3bŁ±d funkcji obserwacji

background image










3. Błąd funkcji obserwacji

Wykonywane pomiary pośredniczą zwykle w wyznaczaniu pewnych wielkości nie
poddających się bezpośrednio pomiarowi.

Przykład 1. Pole powierzchni działki w kształcie trapezu jest obliczane na podstawie
pomierzonych długości boków i wysokości (rys. 3.1):

Budynek

b

86.37

:=

m

b

0.01

:=

h

57.22

:=

m

h

0.01

:=

P

a

b

+

(

) h

2

:=

P

5764.91

=

m

2

a

115.13

:=

m

a

0.01

:=

Rys. 3.1

Przykład 2. Metoda biegunowa jest podstawowym sposobem pomiaru szczegółów
terenowych, jak również tyczenia w terenie projektowanych obiektów budowlanych.
Współrzędne

punktu

wyznaczane

na

podstawie

pomiaru

kierunku

α

30

:=

g

,

m

α

10

:=

cc

i odległości

d

100

:=

m,

m

d

5

:=

mm, wykonanego za pomocą tachimetru

ustawionego na punkcie osnowy geodezyjnej B w nawiązaniu do punktu osnowy A (rys.
3.2):












d

A

B

α

P

Budynek

x

y

Współrzędne narożnika budynku P względem punktów
osnowy geodezyjnej A i B:

x

P

d cos α

π

200

:=

y

P

d sin α

π

200

:=

x

P

89.101

=

y

P

45.399

=

Rys. .3.2

Błąd funkcji F = F(x, y) obserwacji x ± m

x

, y

± m

y

oblicza się z definicji m

F

2

= E(F

−EF)

2

przy założeniu, że odchyłka funkcji F

−EF jest równa różniczce zupełnej:

)

(

)

(

Ey

y

y

F

Ex

x

x

F

EF

F

+

=

stąd

2

2

2

2

2

)

(

2

)

(

y

xy

x

F

m

y

F

m

y

F

x

F

m

x

F

m

+

+

=

gdzie

2

2

)

(

Ex

x

E

m

x

=

− wariancja x

2

2

)

(

Ey

y

E

m

y

=

− wariancja y

)

)(

(

Ey

y

Ex

x

E

m

xy

=

− kowariancja między x i y

background image
























Podobnie, z definicji m

FG

= E(F−EF)(G−EG) oblicza się kowariancję błędu funkcji

F(x,y) i G(x,y):

2

2

)

(

y

xy

x

FG

m

y

G

y

F

m

y

G

x

F

x

G

y

F

m

x

G

x

F

m

+

+

+

=

Wzory te dla funkcji wielu obserwacji F(x,y,...,t), G(x,y,...,t), przyjmują postać:

=

t

F

y

F

x

F

m

m

m

m

m

m

m

m

m

t

F

y

F

x

F

m

t

yt

xt

yt

y

xy

xt

xy

x

F

M

L

M

O

M

M

L

L

L

2

2

2

2

C − macierz kowariancji
błędu obserwacji x,y,...,t

f − gradient funkcji

=

t

G

y

G

x

G

m

m

m

m

m

m

m

m

m

t

F

y

F

x

F

m

t

yt

xt

yt

y

xy

xt

xy

x

FG

M

L

M

O

M

M

L

L

L

2

2

2

lub krótko:

T

F

m

fCf

=

T

G

F

FG

m

Cf

f

=

W przypadku pomiarów niezależnych - kowariancje zerowe otrzymuje się:

2

2

2

2

2

2

)

(

...

)

(

)

(

t

y

x

F

m

t

F

m

y

F

m

x

F

m

+

+

+

=

2

2

2

...

t

y

x

FG

m

t

G

t

F

m

y

G

y

F

m

x

G

x

F

m

+

+

+

=

Macierz

=

T

T

T

T

T

G

T

T

F

T

T

G

T

G

G

T

G

F

T

T

F

T

G

F

T

F

F

T

GT

FT

GT

G

FG

FT

FG

F

m

m

m

m

m

m

m

m

m

Cf

f

Cf

f

Cf

f

Cf

f

Cf

f

Cf

f

Cf

f

Cf

f

Cf

f

L

M

O

M

M

L

L

L

M

O

M

M

L

L

2

2

2

nazywana jest macierzą kowariancji błędu funkcji F(x, y,... ,t), G(x, y,...,t),...,T(x, y,...,t).
Zależność między funkcjami F,G,...,T wyraża się często za pomocą macierzy
współczynników korelacji:

background image






















1

1

1

L

M

O

M

M

L

L

GT

FT

GT

FG

FT

FG

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

obliczonych z definicji: m

FG

=

ρ

FG

m

F

m

G

,

|ρ|

1.

