Wykład szósty

Funkcje jednowymiarowej zmiennej losowej

Wyznaczanie rozkładów funkcji zmiennych losowych

Zało˙zenie: Niech g : R → R b˛edzie funkcj ˛

a tak ˛

a, ˙ze, je´sli X jest zmienn ˛

a losow ˛

a, to g(X) jest równie˙z zmienn ˛

a

losow ˛

a.

1. Rozkłady funkcji zmiennych losowych dyskretnych

Twierdzenie 1 Niech X b˛edzie zmienn ˛

a losow ˛

a dyskretn ˛

a. Wtedy zmienna losowa

Y = g(X) ma rozkład

dyskretny. Ponadto

S

Y

= g(S

X

) i P (Y = y) =

X

xk∈SX :

g(xk)=y

P (X = x

k

).

Przykład 1. Niech X b˛edzie zmienn ˛

a losow ˛

a o rozkładzie dyskretnym takim, ˙ze S

X

= {−4, −3, . . . , 3, 4} oraz

P (X = k) =

1

9

dla ka˙zdego k ∈ S

X

.

Wyznaczy´c rozkład zmiennej losowej |X|.

Rozwi ˛

azanie:

Poniewa˙z X ma rozkład dyskretny, wi˛ec Y te˙z ma rozkład dyskretny.
Niech g(x) = |x|. Wtedy Y = g(X) oraz S

Y

= g(S

X

) = {0, 1, 2, 3, 4}. Ponadto

P (Y = 0) = P (|X| = 0) = P (X = 0) =

1

9

.

Je´sli n ∈ {1, 2, 3, 4}, to

P (Y = n) = P (|X| = n) = P (X = n) + P (X = −n) =

1

9

+

1

9

=

2

9

.

2. Rozkłady funkcji zmiennych losowych ci ˛

agłych.

Uwaga. Je´sli X ma rozkład ci ˛

agły, to zmienna losowa Y = g(X) nie musi mie´c rozkładu ci ˛

agłego !!!

Nast˛epuj ˛

ace twierdzenie podaje warunek wystarczaj ˛

acy na to, aby zmienna losowa Y = g(X) miała rozkład

ci ˛

agły, gdy X ma rozkład ci ˛

agły:

Twierdzenie 2 Niech X b˛edzie zmienn ˛

a losow ˛

a o rozkładzie ci ˛

agłym maj ˛

acym g˛esto´s´c

f

X

(x). Niech Y =

g(X), przy czym funkcja g jest ró˙znowarto´sciowa, ró˙zniczkowalna i g

0

(x) 6= 0 na takim podzbiorze D ⊂ R, ˙ze

P (X ∈ D) = 1. Wtedy zmienna losowa Y ma rozkład ci ˛

agły o g˛esto´sci

f

Y

(y) =







0

,

y /

∈ g(D)

f

X

(x)

|g

0

(x)|




g(x)=y

,

y ∈ g(D)

.

Wniosek. Je´sli X ∼ N (m, σ

2

) i Y = aX + b, gdzie a 6= 0, to Y ∼ N am + b; a

2

σ

2

.

W szczególno´sci, je˙zeli Y =

X − m

σ

, to Y ∼ N

 1

σ

m −

m

σ

,

1

σ

2

· σ

2



= N (0, 1).

Twierdzenie 3 Je˙zeli funkcja g nie jest ró˙znowarto´sciowa, ale spełnia pozostałe zało˙zenia twierdzenia 2 i ka˙zd ˛

a

warto´s´c przyjmuje tylko przeliczalnie wiele razy, to wzór na g˛esto´s´c jest postaci

f

Y

(y) =











0

,

y /

∈ g(D)

X

x

k

:g(x

k

)=y

f

X

(x

k

)

|g

0

(x

k

)|

,

y ∈ g(D) .

Przykład 2. Niech X ∼ U ([−1; 2]). Wtedy:

f

X

(x) =



0,

x /

∈ [−1, 2]

1
3

,

x ∈ [−1, 2]

.

Wyznaczymy rozkład zmiennej losowej Y = X

2

, to znaczy Y = g(X), gdzie g(x) = x

2

dla x ∈ [−1; 2].

Zauwa˙zmy, ˙ze g

0

(x) = 2x 6= 0 dla x 6= 0. Mo˙zna przyj ˛

a´c D = [−1, 0) ∪ (0, 2]. Wtedy g(D) = (0, 4]. Niech

ponadto D

1

= [−1, 0) ∪ (0, 1] oraz D

2

= (1, 2]. Zauwa˙zmy, ˙ze:

? na zbiorze D

1

funkcja g nie jest ró˙znowarto´sciowa, je´sli y = x

2

, to x =

√

y lub x = −

√

y. Ponadto

g(D

1

) = (0, 1];

? na zbiorze D

2

funkcja g jest róznowarto´sciowa, je´sli y = x

2

, to x =

√

y. Ponadto g(D

2

) = (1, 4].

Ostatecznie mamy wi˛ec f

Y

(y) =







































0

,

y 6 0

1

3

√

y

,

0 < y 6 1

1

6

√

y

,

1 < y 6 4

.

Generowanie liczb pseudolosowych o zadanym rozkładzie

Niech X ∼ U ([0; 1]). Niech F b˛edzie dystrybuant ˛

a interesuj ˛

acego nas rozkładu. Zakładamy, ˙ze F jest funkcj ˛

a

´sci´sle rosn ˛

ac ˛

a. Niech Y = F

−1

(X). Znajdziemy dystrybuant˛e zmiennej losowej Y . Mamy:

F

Y

(y) = P (Y 6 y) = P (F

−1

(X) 6 y) = P (X 6 F (y)) = F

X

(F (y)).

Poniewa˙z X ∼ U ([0; 1]), wi˛ec dla x ∈ [0; 1], F

X

(x) = x. To oznacza, ˙ze F

X

(F (y)) = F (y), czyli F

Y

(y) =

F (y).
Zatem, je´sli liczby x

i

zostały wylosowane zgodnie z rozkładem jednostajnym z przedziału [0; 1], to liczby

F

−1

(x

i

) mo˙zna traktowa´c jako liczby wylosowane zgodnie z rozkładem o dystrybuancie F .