Oscylator harmoniczny wymuszony
Równanie ruchu, rozwiązanie
opis formalny:
struktura rozwiązania:
φ
(
ω”) – wg definicji kąt, o jaki maksimum wychylenia wyprzedza maksimum czynnika
wymuszającego
należy określić nieznane parametry x
m
(
ω”) i φ
(
ω”)
−
w tym celu należy podstawić
rozwiązanie do równania ruchu
pojęcia „wychylenie” i „prędkość” należy rozumieć ogólniej; mogą reprezentować różne
wielkości fizyczne, np.
x – wychylenie liniowe, wychylenie kątowe, ładunek elektryczny,
υ – prędkość liniową, prędkość kątową, natężenie prądu elektrycznego)
obliczamy pierwszą pochodną dx/dt (wyłączamy czynnik stały przed znak pochodnej,
korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej
'
f
f
'
u
'
f
u
⋅
=
)
(
))
(
(
):
)
(
sin
))
(
cos
(
φ
ω
ω
φ
ω
+
−
=
+
=
t
"
x
"
t
"
x
dt
d
dt
dx
m
m
obliczamy drugą pochodną d
2
x/dt
2
(zasady j.w.):
)
(
cos
))
(
sin
(
2
2
2
φ
ω
ω
φ
ω
ω
+
−
=
+
−
=
=
t
'
x
"
t
'
x
"
dt
d
dt
dx
dt
d
dt
x
d
m
m
podstawiamy wyrażenia na dx/dt i d
2
x/dt
2
do równania ruchu:
t
"
t
"
x
t
"
x
"
t
"
x
"
m
m
m
m
ω
α
φ
ω
ω
φ
ω
ω
τ
φ
ω
ω
cos
)
(
cos
)
(
sin
1
)
(
cos
2
2
=
+
+
+
−
+
−
po wykorzystaniu wzorów na funkcje trygonometryczne sumy kątów:
β
α
β
α
β
α
sin
cos
cos
sin
)
sin(
+
=
+
β
α
β
α
β
α
sin
sin
cos
cos
)
cos(
−
=
+
otrzymujemy:
t
"
t
"
x
"
t
"
x
"
t
"
x
"
t
"
x
"
m
m
m
m
m
ω
α
φ
ω
τ
ω
φ
ω
τ
ω
φ
ω
ω
ω
φ
ω
ω
ω
cos
sin
cos
cos
sin
sin
sin
)
(
cos
cos
)
(
2
2
2
2
=
−
−
+
−
−
−
porządkujemy wyrazy ze względu na cos
ω”t i sinω”t
0
sin
cos
sin
)
(
cos
sin
cos
)
(
2
2
2
2
=
+
−
−
+
−
−
−
t
"
x
"
x
"
t
"
x
"
x
"
m
m
m
m
m
ω
φ
τ
ω
φ
ω
ω
ω
α
φ
τ
ω
φ
ω
ω
(1)
warunkiem spełnienia równania (1) jest jednoczesne zerowanie współczynników przy
cos
ω”t i sinω”t:
0
sin
cos
)
(
2
2
=
−
−
−
m
m
m
x
"
x
"
α
φ
τ
ω
φ
ω
ω
(2)
0
cos
sin
)
(
2
2
=
+
−
φ
τ
ω
φ
ω
ω
m
m
x
"
x
"
(3)
z (3):
φ
τ
ω
φ
ω
ω
cos
)sin
(
2
2
"
"
−
=
−
→
2
2
tg
"
"
ω
ω
τ
ω
φ
−
−
=
(4)
z tg
φ obliczamy sin φ i cos φ (można skorzystać z gotowych wzorów zamieszczonych np.
w tablicach matematycznych):
1
tg
tg
sin
2
+
=
φ
φ
φ
,
1
tg
1
cos
2
+
=
φ
φ
podstawiamy (4) do powyższych wzorów:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
1
sin
τ
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
τ
ω
φ
"
"
"
"
"
"
"
+
−
−
=
+
−
−
−
−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
1
1
cos
τ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
τ
ω
φ
"
"
"
"
"
+
−
−
=
+
−
−
=
podstawiamy wyrażenia na sin
φ i cos φ do (2):
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
−
−
−
+
+
−
−
−
m
m
m
"
"
"
x
"
"
"
"
x
"
α
τ
ω
ω
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
[
]
m
m
"
"
x
"
"
α
τ
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
=
+
−
+
−
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
1
)
(
)
(
/ :
...
