PODSTAWY

METROLOGII

Wykład 10

Niepewność pomiarowa

Wprowadzenie

Przy omawianiu błędów wygodnie jest przypomnieć

na wzór terminologii stosowanej w literaturze

zachodniej rozróżnienie pomiędzy pojęciami

dokładność

i

precyzja

.

Wynik pomiaru określamy wówczas jako

dokładny

,

gdy jest on wolny od błędów systematycznych,

natomiast jako

precyzyjny

, gdy jego błąd

przypadkowy jest bardzo mały.

Dokładno

ść

pomiaru

- okre

ś

la, jak bardzo rezultat

pomiaru jest zbli

ż

ony do warto

ś

ci prawdziwej.

Wyniki o du

ż

ej dokładno

ś

ci otrzymuje si

ę

stosuj

ą

c

mierniki i wzorce o małej niepewno

ś

ci wzorcowania

Precyzja pomiaru

- okre

ś

la, jak dobrze został

okre

ś

lony rezultat pomiaru, bez odnoszenia si

ę

do

warto

ś

ci prawdziwej.

Wyniki o du

ż

ej precyzji otrzymuje si

ę

poprzez tak

ą

modyfikacj

ę

warunków pomiaru, aby niepewno

ś

ci

przypadkowe były jak najmniejsze.

Precyzja

Dokładność

Precyzja i dokładność

Precyzja i dokładność z

grubym błędem

.

precyzja

mówi nam coś o jakości działania przyrządu.

dokładność

mówi nam coś o jakości lub poprawności otrzymanego

wyniku.

Dokładność i precyzja

Ka

ż

dy eksperyment, ka

ż

dy pomiar i prawie

ka

ż

da operacja składowa pomiaru daje

wyniki obarczone ró

ż

nymi typami bł

ę

dów

– dlatego podanie wyniku pomiaru bez warto

ś

ci

oszacowanego przedziału niepewno

ś

ci jest

bł

ę

dem

Pomiar

Pomiar

— pewna sekwencja czynno

ś

ci

do

ś

wiadczalnych i obliczeniowych, prowadz

ą

ca do

wyznaczenia liczbowej warto

ś

ci wielko

ś

ci fizycznej.

Pomiar jest zawsze operacj

ą

niedokładn

ą

, to znaczy

estymata warto

ś

ci prawdziwej mezurandu

otrzymana jako wynik pomiaru ró

ż

ni si

ę

na ogół od

warto

ś

ci prawdziwej, równo

ść

estymaty i

estymowanej warto

ś

ci jest zdarzeniem wyj

ą

tkowym,

a fakt jego zaj

ś

cia pozostaje nieznany.

Istot

ą

pomiaru jest jednak to,

ż

e niedokładno

ść

wyniku pomiaru mo

ż

na zawsze oszacowa

ć

, to

znaczy mo

ż

na zawsze okre

ś

li

ć

graniczn

ą

odległo

ść

mi

ę

dzy znanym wynikiem pomiaru a

nieznan

ą

warto

ś

ci

ą

prawdziw

ą

mezurandu.

Szacowanie niedokładno

ś

ci pomiaru jest jedn

ą

z

podstawowych czynno

ś

ci, która powinna by

ć

wykonywana w procesie mierzenia.

Wynik pomiaru

warto

ść

pomiaru

±

bł

ą

d pomiarowy

Błąd pomiaru

Bł

ą

d pomiarowy niepewno

ść

pomiarowa,

dokładno

ść

pomiaru

Bł

ą

d w pomiarach = pomyłka

.

Rodzaje błędów

Rozró

ż

nia si

ę

trzy rodzaje miar

bł

ę

du:

bł

ę

dy prawdziwe,

bł

ę

dy umownie prawdziwe

bł

ę

dy graniczne

Błąd pomiaru

Bezwzgl

ę

dny bł

ą

d pomiaru -

jest ró

ż

nic

ą

miedzy

wynikiem pomiaru a warto

ś

ci

ą

prawdziw

ą

wielko

ś

ci

mierzonej:

X = Xs - Xp ,

gdzie:

Xs — wynik surowy,

Xp — warto

ść

prawdziwa wielko

ś

ci mierzonej.

