Metody obliczeniowe – zagadnienia na zaliczenie wykładów

1.

Wymienić grupy równań tworzące model matematyczny ciała sprężystego w

sformułowaniu lokalnym. Krótko scharakteryzować poszczególne grupy.

2.

Czym różni się model matematyczny zagadnienia w sformułowaniu lokalnym, od modelu w

sformułowaniu globalnym?

3.

Czym są przemieszczenia wirtualne?

4.

Przedstawić zasadę pracy wirtualnej.

5.

Czym jest metoda różnic skończonych (MRS)?

6.

Wymienić etapy stasowania MRS do rozwiązywania belek. Krótko omówić wybrany etap.

7.

Zapisać ogólne postaci I i II różnicy skończonej. Wyjaśnić użyte oznaczenia.

8.

Czym jest interpolacja

?

9.

Czym jest wielomian uogólniony? Zapisać ogólną postać z wyjaśnieniami oznaczeń.

10.

Na czym polega interpolacja funkcjami sklejanymi?

11.

Czym jest aproksymacja?

12.

Przedstawić istotę aproksymacji metoda najmniejszych kwadratów.

13.

Wymienić metody aproksymacyjnego rozwiązywania równań różniczkowych. Krótko

omówić jedną z nich.

14.

Czym jest reziduum?

15.

Przedstawić istotę metody elementów skończonych (MES) bazującej na aproksymacji

Galerkina.

1. Wymienić grupy równań tworzące model matematyczny ciała sprężystego w

sformułowaniu lokalnym. Krótko scharakteryzować poszczególne grupy.
- równania równowagi - podstawowe równania opisujące stan równowagi ciała. Sumaryczna
siła i moment siły działające na ciało są równe 0,
- równania geometryczne- zależności między odkształceniami i przemieszczeniami
- warunki brzegowe - zespół warunków, jaki ma spełniać (w określonym miejscu przestrzeni)
funkcja będąca rozwiązaniem równania różniczkowego (np. na brzegu obszaru określoności
rozwiązania). Określenie warunków brzegowych pozwala wybrać jednoznaczne rozwiązanie
danego równania,
- warunki początkowe – określają stan wyjściowy układu, którego ewolucję mamy zamiar
opisać

2. Czym różni się model matematyczny zagadnienia w sformułowaniu lokalnym, od modelu w

sformułowaniu globalnym?
Sformułowanie lokalne – opis ciała przy pomocy zależności różniczkowych odnoszących się
do każdego nieskończenie małego fragmentu konstrukcji
Sformułowanie globalne – opis ciała przy pomocy zależności całkowych( równania całkowe,
funkcjonały, układy równań całkowych) odnoszących się do całego tego ciała. Zależności te
wynikają najczęściej zastosowania pracy wirtualnej lub równania wariacyjnego.

3. Czym są przemieszczenia wirtualne?

Przemieszczenia wirtualne to każde dowolne, możliwe przemieszczenie punktu, zgodne z
więzami. Jeżeli położenie punktu określone jest za pomocą wektora

𝑣

→, to przemieszczenie

przygotowane oznaczamy symbolem 𝛿

𝑣

→. Przemieszczenie 𝛿

𝑣

→ jest to pomyślane

(wyobrażalne) przesunięcie punktu, o kierunku zgodnym z kierunkiem możliwej prędkości
tego punktu.

Przemieszczenie wirtualne jest wektorem, które można przedstawić w postaci:

Cechy:
- pomyślane
- możliwe, tzn. kinematycznie dopuszczalne
- niezależne od czynników zewnętrznych (np. obciążeń)
- bardzo małe w porównaniu z wymiarami ciała
- niezależne od czasu
- ciągłe (co najmniej raz różniczkowalne)

4. Przedstawić zasadę pracy wirtualnej.

- Praca rzeczywistych sił zewnętrznych (biernych i czynnych) na przemieszczeniach
wirtualnych jest równa pracy sił wewnętrznych (wynikających z działania obciążeń
zewnętrznych) na wewnętrznych przemieszczeniach wirtualnych.
- Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi dowolnego układu punktów jest, aby
suma prac wirtualnych wszystkich sił czynnych i sił reakcji więzów, przy dowolnym
przemieszczeniu wirtualnym była równa zero.
- Wariacja funkcjonału pracy sił wewnętrznych jest równa wariacji funkcjonału pracy sił
zewnętrznych.

