Statystyka In˙zynierska

W1: Rachunek prawdopodobie´nstwa

dr hab. in˙z. Katarzyna Filipiak

Instytut Matematyki

Politechnika Pozna´

nska

9.10.2015

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

1 / 20

Organizacja zaj¸e´c

Wyk lad – 15h

(tygodnie parzyste):

dr hab. in˙z. Katarzyna Filipiak

dy˙zur: wtorek, 9:45 - 11:15, p. 739E

´

Cwiczenia – 15h:

dr hab. in˙z. Katarzyna Filipiak
dr in˙z. Barbara Popowska

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

2 / 20

Organizacja zaj¸e´c

Zaliczenie wyk ladu

– uczestnictwo w zaj¸eciach oraz

uzyskanie minimum 50% punkt´ow na kolokwium
zaliczeniowym z teorii przedstawianej na wyk ladach (na
zako´nczenie semestru)

Zaliczenie cwicze´

n

– aktywne uczestnictwo w zaj¸eciach

oraz uzyskanie minimum 50% punkt´ow z dw´och
kolokwium (odbywaj¸acych si¸e na 4 i ostatnich zaj¸eciach

´cwiczeniowych)

Kolokwium poprawkowe

– w terminie dodatkowym,

obejmuje ca lo´s´c materia lu przedstawianego na

´cwiczeniach

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

3 / 20

Program

Rachunek prawdopodobie´nstwa (teoria
prawdopodobie´nstwa, zmienne losowe i ich rozk lady)
Statystyka opisowa (miary statystyczne i
interpretacja danych)
Statystyka matematyczna (teoria estymacji, teoria
weryfikacji hipotez)
Analiza regresji

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

4 / 20

Literatura

Krysicki, W. i inni, Rachunek prawdopodobie´nstwa i
statystyka matematyczna w zadaniach

, cz. I i cz. II,

PWN Warszawa.
Bobrowski D. i K. Ma´ckowiak- Lybacka, Wybrane
metody wnioskowania statystycznego

, Wyd. PP,

Pozna´n 2004.
Krzy´sko, M., Wyk lady z teorii prawdopodobie´nstwa.
WNT 2000.
Krzy´sko, M., Statystyka matematyczna, WN UAM
1996.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

5 / 20

Rachunek prawdopodobie´nstwa

Eksperyment losowy

– eksperyment, kt´ory mo˙ze

zako´nczy´c si¸e jednym z co najmniej dw´och mo˙zliwych
wynik´ow.

Wyniki eksperymentu nazywamy

zdarzeniami

elementarnymi

.

Zbi´or wszystkich mo˙zliwych, r´o˙znych wynik´ow
eksperymentu nazywamy

przestrzeni¸a zdarze´n

elementarnych

. Jest ona oznaczana symbolem

Ω

.

Zdarzeniem losowym

nazywamy podzbi´or przestrzeni

zdarze´n elementarnych.
Zdarzenia oznaczamy literami:

A, B, C, . . .

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

6 / 20

Przyk lad

Produkcja pewnego detalu odbywa si¸e na jednej z trzech ta´sm
produkcyjnych, przy czym udzia l ka˙zdej z ta´sm w procesie:
(a) jest taki sam
(b) wynosi odpowiednio 50%, 40% i 10%.
Przeprowadzono eksperyment polegaj¸acy na wylosowaniu jednego
detalu z partii.

eksperyment losowy

– wylosowanie detalu

zdarzenie elementarne

– np. zdarzenie polegaj¸ace na

wylosowaniu detalu z pierwszej ta´smy produkcyjnej, ω

1

przestrze´n zdarze´n elementarnych

: Ω = {ω

1

, ω

2

, ω

3

}

zdarzenie losowe

– np. zdarzenie polegaj¸ace na

wylosowaniu detalu z pierwszej lub drugiej ta´smy
produkcyjnej, A = {ω

1

, ω

2

}

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

7 / 20

Prawdopodobie´nstwo

Definicja klasyczna (Laplace’a)