Ma on jak

ąś

konkretn

ą

warto

ść

, ale niestety nie zawsze jest ona znana,

poniewa

ż

we wzorze definicyjnym wyst

ę

puje nie zawsze znana warto

ść

prawdziwa

.

Bł

ą

d pomiaru jest wska

ź

nikiem stopnia zgodno

ś

ci wyniku pomiaru i

warto

ś

ci prawdziwej.

Wynik surowy

jest to wynik pomiaru przed

korekcj

ą

bł

ę

du systematycznego.

Przy powtarzaniu pomiarów warto

ść

bł

ę

du b

ę

dzie

si

ę

zmieniała, co uwidoczni si

ę

w zmienno

ś

ci,

poniewa

ż

bł

ą

d pomiaru jest wypadkow

ą

dwóch

składowych:

•

bł

ę

du systematycznego

sX,

•

bł

ę

du przypadkowego

pX,

czyli:

X = sX + pX

Podział błędów

Wyniki pomiarów podlegaj

ą

pewnym

prawidłowo

ś

ciom, tzw. rozkładom typowym dla

zmiennej losowej. Z tego wzgl

ę

du bł

ę

dy

dzielimy na:

•

Bł

ę

dy grube

(pomyłki), które nale

ż

y eliminowa

ć

•

Bł

ę

dy systematyczne

, które mo

ż

na ograniczy

ć

udoskonal

ą

j

ą

c pomiar

•

Bł

ę

dy przypadkowe

, które podlegaj

ą

prawom

statystyki i rachunku prawdopodobie

ń

stwa,

wynikaj

ą

z wielu losowych przyczynków i nie

daj

ą

si

ę

wyeliminowa

ć

Błąd systematyczny

Bł

ą

d systematyczny

zdefiniowany jest nast

ę

puj

ą

co:

„Bł

ą

d systematyczny jest ró

ż

nic

ą

mi

ę

dzy warto

ś

ci

ą

ś

redni

ą Χś

r z niesko

ń

czonej liczby wyników

pomiarów tej samej wielko

ś

ci mierzonej,

wykonanych w warunkach powtarzalno

ś

ci, a

warto

ś

ci

ą

prawdziw

ą

wielko

ś

ci mierzonej

Χ

p ":

s

Χ

=

Χś

r −

Χ

p .

Błąd przypadkowy

Bł

ą

d przypadkowy

ma nast

ę

puj

ą

c

ą

definicj

ę

:

„Bł

ą

d przypadkowy jest r

óż

nic

ą

mi

ę

dzy wynikiem

pomiaru X a

ś

redni

ą Χś

r z niesko

ń

czonej liczby

wyników pomiarów tej samej wielko

ś

ci mierzonej,

wykonanych w warunkach powtarzalno

ś

ci"

p

Χ

=

Χ

−

Χś

r .

Krzywe rozkładu błędu

Bł

ą

d systematyczny Bł

ą

d przypadkowy

Rodzaje błędów

Warto

ść

oczekiwana bł

ę

du

przypadkowego jest równa zeru

,

- wła

ś

ciwo

ść

ta nie zawsze jest zgodna z sensem

fizycznym bł

ę

dów przypadkowych.

Całkowity bł

ą

d pomiaru

Χ

= s

Χ

+ p

Χ

.

Wzgl

ę

dny bł

ą

d pomiaru

zdefiniowany jest jako

stosunek bezwzgl

ę

dnego bł

ę

du pomiaru do

warto

ś

ci prawdziwej, czyli:

Poprawka

Je

ż

eli znana jest warto

ść

bł

ę

du systematycznego, to

mo

ż

na go wyeliminowa

ć

z wyniku pomiaru poprzez

wprowadzenie

poprawki

.