5. Czym jest metoda różnic skończonych (MRS)?

MRS służy do przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych. Jest to metoda
numeryczna (daje rozwiązanie przybliżone), efektywna tylko przy wykorzystaniu komputera.
Istotą MRS jest bezpośrednie zastąpienie równań różniczkowych lub układów tych równań
równaniami algebraicznymi (im więcej tym rozwiązanie dokładniejsze).

6. Wymienić etapy stasowania MRS do rozwiązywania belek. Krótko omówić wybrany etap.

Kolejność postępowania:
a) Dyskretyzacja belki
b) Zamiana obciążeń skupionych na rozłożone
c) Ustalenie istotnych parametrów w poszczególnych punktach dyskretyzacyjnych wartości

sztywności oraz obciążeń

d) Ułożenie układu równań MRS z uwzględnieniem warunków brzegowych
e) Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie wielkości statycznych i geometrycznych

W, M, T, q, ϕ

f) Wykonanie wykresów

Ad.a) Dyskretyzacja belki – polega na poszukiwaniu rozwiązania jedynie w określonych
punktach. Proces przejścia z układu ciągłego do układu dyskretnego. Mechaniczny model
rzeczywistej konstrukcji zmieniamy na układ dyskretny, złożony ze zbioru węzłów i
elementów skończonych. Dzielimy belkę na fragmenty 𝛌

i

= const. W punktach (węzłach)

wyodrębnionych w wyniku dyskretyzacji wprowadzamy lokalne układy współrzędnych.

Ad.b) Rozkładamy tylko te obciążenia skupione, które nie znajdują się na krańcach belki, bo
prościej wtedy wyznaczyć siły wewnętrzne.
W MRS obciążenia skupione mogą być przyłożone tylko w węzłach (pkt. dyskretyzacji), jeśli
siła znajduje się między nimi to przesuwamy ją do najbliższego węzła, gdyż nie będzie to w
znaczącym stopniu rzutowało na wynik. Ewentualnie jeśli przesunięcie byłoby zbyt duże
możemy rozłożyć siłę na 2 inne składowe, przyłożone w węzłach (P=P

1

+P

2

).

Ad c) W przypadku budowy wektora obciążeń uwzględniamy wyłącznie obciążenie rozłożone.
Siły i momenty skupione przyłożone w rzeczywistych punktach początkowych i końcowych
belki uwzględniane są w warunkach brzegowych.

Ad d) Podstawowym równaniem umożliwiającym zbudowanie układu równań jest równanie
różnicowe wiążace w sobie obciążenia zewnętrzne (q

i

) z uwzględnieniem poszczególnych

punktów (w

i

). Równanie to rozpisujemy dla wszystkich rzeczywistych punktów belki.

Uzupełnieniem układu równań są równanie odnoszące się do warunków brzegowych. Dla
początku i końca belki układamy po 2 takie równania. W efekcie uzyskujemy układ w którym
liczba równań jest zgodna z liczbą niewiadomych którymi są ugięcia we wszystkich punktach
wyodrębnionych w procesie dyskretyzacji.

7. Zapisać ogólne postaci I i II różnicy skończonej. Wyjaśnić użyte oznaczenia.

-I RS
𝛥𝑓

𝑖

𝛥𝑥

=

𝜕𝑓
𝜕𝑥

(0) =

−𝑓

𝑖−1

+ 𝑓

𝑖+1

2𝜆

-II RS
𝛥

2

𝑓

𝑖

𝛥𝑥

2

=

𝜕

2

𝑓

𝜕𝑥

2

(0) =

𝑓

𝑖−1

− 2𝑓

𝑖

+ 𝑓

𝑖+1

𝜆

2

Gdzie:
𝜆 – stopień dyskretyzacji belki

8. Czym jest interpolacja?

Interpolacja polega na wyznaczaniu przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących
węzłami oraz oszacowaniu błędu tych przybliżonych wartości. Sprowadza się to do
wyznaczenia funkcji W(x) zwanej FUNKCJĄ INTERPOLUJĄCĄ, która w węzłach interpolacji
przyjmuje takie same wartości jak f(x).

9. Czym jest wielomian uogólniony? Zapisać ogólną postać z wyjaśnieniami oznaczeń.

Wielomian uogólniony jest kombinacją liniowo niezależnych funkcji.