2
2
2
2
)
(
)
(
τ
ω
ω
ω
α
"
"
x
m
m
+
−
=
(5)
2
2
2
2
)
(
)
(
τ
ω
ω
ω
ω
α
υ
"
"
"
m
m
+
−
=
(6)
Częstość rezonansowa
•
dla wychylenia
x
m
– max
→
0
0
2
2
<
=
"
d
x
d
,
"
d
x
d
m
m
ω
ω
wystarczy obliczyć pochodne wyrażenia podpierwiastkowego w mianowniku
)
( "
X
x
m
m
ω
α
=
x
m
– max
→
0
0
2
2
>
=
"
d
X
d
,
"
d
X
d
ω
ω
obliczamy pierwszą pochodną dX
/d
ω”
[
]
[
]
[
]
−
−
=
+
−
−
=
=
+
−
=
+
−
=
)
(
2
1
2
)
1
)(
2(
)
2
)(
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
"
"
"
"
"
"
"
d
d
"
"
d
d
"
"
"
d
d
"
d
X
d
ω
ω
τ
ω
τ
τ
ω
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
ω
ω
obliczamy drugą pochodną d
2
X
/d
ω”
2
[ ]
+
−
−
=
=
−
⋅
−
⋅
+
−
−
=
=
−
−
⋅
+
−
−
⋅
=
=
−
−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
)
(
2
1
2
)
2
(
)
2
(
2
)
(
2
1
2
)
(
2
1
2
)
(
2
1
)
2
(
)
(
2
1
2
"
"
"
"
"
"
"
d
d
"
"
"
"
d
d
"
"
"
d
d
"
d
X
d
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
ω
τ
ω
ω
τ
ω
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
0
=
"
d
X
d
ω
→
0
)
(
2
1
0
2
2
2
2
=
−
−
∨
=
"
"
ω
ω
τ
ω
pierwszy przypadek nie jest interesujący (zerowa częstość wymuszająca – brak drgań
wymuszonych), zatem
0
=
"
d
X
d
ω
→
0
)
(
2
1
2
2
2
=
−
−
"
ω
ω
τ
po podstawieniu do wyrażenia na drugą pochodną:
0
)
(
2
1
2
2
2
=
−
−
"
ω
ω
τ
→
0
4
2
2
2
2
>
⋅
=
"
"
d
X
d
ω
ω
tzn.
0
0
2
2
>
=
"
d
X
d
,
"
d
X
d
ω
ω
→
X – min
→
x
m
– max
obliczamy wartość
ω” spełniającą warunek
0
)
(
2
1
2
2
2
=
−
−
"
ω
ω
τ
→
2
2
2
2
1
τ
ω
ω
=
−
"
→
2
2
2
1
τ
ω
ω
−
=
rez
"
(7)
•
dla prędkości
υ
m
– max
→
0
0
2
2
<
=
"
d
d
,
"
d
d
m
m
ω
υ
ω
υ
wystarczy licznik i mianownik podzielić przez
ω”
[
]
2
2
2
)
1
(
1
)
(
τ
ω
ω
α
υ
+
−
=
"
m
m
i obliczyć pochodne wyrażenia podpierwiastkowego w mianowniku
)
( "
V
m
m
ω
α
υ
=
υ
m
– max
→
0
0
2
2
>
=
"
d
V
d
,
"
d
V
d
ω
ω
obliczamy pierwszą pochodną dV
/d
ω”
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
(
4
1
4
1
2
1
2
1
1
1
1
"
"
"
"
"
"
"
"
d
d
"
"
d
d
"
"
d
d
"
d
V
d
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
ω
τ
ω
ω
ω
ω
−
−
=
=
⋅
−
−
=
−
⋅
⋅
−
=
=
+
−
=
+
−
=
obliczamy drugą pochodną d
2
V
/d
ω”
2
– korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu
2
g
'
g
f
g
'
f
g
f
−
=
′
:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
−
−
−
−
=
=
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
=
=
⋅
−
−
⋅
−
−
=
=
−
−
=
1
"
3
2
4
3
1
"
"
"
2
4
1
"
1
"
4
1
)
(
4
2
2
2
6
2
2
3
2
6
3
2
3
2
6
3
2
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
"
"
"
"
"
"
"
d
d
"
"
d
d
"
"
"
"
d
d
"
d
V
d
0
=
"
d
V
d
ω
→
0
1
2
=
−
"
ω
ω
po podstawieniu do wyrażenia na drugą pochodną:
0
)
2
(
4
2
6
2
2
>
−
⋅
−
=
ω
ω
ω
ω
"
"
d
V
d
tzn.
0
0
2
2
>
=
"
d
V
d
,
"
d
V
d
ω
ω
→
V – min
→
υ
m
– max
obliczamy wartość
ω” spełniającą warunek
0
1
2
=
−
"
ω
ω
→
ω
ω
=
rez
"
(8)
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
materialy 7a
7a interpretacje i cechy info, Procesy informacyjne w zarządzaniu, materiały student Z-sem 12-13, wy
5Analiza-7A, Materiały z Uniwersytetu Szczecińskiego i PS (ZUT)
laborki-7a, Mechanika i budowa maszyn, Podstawy Materialoznawstwa, fwd
geriatria p pokarmowy wyklad materialy
Materialy pomocnicze prezentacja maturalna
7a) Sarcoptes scabei
Problemy geriatryczne materiały
Wstęp do psychopatologii zaburzenia osobowosci materiały
material 7
Prez etyka materiały1
Prez etyka materialy7
Med Czyn Rat1 Ostre zatrucia Materialy
Cząsteczkowa budowa materii
Materiały dla studentów ENDOKRYNOLOGIA
Materiały organiczne
więcej podobnych podstron