Poprawka ma warto

ść

bł

ę

du systematycznego, ale ze

znakiem przeciwnym

:

p(X) = - sX

Poprawka jest warto

ś

ci

ą

dodawan

ą

algebraicznie do surowego wyniku

pomiaru w celu skompensowania bł

ę

du systematycznego.

Wynik pomiaru po korekcji bł

ę

du systematycznego nazywamy wynikiem

poprawionym.

Rodzaje błędów

Podział bł

ę

dów ze wzgl

ę

du na fizyczne przyczyny

powstawania bł

ę

du - wyró

ż

nia si

ę

tu m.in.:

bł

ą

d wzorcowania,

bł

ą

d niestało

ś

ci,

bł

ę

dy kwantowania,

bł

ę

dy próbkowania,

bł

ę

dy zliczania,

itd.

Charakterystyka metrologiczna

( )

(

)

ρ τ

τ

τ

=

−

e

.

0 23

w godzinach

σ

2

1 58

=

.

Rozkład prawdopodobieństwa błędu niestałości

Przebieg błędu niestałości i jego prognoza

Je

ż

eli pomiary pewnej wielko

ś

ci x nara

ż

one s

ą

na

wpływ wielu niewielkich i przypadkowych zaburze

ń

,

to rozkład wyników jest rozkładem normalnym lub
rozkładem Gaussa.

Niepewno

ść

pomiaru

Niepewność możemy określić w rożny spos

ó

b:

-przyjmując model statystyczny,

- posługując się deterministyczną teorią niepewności

maksymalnej.

Międzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru zawarta w

dokumencie

Guide to the Expression of Uncertainty Measurements

opracowanym przez ISO)posługuje się w opisie niepewności

modelem statystycznym.

Podstawowe terminy i definicje

•

warto

ść

oczekiwana

– warto

ść

zgodna ze

zdefiniowana, jest nazywana cz

ę

sto

warto

ś

ci

ą

rzeczywista; jest to warto

ść

, która

mo

ż

e by

ć

uzyskana w wyniku doskonałego

pomiaru;

•

warto

ść

oznaczana

– warto

ść

uzyskana w

wyniku zastosowania danej procedury
analitycznej; wynik pomiaru to najcz

ęś

ciej

ś

rednia arytmetyczna z uzyskanych

warto

ś

ci oznaczanych;

•

dokładno

ść

pomiaru

– stopie

ń

zgodno

ś

ci

pomi

ę

dzy wynikiem pojedynczego pomiaru a

warto

ś

ci

ą

rzeczywista;

•

poprawno

ść

pomiaru

– stopie

ń

zgodno

ś

ci

pomi

ę

dzy wynikiem analizy (

ś

redni

ą

) a

warto

ś

ci

ą

rzeczywist

ą

;

•

precyzja pomiaru

– zgodno

ść

pomi

ę

dzy

uzyskiwanymi niezale

ż

nymi pomiarami;

niepewno

ść

pomiaru

(uncertainty) –

parametr zwi

ą

zany z wynikiem pomiaru, który

okre

ś

la przedział wokół warto

ś

ci

ś

redniej, w

którym mo

ż

e (na zało

ż

onym poziomie

istotno

ś

ci) znale

źć

si

ę

warto

ść

oczekiwana;

standardowa niepewno

ść

pomiaru

(standard uncertainty) –

u(xi)

- niepewno

ść

pomiaru przedstawiona i obliczona jako
odchylenie standardowe;

zło

ż

ona standardowa niepewno

ść

(combined

standard uncertainty) –

uc(y)

– standardowa

niepewno

ść

wyniku

y

pomiaru, której warto

ść

jest

obliczona na podstawie niepewno

ś

ci parametrów

wpływ

ą

j

ą

cych na warto

ść

wyniku analizy z

zastosowaniem prawa propagacji niepewno

ś

ci;

rozszerzona niepewno

ść

(expanded uncertainty)

