POCHODNE STANDARDOWE

0

→

C

;

1

−

⋅

→

n

n

x

n

x

;

x

x

2

1

→

;

2

x

a

x

a

−

→

;

a

a

a

x

x

ln

⋅

→

;

x

x

e

e

→

;

x

x

cos

sin

→

;

x

x

sin

cos

−

→

;

x

tgx

2

cos

1

→

;

x

ctgx

2

sin

1

−

→

;

2

1

1

arcsin

x

x

−

→

;

2

1

1

arccos

x

x

−

−

→

;

2

1

1

x

arctgx

+

→

;

2

1

1

x

arcctgx

+

−

→

;











 +

→

2

cos

sin

π

n

x

x

n

;











 +

→

2

sin

cos

π

n

x

n

KĄT MIĘDZY WYKRESAMIW PUNKCIE X

0

( )

( )

( ) ( )

0

0

0

0

'

'

1

'

'

x

g

x

f

x

g

x

f

tgx

+

−

=

( )

( )(

)

0

0

0

'

x

x

x

f

x

f

y

−

+

=

LAGRANGE:

( )

( ) ( )

a

b

a

f

b

f

c

f

−

−

=

'

TAYLOR:

( ) ( )

( )( ) ( )( )

n

R

a

b

a

f

a

b

a

f

a

f

b

f

+

+

−

+

−

+

=

K

2

!

2

''

!

1

'

( )( )

n

n

n

a

b

n

c

f

R

−

=

!

MACLAURIN:

( ) ( )

( )

( )

n

R

x

f

x

f

f

x

f

+

+

+

+

=

K

2

!

2

0

''

!

1

0

'

0

( )

n

n

n

x

n

c

f

R

!

=

EKSTREMA I PRZEDZIALY MONOTONICZNOSCI
W.K. :

( )

0

'

0

=

x

f

; W.W. : zmiana znaku f’(x); W.W.II:

( )

0

''

0

≠

x

f

;

PUNKTY PRZEGIECIA WYKRESY
W.K. :

( )

0

''

0

=

x

f

; W.W. : zmiana znaku f’’(x); W.W.II:

( )

0

''

'

0

≠

x

f

;

CAŁKI:
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

∫

∫

−

⋅

=

⋅

dx

x

g

x

f

x

g

x

f

dx

x

g

x

f

'

'

PODSTAWIENIE UNIWERSALNE:

2

x

tg

t

=

;

2

1

2

sin

t

t

x

+

=

;

2

2

1

1

cos

t

t

x

+

−

=

;

2

1

2

t

dt

dx

+

=

;

CAŁKA OZNACZONA :

( )

( ) ( )

∫

−

=

b

a

a

F

b

F

dx

x

f

POLE OBSZARU POD WYKRESEM:

( )

∫

=

b

a

dx

x

f

S

POLE MIEDZY DWOMA WYKRESAMI:

( ) ( )

[

]

∫

−

=

b

a

dx

x

f

x

g

S

DŁUGOŚĆ KRZYWEJ:

( )

(

)

dx

x

f

b

a

∫

+

=

Γ

2

'

1

OBJĘTOŚĆ BRYŁY, OBRÓT OX:

( )

dx

x

f

V

b

a

∫

=

2

π

OBJETOŚĆ BRYLY, OBRÓT OY:

( )

∫

⋅

=

b

a

dx

x

f

x

V

π

2

POWIERZCHNIA BRYŁY, OX:

( )

(

)

dx

x

f

b

a

∫

+

=

Σ

2

'

1

2

π

POWIERZCHNIA BRYŁY, OY:

( )

(

)

dx

x

f

x

b

a

∫

+

=

Σ

2

'

1

2

π

FUNKCJE HOMOGRAFICZNE:

2

x

x

e

e

shx

−

−

=

;

2

x

x

e

e

chx

−

+

=

;

x

x

x

x

e

e

e

e

th

−

−

+

−

=

;

x

x

x

x

e

e

e

e

cth

−

−

−

+

=