Statystyka In˙zynierska

W3: Zmienna losowa ci¸ag la

dr hab. in˙z. Katarzyna Filipiak

Instytut Matematyki

Politechnika Pozna´

nska

23.10.2015

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

1 / 20

Zmienna losowa

Zmienn¸a losow¸a

X

nazywamy funkcj¸e

X = X(

ω)

okre´slon¸a na przestrzeni zdarze´n elementarnych

Ω

o

warto´sciach w zbiorze liczb rzeczywistych

R

.

Zmienna losowa ci¸ag la

– zmienna przyjmuj¸aca wszystkie

warto´sci z pewnego przedzia lu liczbowego.

♦

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

2 / 20

Funkcja g¸esto´sci

Funkcja g¸esto´sci prawdopodobie´nstwa

f (x)

– funkcja

opisuj¸aca rozk lad prawdopodobie´nstwa zmiennej losowej
ci¸ag lej posiadaj¸aca nast¸epuj¸ace cechy:

a)

f : R −→ R

+

∪ {0}

,

b)

P(a ≤ X ≤ b) =

pole pod krzyw¸a

f (x)

mi¸edzy

a

i

b

.

W lasno´sci:

f (x) ≥ 0
P(a ≤ X ≤ b) =

Z

b

a

f (x)dx

Z

∞

−∞

f (x)dx = 1

P(X > b) = 1 − P(X ≤ b)

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

3 / 20

Funkcja g¸esto´sci

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

4 / 20

Kszta lt krzywej g¸esto´sci

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

5 / 20

Dystrybuanta

Dystrybuant¸a zmiennej losowej

X

nazywamy funkcj¸e

F(X)

okre´slon¸a na zbiorze liczb rzeczywistych i

przyjmuj¸ac¸a warto´sci

F(x) = P(X < x).

Je´sli dystrybuanta

F(x)

ma pochodn¸a w punkcie

x

, to

pochodn¸a t¸e nazywamy

g¸esto´sci¸a prawdopodobie´nstwa

zmiennej losowej

X

w punkcie

x

.

Niech

F

0

(

x) = f (x)

. W´owczas

F(x) =

Z

x

−∞

f (t)dt.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

6 / 20

Charakterystyki liczbowe

Definicja

Warto´sci¸a oczekiwan¸a

ci¸ag lej zmiennej losowej

X

nazywamy

E(X) =

Z

∞

−∞

x · f (x)dx

Definicja

Wariancj¸a

ci¸ag lej zmiennej losowej

X

nazywamy

D

2

(

X) =

Z

∞

−∞

[

x − E(X)]

2

· f (x)dx

=

Z

∞

−∞

x

2

· f (x)dx − [E(X)]

2

(o ile ca lki istniej¸a!)

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

7 / 20

Rozk lad jednostajny (prostok¸atny)

Funkcja g¸esto´sci (

a,b ∈ R, a < b):

f (x) =

(

1

b − a

dla

a ≤ x ≤ b,

0

dla

x < a i x > b

Dystrybuanta:

F(x) =











0

dla

x < a

x − a

b − a

dla

a ≤ x ≤ b,

1

dla

x > b

Charakterystyki liczbowe:

E(X) =

a + b

2

,

D

2

(

X) =

(

b − a)

2

12

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

8 / 20

Rozk lad tr´ojk¸atny

Funkcja g¸esto´sci (

a,b,c ∈ R, a < b < c):

f (x) =



















2(x − a)

(

c − a)(b − a)

dla

a ≤ x ≤ b,

2(c − x)

(

c − a)(c − b)

dla

b < x ≤ c,

0

dla

x < a i x > c

Charakterystyki liczbowe:

E(X) =

a + b + c

3

,

D

2

(

X) =

a

2

+

b

2

+

c

2

− ab − ac − bc
18

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

9 / 20

Rozk lad wyk ladniczy

Funkcja g¸esto´sci (

λ > 0):

f (x) =



0

dla

x < 0

λe

−λ x

dla

x ≥ 0

Dystrybuanta:

F(x) =



0

dla

x < 0

1 − e

−λ x

dla

x ≥ 0

Charakterystyki liczbowe:

E(X) =

1

λ

,

D

2

(

X) =

1

λ

2

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

10 / 20

Rozk lad normalny

Funkcja g¸esto´sci (

µ ∈ R, σ ∈ R

+

):

f (x) =

1

√

2

πσ

e

−

(

x−µ)2

2

σ2

Charakterystyki liczbowe:

E(X) =

µ,

D

2

(

X) =

σ

2

♦

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

11 / 20

Rozk lad normalny

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

12 / 20

Rozk lad normalny

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

13 / 20

Rozk lad normalny

Regu la trzech sigm

Niech

X ∼ N(µ,σ). W´owczas

P(

µ −σ < X < µ +σ) = 0,683

P(

µ −2σ < X < µ +2σ) = 0,954

P(

µ −3σ < X < µ +3σ) = 0,997

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

14 / 20

Regu la Czebyszewa

Je˙zeli

X

jest dowoln¸a zmienn¸a losow¸a o sko´nczonej

wariancji

σ

2

i warto´sci oczekiwanej

µ

, to dla dowolnej

liczby

k > 0

zachodzi tzw. nier´owno´s´c Czebyszewa:

P(|X − µ| ≥ kσ)) ≤

1

k

2

.

UWAGA! Je˙zeli rozk lad zmiennej losowej

X

jest

symetryczny i jednomodalny, to zachodzi (pochodz¸ace
od Gaussa) oszacowanie:

P(|X − µ| ≥ kσ)) ≤

4

9k

2

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

15 / 20

Rozk lad normalny

W lasno´sci:

X ∼ N(µ,σ) ⇒ Y = aX + b ∼ N(a + bµ,|b|σ)

X ∼ N(µ,σ) ⇒ Z =

X − µ

σ

∼ N(0,1)

P(X ≤ b) = P

X −µ

σ ≤

b − µ

σ



=

P



Z ≤

b − µ

σ



P(a ≤ X ≤ b) = P

a−µ

σ ≤

Z ≤

b − µ

σ



K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

16 / 20

Przybli˙zenie rozk ladu dwumianowego

Niech

X ∼ B(n,p)

oraz niech

a,b ∈ N. W´owczas

P(a ≤ X ≤ b) =

b

∑

k=a

n

k



p

k

q

n−k

.

Je˙zeli

X ∼ B(n,p)

, gdzie

n

jest du˙ze

i

p

nie jest bliskie

0

lub

1

, to rozk lad standaryzowanej zmiennej losowej

Z =

X−np

√npq

jest w przybli˙zeniu

N(0,1)

, tzn.

lim

n→∞

P



a ≤

X − np

√npq ≤ b



=

F(b) − F(a),

gdzie

F(x)

jest dystrybuant¸a rozk ladu normalnego.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

17 / 20

Przybli˙zenie rozk ladu dwumianowego

P(a ≤ X ≤ b) ≈ P

a−np

√npq ≤ Z ≤

b − np

√npq



(bez poprawki na ci¸ag lo´s´c)

P(a ≤ X ≤ b) ≈ P

a−0,5−np

√npq

≤ Z ≤

b + 0,5 − np

√npq



(z poprawk¸a na ci¸ag lo´s´c)

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

18 / 20

´Srednia

Niech

X

1

,

X

2

, . . . ,

X

n

b¸ed¸a zmiennymi losowymi o takim

samym rozk ladzie

f (x)

.

Je˙zeli

f (x)

jest funkcj¸a g¸esto´sci rozk ladu normalnego

N(

µ,σ)

, to

X =

1
n

n

∑

i=1

X

i

∼ N



µ,

σ

√n



.

Je˙zeli

f (x)

jest funkcj¸a g¸esto´sci dowolnego rozk ladu z

warto´sci¸a oczekiwan¸a

µ

i odchyleniem standardowym

σ

,

oraz

n

jest du˙ze (

n > 30

), to

X =

1
n

n

∑

i=1

X

i

∼ N



µ,

σ

√n



.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

19 / 20

Centralne twierdzenie graniczne

W losowym pr´obkowaniu z dowolnej populacji o warto´sci
oczekiwanej

µ

i odchyleniu standardowym

σ

rozk lad

X

przy du˙zym

n

jest w przybli˙zeniu rozk ladem normalnym z

warto´sci¸a oczekiwan¸a

µ

i odchyleniem standardowym

σ/√n

, tzn.

Z =

X − µ

σ/√n ∼

N(0,1).

WNIOSEK: Rozk lad zmiennej losowej

T = X

1

+

X

2

+ . . . +

X

n

d¸a˙zy do rozk ladu normalnego

N(n · µ,

√n·σ)

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

23.10.2015

20 / 20