosi 420 m?

Rozwiązanie

|| =

∙ 420 m = 210 m

Odpowiedź: Po przejechaniu 420 m, kierowca wzniesie się o 210 m.

Zadanie:

Skarpa jest nachylona pod kątem 60˚ do podłoża. Jaka jest wysokość tej skarpy, jeśli długość jej zbocza

wynosi 420 m? Wynik zaokrąglij do rzędu jedności, przyjmując, że

√3 ≈ 1,73.

Rozwiązanie

|| = √

∙

|| = √

∙ 420 m = 210

√3

≈

m ≈ 210 ∙ 1,73 ≈ 363 m

Odpowiedź: Po przejechaniu 420 m, kierowca wzniesie się mniej więcej o 363 metry.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 16

Uwaga. Należy zwracać uwagę na to, czy w treści zadania jest podane zaokrąglenie pierwiastka, czy nie. Jeśli nie, to

najpierw trzeba zapisać wynik z symbolem pierwiastka i np. za pomocą kalkulatora podać jego przybliżenie.
Jeśli zaś w treści zadania jest podane przybliżenie pierwiastka, to po otrzymaniu wyniku końcowego, trzeba
dany pierwiastek zastąpić liczbą która jest w treści zadania, a nie jej odpowiednikiem z kalkulatora.

Wnioski z tego tematu:

Jeśli w trójkącie o kątach 30˚, 60˚, 90˚ długość najkrótszego boku oznaczymy przez

, to dłu-

gość najdłuższego z nich będzie wynosić 2

, zaś trzeciego √3.

Jeśli w trójkącie o kątach 30˚, 60˚, 90˚ długość najdłuższego boku oznaczymy przez

, to dłu-

gość najkrótszego z nich będzie wynosić

, zaś trzeciego

√

Ćwiczenie

: Dany jest trójkąt równoboczny ADC w którym |AC| = 8 cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójką-

ta?

[Odp. 4

√3 cm]

Ćwiczenie

: Dany jest trójkąt równoboczny ADC w którym |AC| = 3,6 cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójką-

ta?

[Odp. 1,8

√3 cm]

Ćwiczenie

: Dany jest trójkąt równoboczny ADC w którym |AC| =

√3 cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójką-

ta?

[Odp. 1,5 cm]

Ćwiczenie

: Dany jest trójkąt równoboczny ADC w którym |AC| =

cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójkąta?

[Odp.

√

cm]

Ćwiczenie

: Wysokość CB trójkąta równobocznego ADC wynosi 8 cm. Jaką długość ma bok tego trójkąta? Jaką dłu-

gość ma odcinek AB?

[Odp.

√

cm]

Ćwiczenie

: Wysokość CB trójkąta równobocznego ADC wynosi 3,6 cm. Jaką długość ma bok tego trójkąta? Jaką

długość ma odcinek AB?

[Odp. 2,4

√3 cm]

Ćwiczenie

: Wysokość CB trójkąta równobocznego ADC wynosi

√3 cm. Jaką długość ma bok tego trójkąta? Jaką

długość ma odcinek AB?

[Odp. 2 cm]

Ćwiczenie

: Wysokość CB trójkąta równobocznego ADC wynosi

cm. Jaką długość ma bok tego trójkąta? Jaką dłu-

gość ma odcinek AB? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych, przyjmując, że

√3 ≈ 1,73.

[Odp. 0,5 cm; 0,2 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie równobocznym ADC, połowa długości podstawy wynosi 6 cm. Jaką długość ma wysokość

CB tego trójkąta?

[Odp. 6

√3 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie równobocznym ADC, połowa długości podstawy wynosi 4,8 cm. Jaką długość ma wysokość

CB tego trójkąta?

[Odp. 4,8

√3 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie równobocznym ADC, połowa długości podstawy wynosi

cm. Jaką długość ma wysokość

CB tego trójkąta? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych, przyjmując, że

√3 ≈ 1,73.

[Odp. 0,79 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie o kątach 30˚, 60˚, 90˚ najdłuższy bok ma długość 12 cm. Jakie długości mają pozostałe boki

tego trójkąta?