𝑊(𝑥) = 𝑎

0

𝜑

0

(𝑥) + 𝑎

1

𝜑

1

(𝑥) + ⋯ + 𝑎

𝑛

𝜑

𝑛

(𝑥)

𝑊

𝑖

(𝑥) = ∑ 𝑎

𝑖

𝜑

𝑖

(𝑥)

𝑛

𝑖=0

Gdzie:
- n – liczba punktów interpolacji
- a

i

– współczynniki wielomianu interpolacyjnego, i=0,1,2,…,n

- 𝜑

i

(x) – funkcje bazowe, funkcje naszej zmiennej wybierane wcześniej przed

interpolującego, aby spełnić warunki brzegowe, i=0,1,2,…,n

10. Na czym polega interpolacja funkcjami sklejanymi?

Jest to alternatywne podejście do przybliżenia funkcji dowolnej na domkniętym przedziale,
polegająca na podziale tego przedziału na podprzedziały i skonstruowaniu różnych
wielomianów interpolacyjnych dla każdego z nich.
Interpolacja ta szczególnie jest wskazana gdy mamy dużo węzłów interpolacji, gdy dane są
związane z pewną znaną lub nieznaną funkcją, której pochodne są duże lub nie istnieją lub
gdy dane pochodzą z nienaturalnego lub nie matematycznego gniazda (np. granice państwa,
skrzydła samolotu). Najprostszym typem takiej interpolacji jest użycie funkcji liniowych co
sprowadza się do połączenia odcinkami pkt. będących węzłami interpolacji. Żeby dokładność
była zadowalająca należy przyjąć dużo punktów na wykresie. W przypadku użycia f.
kwadratowych uzyskujemy gładszą f. interpolującą, ale nie można zapewnić by funkcja
interpolująca i funkcja interpolowana miały identyczne pochodne na końcach przedziału
interpolacji. Najbardziej użyteczną interpolacją tego typu jest interpolacja funkcjami
sklejanymi 3-go stopnia.

11. Czym jest aproksymacja?

Aproksymacja funkcji polega na wyznaczeniu takiej funkcji F(x), która przybliża funkcję f(x) w
przedziale <x

1

,x

n

> przy określonym kryterium np. przy minimalizacji normy zapisanej w

następujący sposób ( aproksymacja jednostajna)

𝑄 = ||𝑓(𝑥) − 𝐹(𝑥)||

12. Przedstawić istotę aproksymacji metoda najmniejszych kwadratów.

Metoda ta ma na celu wyznaczenie linii regresji., linii trendu dla zebranych danych. Różnice
pomiędzy dokładnymi wartościami oraz wartościami obliczonymi z równania prostej są
podniesione do kwadratu. Metoda dopasowuje linię do zebranych danych, aby ogólny błąd
oszacowany był jak najmniejszy.

13. Wymienić metody aproksymacyjnego rozwiązywania równań różniczkowych. Krótko

omówić jedną z nich.
- metoda Ritza
- metoda Rayleigha-Ritza
- metoda reziduów ważonych



metoda punktu kollokacji



metoda podobszaru kollokacji



metoda najmniejszych kwadratów



metoda Galerkina

Wszystkie powyższe metody to metody całkowe, gdyż opierają się na formach całkowych.
Metoda Ritza – wymaga, by dla aproksymacji I rzędu był spełniony warunek:

Powyższe wyrażenie prowadzi do równania algebraicznego z niewiadomym parametrem a

1

.

Metoda Ritza polega na aproksymacji rozwiązania równania różniczkowego z pomocą tzw.
rozwiązań próbnych mających postać np. wielomianu n tego stopnia

14. Czym jest residuum?

Residuum jest pewną różnicą (lub resztą) przy działaniach na całkach rzeczywistych.
Residuum jest liczbą zespoloną opisującą zachowania całek po „konturach” analitycznej
funkcji f(x)
R(x,a

i

)

Residuum jest różnicą pomiędzy rozwiązaniem przybliżonym, a dokładnym. Jest błędem.

15. Przedstawić istotę metody elementów skończonych (MES) bazującej na aproksymacji

Galerkina.

Polega ona na przyjęciu że rolę funkcji wagowej pełni przyjmowana funkcja próbna.

∫ 𝑁

𝑖

(𝑥)𝑅

𝑖

(𝑥, 𝑎

𝑖

)𝑑𝑥 = 0

𝛺