W szczególności, przy założeniu jednakowych odchyleń standardowych funkcji

m

F

= m

G

=...= m

T

= m

macierz kowariancji przyjmuje postać:

=

1

1

1

2

2

2

2

L

M

O

M

M

L

L

L

M

O

M

M

L

L

GT

FT

GT

FG

FT

FG

T

GT

FT

GT

G

FG

FT

FG

F

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

Macierz kowariancji błędu funkcji F,G,...,T można rozpatrywać jako macierz kowariancji
wektorowej funkcji F(x) = [F(x), G(x),...,T(x)]

T

obserwacji wielowymiarowej

x = [x, y,...,t]

T

.

Z definicji C

F

= E(F

−EF)(F−EF)

T

, traktując odchyłkę F

−EF jak różniczkę zupełną

funkcji:

)

(

x

x

x

F

F

F

E

E

=

gdzie jakobian

=

=

=

T

G

F

T

G

F

f

f

f

x

x

x

x

F

J

M

M

/

/

/

jest gradientem funkcji F(x), otrzymuje się

T

JCJ

C

F

=

Podobnie jest obliczana macierz kowariancji błędu C

FG

= E(F−EF)(G−EG)

T

funkcji

wektorowych F(x) i G(x)

T
G

F

FG

CJ

J

C

=

gdzie J

F

, J

G

są gradientami funkcji F(x) i G(x).

Stąd, w przypadku funkcji liniowych y = Ax + b, z = Bx + c wektora obserwacji x o
macierzy kowariancji C

x

:

background image








Wzory do obliczania błędu funkcji obserwacji nazywane są

prawem przenoszenia błędów przypadkowych.

C

y

= AC

x

A

T

, C

yz

= AC

x

B

T

, C

z

= BC

x

B

T

Przykład 1 (ciąg dalszy). Błąd pola powierzchni działki wynosi (rys. 3.1):

m

P

h

2





2

m

a

2

h

2





2

m

b

2

+

a

b

+

2





2

m

h

2

+

:=

m

P

1.09

=

m

2

Przykład 2 (ciąg dalszy). Błędy średnie współrzędnych pomierzonego punktu (rys. 3.2)
m

x

, m

y

i kowariancja błędu współrzędnych m

xy

:

m

x

cos α

( )

2

m

d

2

d

2

sin α

( )

2

m

α

2

+

:=

m

x

2.15

=

m

y

sin α

( )

2

m

d

2

d

2

cos α

( )

2

m

α

2

+

:=

m

y

4.78

=

m

xy

sin α

( )

cos α

( )

m

d

2

d

2

sin α

( )

cos α

( )

m

α

2

:=

m

xy

6.62

=

służą do obliczenia błędu położenia punktu

m

P

m

x

2

m

y

2

+

:=

lub w postaci

m

P

m

d

2

d

2

m

α

2

+

:=

m

P

5.24

=

oraz zestawienia macierzy błędu położenia punktu:

C

m

x

2

m

xy

m

xy

m

y

2

:=

C

4.619

6.622

6.622

22.848

=

Na podstawie macierzy błędu położenia punktu C jest obliczany błąd położenia punktu
w dowolnym kierunku, w szczególności ekstremalne wartości błędu i ich kierunki


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
W Norwegii funkcjonuje automatyczne obserwatorium UFO, W Norwegii funkcjonuje automatyczne obserwato
Arkusz obserwacyjny diagnozy funkcjonalnej dzieci niepełnosprawnych intelektualnie – komunikacja wer
Arkusz obserwacyjny diagnozy funkcjonalnej dzieci niepełnosprawnych intelektualnie – komunikacja nie
ARKUSZ OBSERWACJI POZIOMU FUNKCJONOWANIA UCZNIA
Arkusz obserwacyjny diagnozy funkcjonalnej dzieci niepełnosprawnych intelektualnie – komunikacja wer
BANK CENTRALNY I JEGO FUNKCJE
Zaburzenia funkcji zwieraczy
Genetyka regulacja funkcji genow
Badania obserwacyjne prospektywne (kohortowe)
BYT 2005 Pomiar funkcjonalnosci oprogramowania
Diagnoza Funkcjonalna
Insulinoterapia funkcjonalna
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

więcej podobnych podstron