[Podpowiedź. Dorysuj do niego w drugi identyczny trójkąt w taki sposób, by powstał trójkąt równoboczny. Odp. 6 cm, 6

√3 cm]

Ćwiczenie

: Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC wynosi 30˚. Ile wynosi obwód tego trójkąta, jeśli

długość jego przeciwprostokątnej jest równa 20 cm?

[Odp.

30 + 10√3 cm]

Ćwiczenie

: Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC wynosi 60˚. Ile wynosi obwód tego trójkąta, jeśli

długość jego przeciwprostokątnej jest równa 4

√5 cm?

[Podpowiedź.

√5 ∙ √3 = √15. Odp. 6√5 + 3√15 cm]

Ćwiczenie

: Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC wynosi 60˚. Ile wynosi obwód tego trójkąta, jeśli

długość jego przeciwprostokątnej jest równa 5

√3 cm?

[

7,5 + 7,5√3 cm]

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 17

Ćwiczenie

: W trójkącie o kątach 30˚, 60˚, 90˚ najkrótszy bok ma długość 4 cm. Jakie długości mają pozostałe boki

tego trójkąta?

[Podpowiedź. Dorysuj do niego w drugi identyczny trójkąt w taki sposób, by powstał trójkąt równoboczny. Odp. 4

√3 cm, 8 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie ABC, kąt przy wierzchołku A wynosi 90˚, a przy wierzchołku B jest równy 30˚. Jaką długość

ma odcinek AB, jeśli |AC| = 17 cm?

[Odp. 8,5

√3 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie ABC, kąt przy wierzchołku A wynosi 90˚, a przy wierzchołku B jest równy 30˚. Jaką długość

ma odcinek AB, jeśli |AC| = 5

√6 cm?

[Podpowiedź.

√6 ∙ √3 = √18 = √9 ∙ √2 = 3√2. Odp. 5√2 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie o kątach 90˚, 30˚, 60˚ krótsza przyprostokątna ma długość

√7 cm. Ile wynosi obwód tego

trójkąta?

[Odp.

√7 +

√21 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 60˚, wysokość opuszczona na krótszą przyprostokątną ma

długość 6 cm. Jakie długości mają boki tego trójkąta?

[Odp. 4

√3 cm; 2√3 cm; 6 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 60˚, wysokość opuszczona na krótszą przyprostokątną ma

długość 6

√11 cm. Jakie długości mają boki tego trójkąta?

[Odp. 6

√11 cm, 4√33 cm, 2√33 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 60˚, wysokość opuszczona na dłuższą przyprostokątną ma

długość 18 cm. Jakie długości mają boki tego trójkąta?

[Odp. 18 cm, 12

√3 cm, 6√3 cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 60˚, wysokość opuszczona na dłuższą przyprostokątną ma

długość 7

√13 cm. Jakie długości mają boki tego trójkąta?

[Odp. 7

√13 cm,

√

cm,

√

cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie o kątach 30˚, 60˚, 90˚ bok leżący naprzeciw kąta 60˚ ma długość 10 cm. Jakie długości mają

pozostałe boki tego trójkąta?

[Odp. 10 cm,

√

cm,

√

cm]

Ćwiczenie

: W trójkącie o kątach 30˚, 60˚, 90˚ bok leżący naprzeciw kąta 30˚ ma długość 10 cm. Jakie długości mają

pozostałe boki tego trójkąta?

[Odp. 10 cm, 20 cm, 10

√3 cm]

Zadanie:

W trójkącie równoramiennym kąt rozwarty ma miarę 120˚. Ile wynosi pole i obwód tego trójkąta, jeśli

wiadomo, że długość ramienia wynosi 1 cm?