Je´sli przestrze´n zdarze´n elementarnych sk lada si¸e z

n

jednakowo prawdopodobnych zdarze´n elementarnych, to

prawdopodobie´nstwo

zdarzenia

A

okre´slone jest wzorem

P

(A) =

m

n

gdzie

m

oznacza liczb¸e zdarze´n elementarnych

sprzyjaj¸acych zaj´sciu zdarzenia

A

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

8 / 20

Przyk lad

Produkcja pewnego detalu odbywa si¸e na jednej z trzech ta´sm
produkcyjnych, przy czym udzia l ka˙zdej z ta´sm w procesie:
(a) jest taki sam
(b) wynosi odpowiednio 50%, 40% i 10%.
Przeprowadzono eksperyment polegaj¸acy na wylosowaniu jednego
detalu z partii. Oblicz prawdopodobie´nstwa zdarze´n elementarnych
w przypadku (a).

n

= 3, m = 1

P

({ω

1

}) = P({ω

2

}) = P({ω

3

}) =

1

3

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

9 / 20

Prawdopodobie´nstwo

Definicja aksjomatyczna

Prawdopodobie´nstwo

jest funkcj¸a liczbow¸a okre´slon¸a na

zdarzeniach i spe lniaj¸ac¸a nast¸epuj¸ace warunki:

(a) 0 ≤ P(A) ≤ 1

dla ka˙zdego zdarzenia

A

(b) P(Ω) = 1

(c)

dla wzajemnie wykluczaj¸acych si¸e zdarze´n

A

1

, A

2

, . . .

P

(A

1

∪ A

2

∪ . . . ) = P(A

1

) + P(A

2

) + . . . .

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

10 / 20

Przyk lad

Produkcja pewnego detalu odbywa si¸e na jednej z trzech ta´sm
produkcyjnych, przy czym udzia l ka˙zdej z ta´sm w procesie:
(a) jest taki sam
(b) wynosi odpowiednio 50%, 40% i 10%.
Przeprowadzono eksperyment polegaj¸acy na wylosowaniu jednego
detalu z partii. Oblicz prawdopodobie´nstwa zdarze´n elementarnych
dla przypadku (b) oraz prawdopodobie´nstwo, ˙ze wylosowany detal
pochodzi z pierwszej lub drugiej ta´smy produkcyjnej.

P

({ω

1

}) = 0, 50,

P

({ω

2

}) = 0, 40,

P

({ω

3

}) = 0, 10

A

= {ω

1

, ω

2

}

P

(A) = P({ω

1

}) + P({ω

2

}) = 0, 90

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

11 / 20

W lasno´sci prawdopodobie´nstwa

P

( /0) = 0

P

(A

′

) = 1 − P(A)

A

⊆ B

=⇒

P

(A) ≤ P(B)

P

(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P

(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

12 / 20

Prawdopodobie´nstwo warunkowe

Definicja

Je˙zeli

P

(B) > 0

, to

prawdopodobie´nstwo warunkowe

zdarzenia

A

przy warunku, ˙ze zasz lo zdarzenie

B

,

definiujemy jako:

P

(A|B) =

P

(A ∩ B)

P

(B)

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

13 / 20

Przyk lad

Produkcja pewnego detalu odbywa si¸e na jednej z trzech ta´sm
produkcyjnych, przy czym udzia l ka˙zdej z ta´sm w procesie:
(a) jest taki sam
(b) wynosi odpowiednio 50%, 40% i 10%.
Przeprowadzono eksperyment polegaj¸acy na wylosowaniu jednego
detalu z partii. Wiedz¸ac, ˙ze I maszyna produkuje 1% brak´ow, II 5%
brak´ow, a III 10% brak´ow, oblicz prawdopodobie´nstwa zdarzenia, ˙ze
element wylosowany z I maszyny nie b¸edzie brakiem (D - dobry).

(a)

P

(D|I) = 0, 99

(b)

P

(D|I) = 0, 99

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

14 / 20

Prawdopodobie´nstwo ca lkowite

Definicja

Niech

A

b¸edzie pewnym zdarzeniem, a

B

1

, B

2

, . . . , B

k

parami wy l¸aczaj¸acymi si¸e zdarzeniami takimi, ˙ze dla

i

= 1, 2, . . . , k

P

(B

i

) > 0

oraz

k

[

i

=1

B

i

= Ω

.