-

U

– wielko

ść

okre

ś

laj

ą

ca przedział wokół

uzyskanego wyniku analizy, w którym mo

ż

na, na

odpowiednim, przyj

ę

tym poziomie istotno

ś

ci

(prawdopodobie

ń

stwa) oczekiwa

ć

wyst

ą

pienia

warto

ś

ci rzeczywistej;

•

współczynnik rozszerzenia

(coverage factor) –

k

– warto

ść

liczbowa u

ż

yta do wymno

ż

enia

zło

ż

onej standardowej niepewno

ś

ci pomiaru w

celu uzyskania rozszerzonej niepewno

ś

ci,

warto

ść

współczynnika zale

ż

y od przyj

ę

tego

poziomu prawdopodobie

ń

stwa (np.: dla 95 %

wynosi 2) i najcz

ęś

ciej jest wybierana z

przedziału liczb 2-3;

Niepewność

W praktyce nie znamy warto

ś

ci rzeczywistych

wielko

ś

ci mierzonych i szacujemy niepewno

ś

ci

pomiarowe wynikaj

ą

ce ze statystycznych praw

rozrzutu pomiarów

.

Niepewno

ść

pomiaru jest zwi

ą

zanym rezultatem

pomiaru parametrem, charakteryzuj

ą

cym rozrzut

wyników, który mo

ż

na w uzasadniony sposób

przypisa

ć

warto

ś

ci mierzonej.

Niepewno

ść

u

lub

u(x)

(ang. uncertainty)

posiada wymiar, taki sam jak wielko

ść

mierzona

Niepewno

ść

wzgl

ę

dna ur(x)

to stosunek

niepewno

ś

ci (bezwzgl

ę

dnej) do wielko

ś

ci

mierzonej:

Niepewno

ść

wzgl

ę

dna

jest wielko

ś

ci

ą

bezwymiarow

ą

i mo

ż

e by

ć

wyra

ż

ona w %

Niepewność

Istniej

ą

dwie miary niepewno

ś

ci

pomiaru:

niepewno

ść

standardowa u(x)

niepewno

ść

maksymalna

∆

x

Niepewność standardowa

Rezultat pomiaru jest zmienn

ą

losow

ą

x

i

,

której rozrzut wokół warto

ś

ci

ś

redniej

x

charakteryzuje parametr zwany odchyleniem
standardowym

Dokładnej warto

ś

ci odchylenia

standardowego nie znamy. Niepewno

ść

standardowa jest jego niezbyt dokładnym
oszacowaniem (estymatorem, ocen

ą

).

Niepewność maksymalna

Jest miar

ą

deterministyczn

ą

, gdy

ż

zakłada,

ż

e mo

ż

na

okre

ś

li

ć

przedział wielko

ś

ci mierzonej x, w którym na

pewno znajdzie si

ę

wielko

ść

rzeczywista.

W tym przypadku staramy si

ę

okre

ś

li

ć

przedział,

x

o

-

∆

x < x

i

< x

o

+

∆

x

w którym mieszcz

ą

si

ę

wszystkie wyniki pomiaru xi,

aktualnie wykonane i przyszłe.

Zaleca si

ę

obecnie niepewno

ść

maksymaln

ą

specyfikowan

ą

przez producenta zamienia

ć

na

niepewno

ść

standardow

ą

wg wzoru:

Typy oceny niepewności

Typ A

Metody wykorzystuj

ą

ce statystyczn

ą

analiz

ę

serii pomiarów:

•wymaga odpowiednio du

ż

ej liczby powtórze

ń

pomiaru

• ma zastosowanie do bł

ę

dów przypadkowych

Typ B

Opiera si

ę

na naukowym os

ą

dzie eksperymentatora

wykorzystuj

ą

cym wszystkie informacje o pomiarze i

ź

ródłach

jego niepewno

ś

ci

•

stosuje si

ę

gdy statystyczna analiza nie jest mo

ż

liwa

•dla bł

ę

du systematycznego lub dla jednego wyniku pomiaru

Typ A

Seria wyników (próba)

x

1

,x

2

, ….x

n

obarczonych

niepewno

ś

ci

ą

przypadkow

ą

jest du

ż

a

gdy 30<n<100. W
próbie takiej wyniki si

ę

powtarzaj

ą

:

n

k

jest

liczb

ą

pomiarów, w

których wyst

ą

pił wynik

x

k

,

n

k

/n

jest cz

ę

sto

ś

ci

ą

wyst

ę

powania wyniku

Opracowanie serii pomiarów

bezpośrednich dużej próby

Rozkład normalny Gaussa

G

ę

sto

ść

prawdopodobie

ń

stwa wyst

ą

pienia wielko

ś

ci

x lub jej bł

ę

du

∆

x podlega rozkładowi Gaussa

x

0

jest warto

ś

ci

ą

najbardziej prawdopodobn

ą

i mo

ż

e

by

ć

ni

ą ś

rednia arytmetyczna, jest odchyleniem

standardowym, jest wariancj

ą

rozkładu

Pomiar o wi

ę

kszym

σ

charakteryzuje si

ę

wi

ę

kszym rozrzutem wyników wokół warto

ś

ci

ś

redniej a zatem mniejsz

ą

precyzj

ą

Typ B

Dla oceny typu B wykorzysta

ć

mo

ż

na m.in.:

•

dane z pomiarów poprzednich,

• do

ś

wiadczenie i wiedz

ę

na temat przyrz

ą

dów

i obiektów mierzonych,

• informacje producenta przyrz

ą

dów,

• niepewno

ś

ci przypisane danym z literatury.

Gdy informacja o pomiarze i

ź

ródle jego niepewno

ś

ci jest

dobra, dokładno

ść

oceny typu B jest porównywalna z

dokładno

ś

ci

ą

oceny typu A.

Metoda różniczki zupełnej

Dla wielko

ś

ci zło

ż

onej y=f(x

1

,x

2

,...x

n

)

gdy

niepewno

ś

ci maksymalne

∆

x

1

,

∆

x

2

, ...

∆

x

n

s

ą

małe w porównaniu z warto

ś

ciami zmiennych

x

1

,x

2

, ... x

n

niepewno

ść

maksymaln

ą

wielko

ś

ci y wyliczamy z praw rachunku

ró

ż

niczkowego:

Prawo przenoszenia niepewności

Niepewno

ść

standardow

ą

wielko

ś

ci zło

ż

onej

y=f(x

1

,x

2

,...x

n

) obliczamy z tzw.

prawa

przenoszenia niepewno

ś

ci

jako sum

ę

geometryczn

ą

ró

ż

niczek cz

ą

stkowych

Zasady wyznaczania niepewności

pomiaru

Wyznaczanie niepewności pomiaru składa się z

następujących krok

ó

w:

Określenie wielkości mierzonej (wielkość wyjściowa), wielkości

wpływających na wynik pomiaru i jego niepewność (wielkości
wejściowe) oraz zależności pomiędzy wielkościami wejściowymi a
wielkością wyjściową (model pomiaru)

Zebranie informacji o wartościach i niepewności wielkości wejściowych (np.

błędy graniczne przyrząd

ó

w pomiarowych, niepewności wzorc

ó

w lub

materiał

ó

w odniesienia, serie wynik

ó

w powtarzalnych pomiar

ó

w)

Wyrażenie niepewności związanych z wielkościami wejściowymi za pomocą

odchyleń standardowych (niepewności standardowe wielkości
wejściowych). Stosowane są metody: A

–

statystyczne oraz B

–

inne

Przeliczenie standardowych niepewności wielkości wejściowych na

standardowe niepewności składowe wielkości wyjściowej (wyniku
pomiaru) z wykorzystaniem modelu pomiaru i obliczanych
automatycznie pochodnych cząstkowych