Rozwiązanie

|| =

|| = ||√3

|| =

√3 cm

|| = 2|| = 2 ∙

√3 cm = √3 cm

|| = √3 cm

|| ∙ ||

∙

√3 cm ∙

cm =

√3

≈ 0,43 cm

= 0,25√3 cm

. = || + 2||

. = √3 cm + 2 ∙ 1 cm = √3 + 2 cm ≈ 3,73 cm

. = 2 + √3 cm

Odpowiedź. Pole tego trójkąta wynosi 0,25

√3 cm

a obwód

2 + √3 cm.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 18

Uwaga. Zadanie można było rozwiązać bez konieczności wyliczania długości odcinka CD. Jeśli zauważysz, że pole

dwóch trójkątów o kątach 30˚, 60˚, 90˚ jest równe polu trójkąta równobocznego o boku

||, to do wyli-

czenia pola można było skorzystać ze wzoru:

√

||. Aby zaś obliczyć długość odcinka DB w celu wyli-

czenia obwodu, można było wykorzystać wzór:

|| =

√

||.

Ćwiczenie

: W trójkącie o kątach 120˚, 30˚, 30˚ najdłuższy bok ma długość 9 cm. Ile wynosi pole i obwód tego trój-

kąta?

[Podpowiedź. Narysuj w tym trójkącie wysokość opuszczoną na najdłuższy bok. Jakie kąty mają powstałe trójkąty? Odp.

. = 9 + 6√3 cm, = 6,75√3 cm

Ćwiczenie

: W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami wynosi 120˚. Ile wynosi pole i obwód tego trójką-

ta, jeśli dwusieczna kąta rozwartego dzieli przeciwległy bok na 2 odcinki po 3

√5 cm?

[Podpowiedź.

√5 ∙ √3 = √15. Odp. . = 2√15 + 6√5 cm, = 3,75√3 cm

Ćwiczenie

: Dany jest sześciokąt mający przy każdym wierzchołku kąt 120˚. Jakie jest pole tego sześciokąta, jeśli

długość promienia okręgu opisanego na nim wynosi 7 cm?

[Podpowiedź. Połącz wszystkie przeciwległe wierzchołki. Jakie kąty

mają powstałe trójkąty? Odp.

= 73,5√3 cm

Ćwiczenie

: Dany jest sześciokąt mający przy każdym wierzchołku kąt 120˚. Jakie jest pole tego sześciokąta, jeśli

długość promienia okręgu wpisanego w niego wynosi 7 cm?

[Podpowiedź. Połącz wszystkie przeciwległe wierzchołki. Jakie

kąty mają powstałe trójkąty? Odp.

= 98√3 cm

]

Ćwiczenie

: Kąt ABC = 120˚. Ile wynosi odległość między punktami A i C jeśli |AB| = |BC| = 15 cm?

[Odp.

7,5√3 cm]

Ćwiczenie

: Kąt ABC = 120˚. Ile wynosi odległość między punktami A i C jeśli |AB| = |BC| = 11

√7 cm?

[Odp.

5,5√21 cm]

Ćwiczenie

: Kąt ABC = 120˚. Ile wynosi odległość od punktu B do prostej AC, jeśli |AB| = |BC| = 13 cm?

[Odp.

6,5√3 cm]

Ćwiczenie

: Kąt ABC = 120˚. Ile wynosi odległość od punktu B do prostej AC, jeśli |AB| = |BC| = 8

√10 cm?

[Odp.

4√30 cm]

Ćwiczenie

: Trójkąt równoramienny ABC w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 120˚, przekształcono jednokład-

nie względem wierzchołka C na trójkąt DEC. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC, jeśli skala jednokład-
ności

= 3, a |DE| = 12 cm?

[

√

. = 4 +

√

cm]

Ćwiczenie

: Trójkąt równoramienny ABC w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 120˚, przekształcono jednokład-

nie względem wierzchołka C na trójkąt DEC. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC, jeśli skala jednokład-
ności

= 3, a |CD| = 3 cm?

[Podpowiedź.

||
||

. Odp. = 0,25√3 cm

. = 2 + √3 cm]

Ćwiczenie

: Trójkąt równoramienny ABC w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 120˚, przekształcono jednokład-

nie względem wierzchołka C na trójkąt DEC. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC, jeśli skala jednokład-
ności

= 3, a |AD| = 6 cm?