W´owczas zachodzi nast¸epuj¸acy wz´or na

prawdopodobie´nstwo ca lkowite

:

P

(A) =

k

∑

i

=1

P

(B

i

)P(A|B

i

).

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

15 / 20

Przyk lad

Produkcja pewnego detalu odbywa si¸e na jednej z trzech ta´sm
produkcyjnych, przy czym udzia l ka˙zdej z ta´sm w procesie:
(a) jest taki sam
(b) wynosi odpowiednio 50%, 40% i 10%.
Przeprowadzono eksperyment polegaj¸acy na wylosowaniu jednego
detalu z partii. Wiedz¸ac, ˙ze I maszyna produkuje 1% brak´ow, II 5%
brak´ow, a III 10% brak´ow, oblicz prawdopodobie´nstwa zdarzenia, ˙ze
wylosowany detal b¸edzie brakiem (B - brak).

(a)

P

(B) = P(B ∩ I) + P(B ∩ II) + P(B ∩ III)

=

1
3

· 0, 01 +

1
3

· 0, 05 +

1
3

· 0, 1 = 0, 0533

(b)

P

(B) = P(B ∩ I) + P(B ∩ II) + P(B ∩ III)

=

0, 5

· 0, 01 +

0, 4

· 0, 05 +

0, 1

· 0, 1 = 0, 035

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

16 / 20

Wz´or Bayes’a

Niech

A

b¸edzie pewnym zdarzeniem, a

B

1

, B

2

, . . . , B

k

parami wy l¸aczaj¸acymi si¸e zdarzeniami. W´owczas

P

(B

1

|A) =

P

(B

1

∩ A)

P

(A)

=

P

(B

1

)P(A|B

1

)

∑

k
i

=1

P

(B

i

)P(A|B

i

)

.

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

17 / 20

Przyk lad

Produkcja pewnego detalu odbywa si¸e na jednej z trzech ta´sm
produkcyjnych, przy czym udzia l ka˙zdej z ta´sm w procesie:
(a) jest taki sam
(b) wynosi odpowiednio 50%, 40% i 10%.
Przeprowadzono eksperyment polegaj¸acy na wylosowaniu jednego
detalu z partii. Wiedz¸ac, ˙ze I maszyna produkuje 1% brak´ow, II 5%
brak´ow, a III 10% brak´ow, oblicz prawdopodobie´nstwa zdarzenia, ˙ze
wylosowany detal b¸e¸acy brakiem pochodzi z I maszyny.

(a)

P

(I|B) =

P

(B ∩ I)

P

(B)

=

1
3

· 0, 01

0, 0533

= 0, 062

(b)

P

(I|B) =

P

(B ∩ I)

P

(B)

=

0, 5

· 0, 01

0, 035

= 0, 062

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

18 / 20

Niezale˙zno´s´c zdarze´n

Definicja

Zdarzenia

A

i

B

nazywamy

niezale˙znymi

, je˙zeli

P

(A ∩ B) = P(A) · P(B).

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

19 / 20

Przyk lad

Produkcja pewnego detalu odbywa si¸e na jednej z trzech ta´sm
produkcyjnych, przy czym udzia l ka˙zdej z ta´sm w procesie:
(a) jest taki sam
(b) wynosi odpowiednio 50%, 40% i 10%.
Przeprowadzono eksperyment polegaj¸acy na wylosowaniu jednego
detalu z partii. Wiedz¸ac, ˙ze I maszyna produkuje 1% brak´ow, II 5%
brak´ow, a III 10% brak´ow, sprawd´z, czy zdarzenia polegaj¸ace na
wylosowaniu detalu z maszyny I oraz na wylosowaniu braku (z
dowolnej maszyny), s¸a niezale˙zne.

(a) P(I) =

1
3

,

P

(B) = 0, 0533,

P

(B ∩ I) = 0, 0033

1
3

· 0, 0533 6= 0, 0033

(b) P(I) = 0, 5,

P

(B) = 0, 035,

P

(B ∩ I) = 0, 005

0, 5

· 0, 035 6= 0, 005

K. Filipiak (Pozna´

n, Polska)

Statystyka In˙zynierska

9.10.2015

20 / 20