[Podpowiedź.

||||

. Odp. = 2,25√3 cm

. = 6 + 3√3 cm]

Zadanie:

W trójkącie rozwartokątnym ABC, kąt przy wierzchołku C ma miarę 120˚, |AC| = 5 cm, |BC| = 7 cm. Oblicz

pole i obwód tego trójkąta.

[Podpowiedź. Przedłuż bok AC w taki sposób by móc opuścić na niego wysokość z wierzchołka B. Jakie

kąty ma dorysowany trójkąt? Ile wynosi jego pole? Do wyliczenia najdłuższego boku trójkąta ABC wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa.]

Rozwiązanie

△

−

△

|| =

|| = || ∙ √3 =

√3 cm

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 19

|| = || + || = 5 cm +

cm =

cm +

cm =

△

|| ∙ ||

△

∙

cm ∙

√3 cm =

119

√3

△

√3

△

√3

∙

cm =

√3

△

119

√3

−

√3

119

√3

−

√3

105

√3

≈ 22,73 cm

√3 cm&

867

147

1014

|| = √

1014

√4

cm =

√1014

. = || + || + ||

. = √

1014

cm + 7 cm + 5 cm =

'12 + √

1014

( cm ≈ 27,92 cm

Odpowiedź. Pole tego trójkąta wynosi

√

a obwód

12 +

√

cm.

Zadanie:

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30˚ i 60˚ wynosi 5 cm. Jakie długo-

ści mają boki tego trójkąta?

[Podpowiedź. Środek okręgu opisanego na dowolnym trójkącie prostokątnym leży zawsze w połowie

przeciwprostokątnej.]

Rozwiązanie

|| = 2|#| = 10 cm

|| =

|| = 5 cm

|| = || ∙ √3 = 5√3 cm

Odpowiedź. Długości boków tego trójkąta to: 10 cm, 5 cm, 5

√3 cm.

W zadaniu powyższym długość odcinka AB można było szybciej wyliczyć gdyby zawczasu zauważyć, że trójkąt SAB

jest równoboczny → △CAS jest równoramienny, więc ∢SCA = ∢CAS = 30˚. Zatem ∢SAB = ∢CAB – ∢CAS = 60˚ lub
równoważnie: |AS| = |SB| i ∢SBA = 60˚, więc ∢SAB = 60˚ oraz ∢ASB = 60˚ co oznacza że △ABS jest równoboczny.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 20

Ćwiczenie

: Ile wynosi pole i obwód trójkąta prostokątnego o kącie ostrym 30˚ jeśli najkrótszy bok ma długość

9 cm?

[

= 81√3 cm

. = 27 + 9√3 cm]

Ćwiczenie

: Ile wynosi pole i obwód trójkąta prostokątnego o kącie ostrym 30˚ jeśli najdłuższy bok ma długość

9 cm?

[

= 20,25√3 cm

. = 13,5 + 4,5√3 cm]

Ćwiczenie

: Trójkąt ABC, gdzie ∢A = 90˚, ∢B = 30˚ przekształcono przez jednokładność w skali k = 4 względem

wierzchołka A na trójkąt AEF. Oblicz pole i obwód trójkąta ABC, jeśli odległość między punktami E i F
wynosi 12 cm.

[

= 2,25√3 cm

. = 4,5 + 1,5√3 cm]

Ćwiczenie

: Jaką odległość pokonał kierowca jadący drogą wznoszącą się pod kątem 30˚, jeśli wzniósł się o 12 m?

Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych.

[Odp. 24,0 m]

Ćwiczenie

: Jaką odległość pokonał kierowca jadący drogą wznoszącą się pod kątem 60˚, jeśli wzniósł się o 8 m?

Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych.

[Odp. 9,2 m]

Ćwiczenie

: W pewnym miejscu spadek terenu wynosi 30˚. Jaka jest długość tego spadku, jeśli jego wysokość ma

23 m? Wynik zaokrąglij do rzędu jedności.

[Odp. 26 m]

Ćwiczenie

: W pewnym miejscu spadek terenu wynosi 60˚. Jaka jest długość tego spadku, jeśli jego wysokość ma

10 m? Wynik zaokrąglij do rzędu jedności.

[Odp. 12 m]

Zadanie:

Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych 30˚ i 60˚. Jaka jest długość podstawy dolnej

tego trapezu, jeśli jego wysokość wynosi 2 m a długość krótszej podstawy wynosi 3 m? Wynik zaokrąglij
do rzędu części setnych.

Z wierzchołków D i C opuszczam wysokości DE i CF na najdłuższą podstawę. Spostrzegam, że trójkąty AGD
i CHB są równoboczne.

Rozwiązanie

|!"| = || = 3 m

|!| = |!| ∙ √3

2 m =

|!| ∙ √3 /∙ √3

√3 m = 3|!| /: 3

√3

m =

|!|

|"| = |!| = 2 m

|"| = |"|√3

|"| = 2√3 m

|| = |!| + |!"| + |"|

|| =

√3

m + 3 m + 2

√3 m =

√3

m +

√3

m =

9 + 8

√3

m ≈ 7,62 m

Odpowiedź. Długość podstawy dolnej tego trapezu wynosi około 7,62 m.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 21

Ćwiczenie

: Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych po 30˚. Jaka jest długość podstawy dolnej

tego trapezu, jeśli długości jego ramion wynoszą po 2 m, a długość krótszej podstawy wynosi 1 m? Wy-
nik zaokrąglij do rzędu części setnych.

[Odp. 4,46 m]

Ćwiczenie

: Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych po 60˚. Jaka jest długość podstawy dolnej

tego trapezu, jeśli długości jego ramion wynoszą po 2 m, a długość krótszej podstawy wynosi 1 m? Wy-
nik zaokrąglij do rzędu części dziesiętnych.

[Odp. 3,0 m]

Ćwiczenie

: Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych 30˚ i 60˚. Jaka jest długość podstawy dolnej

tego trapezu, jeśli długości jego ramion mają wynoszą odpowiednio 2 m i 3 m, a długość krótszej pod-
stawy wynosi 1 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych.

[Odp. 4,2 m.]

Ćwiczenie

: Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych 30˚ i 60˚. Jaka jest długość podstawy dolnej

tego trapezu, jeśli jego wysokość wynosi 2,5 m a długość krótszej podstawy wynosi 3,5 m? Wynik za-
okrąglij do rzędu części setnych.

[Odp. 9,27 m]

Ćwiczenie

: Przekrój poprzeczny koryta rzeki jest trapezem równoramiennym o kątach ostrych po 60˚. Ile wynosi

wysokość tego koryta, jeśli długość jego boku wynosi 4 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych.

[Odp. 3,5 m]

Ćwiczenie

: Oblicz obwód i pole trapezu prostokątnego w którym kąt ostry ma miarę 60˚, dłuższa podstawa ma

długość 13 cm, a krótsza 7 cm.

[Odp. Obw. = 44 cm, P = 60

√3 cm

Ćwiczenie

: Oblicz obwód i pole trapezu prostokątnego w którym kąt ostry ma miarę 30˚, dłuższa podstawa ma

długość 13 cm, a krótsza 7 cm.

[Odp. Obw. =

20 + 6√3 cm, P = 20√3 cm

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 30˚, długość wysokości wynosi 3 cm, a dłuższa podstawa ma

długość 6 cm. Oblicz długości pozostałych boków tego trapezu oraz podaj zaokrągloną do rzędu części
setnych długość krótszej podstawy.

[Odp. 6 cm,

6 − 3√3 ≈ 0,80 cm]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 60˚, długość wysokości wynosi 3 cm, a krótsza podstawa ma

długość 6 cm. Oblicz długości pozostałych boków tego trapezu. Ile wynosi obwód tego trapezu, jeśli
przyjmiemy, że

√3 ≈ 1,73?

[Odp.

6 + √3 cm, 2√3 cm, . ≈ 20,19 cm]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 30˚, obwód jest równy

15 + 5√3 cm, a podstawa dolna jest

4 razy dłuższa od podstawy górnej. Oblicz długości boków tego trapezu.

[Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich

boków od długości krótszej podstawy. Odp. 3 cm, 12 cm,

√

cm,

√

cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 60˚, obwód jest równy

33 + 9√3 cm, a podstawa dolna jest

4 razy dłuższa od podstawy górnej. Oblicz długości boków tego trapezu.

[Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich

boków od długości krótszej podstawy. Odp. 3 cm, 12 cm, 9

√3 cm, 18 cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 30˚, obwód jest równy

48 + 12√3 cm, a stosunek podsta-

wy dolnej do górnej wynosi 5 : 3. Oblicz długości boków tego trapezu.

[Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich bo-

ków od jednej zmiennej. Odp. 18 cm, 30 cm, 4

√3 cm, 8√3 cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 60˚, obwód jest równy

72 + 12√3 cm, a stosunek podsta-

wy dolnej do górnej wynosi 5 : 3. Oblicz długości boków tego trapezu.

[Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich bo-

ków od jednej zmiennej. Odp. 18 cm, 30 cm, 24 cm, 12

√3 cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym ABCD kąty przy wierzchołkach A, C, D są proste. Jakie długości mają boki tego

trapezu, jeśli wiadomo, że jedna z przekątnych jest nachylona do podstawy pod kątem 30˚ i ma długość
5 cm?

[Odp. 2 × 2,5

√3 i 2 × 2,5 cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie prostokątnym ABCD kąty przy wierzchołkach A, C, D są proste. Jakie długości mają boki tego

trapezu, jeśli wiadomo, że jedna z przekątnych jest nachylona do podstawy pod kątem 60˚ i ma długość
5 cm?

[Odp. 2 × 2,5

√3 i 2 × 2,5 cm.]

Ćwiczenie

: W trapezie równoramiennym kąt rozwarty ma 150˚. Jedna z jego podstaw ma długość 20 cm, a druga

jest od niej dłuższa o 15%. Oblicz obwód i pole tego trapezu.

[

= 10,75√3 cm

. = 43 + 2√3 cm]

Ćwiczenie

: W trapezie równoramiennym kąt rozwarty ma 150˚. Jedna z jego podstaw ma długość 20 cm, a druga

jest od niej krótsza o 15%. Oblicz obwód i pole tego trapezu.

[

= 9,25√3 cm

. = 37 + 2√3 cm]

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 22

Zadanie:

W okręgu o promieniu 0,5 cm poprowadzono dwie średnice: AC i BD przecinające się pod kątem 60˚.

Oblicz pole i obwód czworokąta ABCD.

[Podpowiedź. Jakie kąty ma trójkąt ABD?]

Ponieważ kąty przy wierzchołkach: A, B, C, D opierają się na średnicy okręgu, więc
mają po 90˚. Zatem czworokąt ABCD to prostokąt, a średnice AC i BD to jego przekąt-
ne. Ponieważ odcinki SA i SB są równe (promienie okręgu), więc trójkąt ASD jest rów-
noramienny. Skoro kąt między ramionami tego trójkąta wynosi 60˚, więc kąty przy
podstawie AD muszą być równe i wynosić po 60˚. Zatem trójkąt ASD jest równobocz-
ny. Z tego, że kąt ADS wynosi 60˚ i kąt DAB jest równy 90˚ wynika, że kąt ABD ma mia-
rę 30˚. Zatem trójkąt ABD to połowa trójkąta równobocznego DEB.

Rozwiązanie

|| = |#| = 0,5 cm

|| = ||√3 cm = 0,5√3 cm

= || ∙ ||

= 0,5 cm ∙ 0,5√3 cm = 0,25√3 cm

≈ 0,43 cm

. = 2|| + 2||

. = 2 ∙ 0,5

cm + 2 ∙ 0,5

√3 cm = 1 cm + √3 cm = 1 + √3 cm

Odpowiedź. Pole tego czworokąta wynosi 0,25

√3 cm

, a jego obwód

1 + √3 cm.

Ćwiczenie

: Prosta łącząca środki dwóch okręgów o promieniach r = 5 cm i R = 40 cm przecina się ze styczną do

tych okręgów pod kątem 30˚. Oblicz jaka jest odległość między środkami tych okręgów. Rozpatrz dwa
przypadki tj. gdy punkt przecięcia tych prostych leży poza tymi okręgami oraz między nimi.

[Podpowiedź.

Dopatrz się jednokładnych trójkątów równobocznych. Odp. 70 cm lub

√

cm.]

Ćwiczenie

: Ze środka dolnej podstawy trapezu równoramiennego zakreślono okrąg przechodzący przez wszystkie

jego wierzchołki. Ile wynosi obwód i pole tego trapezu w zaokrągleniu do rzędu jedności, jeśli średnica
tego okręgu wynosi 31 cm, a kąt ostry trapezu jest równy 60˚?

[Podpowiedź. Połącz wszystkie wierzchołki tego trapezu

ze środkiem okręgu i poszukaj trójkątów równoramiennych. Jakie kąty mają powstałe trójkąty? Odp. Obw. = 77,5 cm, P ≈ 312 cm

Ćwiczenie

: Krótsza przekątna deltoidu o długości 10 cm, podzieliła go na dwa trójkąty, z których jeden ma wszyst-

kie kąty po 60˚, a drugi ma dwa kąty po 45˚. Ile wynosi obwód tego deltoidu?

[Odp.

20 + 10√2 cm]

Rozwiązując jakiekolwiek zadania z zakresu geometrii, może zdarzyć się również tak, że autor zadania wykona rysu-
nek wraz z oznaczeniami i na jego podstawie trzeba będzie coś policzyć. Może też precyzyjnie opisać jak ma wyglą-
dać taki rysunek i jakie ma mieć oznaczenia. Haczyk tkwi w tym, że może on narzucić inne oznaczenia np. długości
odcinków niż te do których jesteśmy przyzwyczajeni. Może np. oznaczyć długość boku kwadratu np. literką

, pro-

mień okręgu literką przypuśćmy

, a długość wysokości np. trójkąta równobocznego literką . W takim przypadku

przykładowe wzory dla tych figur, będą wyglądać odpowiednio:

= )

√

gdzie to długość boku trójkąta równobocznego.

Bezmyślne stosowanie w takich zadaniach wzorów do których jesteśmy przyzwyczajeni da oczywiście błędne wyniki
i 0 punktów za tak rozwiązane zadanie.

Prześledźmy teraz zadanie, które wymusza na osobie go rozwiązującej zastosowanie wzoru dostosowanego do tre-
ści zadania, a nie takiego do którego się przywykło.

Wersja z dnia 03.05.2011

www.matematyka.strefa.pl

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym — strona 23

Zadanie:

Dany jest trójkąt ABC. Wiedząc, że naprzeciw wierzchołka A jest bok o długości a, naprzeciw B jest bok

o długości b, zaś naprzeciw C jest c, uzupełnij tabelkę wykonując stosowne obliczenia.

∢

A ∢B ∢C

90˚ 60˚ 30˚

√5 cm

b) 30˚ 90˚ 60˚

5 cm

45˚ 45˚ 90˚

√7 cm

Rozwiązanie

Odcinek AC (o długości

) jest wysokością trójkąta równobocznego ABD (o boku długości ). Zatem:

√

lub

|| =

√

√5 cm = √

/∙ 2

√5 cm = √3 /∙ √3

√15 cm = 3 /: 3

√

cm =

Skoro

, więc =

∙

√

cm =

√

Odcinek AB (o długości

) jest wysokością trójkąta równobocznego ADC (o boku długości ). Zatem:

√

lub

|| =

√

5 cm =

√3

/∙ 2

10 cm =

√3 /∙ √3

√3 cm = 3 /: 3

√

cm =

Skoro

, więc =

∙

√

cm =

√

Odcinek AB (o długości

) jest przekątną kwadratu ADBC (o boku długości ). Zatem:

= = 2√7 cm ≈ 5,29 cm
= √2 = 2√7 cm∙√2 = 2√14 cm ≈ 7,48 cm