Połączenie standardowych niepewności składowych w standardową

niepewność złożoną wyniku pomiaru

Obliczenie niepewności rozszerzonej wyniku pomiaru

Normy

PN-EN ISO 10012:2004

Systemy zarz

ą

dzania

pomiarami. Wymagania dotycz

ą

ce procesów

pomiarowych i wyposa

ż

enia pomiarowego

PN-ISO 497:2002

Przewodnik wyboru ci

ą

gu liczb

normalnych i ci

ą

gów zawieraj

ą

cych kolejne

zaokr

ą

glone warto

ś

ci liczb normalnych

PN-ISO 5725-1:2002

Dokładno

ść

(poprawno

ść

i

precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Cz

ęść

1: Ogólne zasady i definicje

PN-ISO 5725-2:2002

Dokładno

ść

(poprawno

ść

i

precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Cz

ęść

2: Podstawowa metoda okre

ś

lania

powtarzalno

ś

ci i odtwarzalno

ś

ci standardowej metody

pomiarowej

Normy

PN-ISO 5725-3:2002

Dokładno

ść

(poprawno

ść

i

precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Cz

ęść

3: Po

ś

rednie miary precyzji standardowej metody

pomiarowej

PN-ISO 5725-4:2002

Dokładno

ść

(poprawno

ść

i

precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Cz

ęść

4: Podstawowe metody wyznaczania

poprawno

ś

ci standardowej metody pomiarowej

PN-ISO 5725-5:2002

Dokładno

ść

(poprawno

ść

i

precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Cz

ęść

5: Alternatywne metody wyznaczania precyzji

standardowej metody pomiarowej

PN-ISO 5725-6:2002

Dokładno

ść

(poprawno

ść

i

precyzja) metod pomiarowych i wyników pomiarów.
Cz

ęść

6: Stosowanie w praktyce warto

ś

ci okre

ś

laj

ą

cych

dokładno

ść

Normy

PN-ISO 7976-1:1994

Tolerancje w budownictwie. Metody

pomiaru budynków i elementów budowlanych. Metody i
przyrz

ą

dy

PN-ISO 11095:2001

Kalibracja liniowa z zastosowaniem

materiałów odniesienia

PN-ISO 11843-1:2003

Zdolno

ść

wykrywania. Cz

ęść

1:

Terminologia

PN-ISO 11843-2:2003

Zdolno

ść

wykrywania. Cz

ęść

2:

Metodologia w przypadku kalibracji liniowej

PN-ISO 11843-3:2007

Zdolno

ść

wykrywania. Cz

ęść

3:

Metodologia okre

ś

lania warto

ś

ci krytycznej zmiennej

odpowiedzi bez u

ż

ycia danych z kalibracji

PN-ISO 11843-4:2007

Zdolno

ść

wykrywania. Cz

ęść

4:

Metodologia porównywania minimalnej warto

ś

ci.

wykrywalnej z warto

ś

ci

ą

podan

ą

PN-71/N-02050

Metrologia. Nazwy i okre

ś

lenia

Przykład 1

Zaokr

ą

gli

ć

liczb

ę

1953,5091 do formatów z ostatni

ą

cyfr

ą

znacz

ą

c

ą

kolejno na miejscach od trzeciego po

przecinku do czwartego przed przecinkiem.

Stosuj

ą

c zasady mamy kolejno:

1953,509; 1953,51; 1953,5; 1954;

Przykład 2

Mierzymy rezystancj

ę

opornika R z rozdzielczo

ś

ci

ą

pozwalaj

ą

c

ą

na otrzymanie wyniku czterocyfrowego,

podanie wyniku w postaci:

R = 29,82 ±0,02385

Ω

-

ź

le!!!

je

ś

li bł

ą

d dx = 0,02385

Ω

, wynik ten powinien by

ć

zaokr

ą

glony do dx = 0,02

Ω

R = 29,82 ±0,02

Ω

- dobrze!!!

Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:

Otrzymuje si

ę

układ równa

ń

liniowych dla

niewiadomych a i b

Rozwi

ą

zuj

ą

c ten układ równa

ń

otrzymuje si

ę

wyra

ż

enia na a i b

Z praw statystyki mo

ż

na wyprowadzi

ć

wyra

ż

enia

na odchylenia standardowe obu parametrów
prostej:

Linearyzacja danych

eksperymentalnych

Zaokrąglanie liczb

Zaokr

ą

glanie

jest operacj

ą

zast

ę

powania cyfrowej

reprezentacji x liczby rzeczywistej x& cyfrow

ą

reprezentacj

ą

y tej

ż

e liczby x& , ale o mniejszej

ilo

ś

ci cyfr znacz

ą

cych.

Liczb

ę

x b

ę

dziemy nazywali liczb

ą

zaokr

ą

glan

ą

, a

liczb

ę

y – liczb

ą

zaokr

ą

glon

ą

.

Niech liczba zaokr

ą

glona y ma ostatni

ą

cyfr

ę

znacz

ą

c

ą

na pozycji J, niech dalej liczba

zaokr

ą

glana x jest zapisana w postaci ci

ą

gu cyfr

(dK-1 dK-2 ... dJ+1 dJ , dJ-1 dJ-2 ...)×10J .

Zaokr

ą

glanie normalne

jest okre

ś

lone zale

ż

no

ś

ci

ą

:

gdzie roundJ () – operator zaokr

ą

glania normalnego do

ostatniej cyfry znacz

ą

cej na pozycji J.

Zaokr

ą

glanie w gór

ę

polega na utworzeniu y przez odrzucenie

wszystkich cyfr x po dJ i dodaniu do

ń

10J (je

ż

eli która

ś

z

odrzuconych cyfr jest ró

ż

na od zera) lub pozostawieniu tak

otrzymanej reprezentacji (je

ż

eli wszystkie odrzucone cyfry

s

ą

zerami).

Zaokr

ą

glanie w dół

czyli obcinanie polega na utworzeniu y

przez odrzucenie wszystkich cyfr x po dJ .

Ogólna reguła mo

ż

e wi

ę

c przyj

ąć

nast

ę

puj

ą

c

ą

form

ę

:

Ostatnia cyfra znacz

ą

ca w ka

ż

dym wyniku powinna

by

ć

tego samego rz

ę

du (sta

ć

na tym samym

miejscu dziesi

ę

tnym) co bł

ą

d.

Na przykład:

Wynik

92,81

z bł

ę

dem

0,3

powinien by

ć

zaokr

ą

glony

do

92,8 ±0,3

.

Je

ś

li bł

ą

d równy jest

3

, to ten sam rezultat nale

ż

ałoby

zapisa

ć

jako

93±3

,

je

ś

li za

ś

bł

ą

d wynosi

30

, to zapis powinien by

ć

90 ±30

.

Jest wyj

ą

tek od podanej tu reguły.

Je

ś

li pierwsza cyfra bł

ę

du jest mała (l lub by

ć

mo

ż

e 2),

to mogłoby by

ć

wła

ś

ciwe pozostawienie w

odpowiedzi jeszcze jednej cyfry znacz

ą

cej.

Przykładowo, wynik taki jak:

L = 27,6 ± l cm

jest zupełnie rozs

ą

dny.

jego zaokr

ą

glenie do

28 ± l

powodowałoby utrat

ę

informacji.

PODSUMOWANIE

• Ka

ż

dy pomiar w laboratorium jest obarczony

niepewno

ś

ci

ą

pomiarow

ą

, któr

ą

eksperymentator

musi okre

ś

li

ć

zgodnie z pewnymi zasadami.

• W pierwszej kolejno

ś

ci nale

ż

y przeanalizowa

ć

ź

ródła bł

ę

dów, pami

ę

taj

ą

c, aby wyeliminowa

ć

wyniki obarczone bł

ę

dem grubym. W laboratorium

studenckim bł

ę

dy systematyczne z reguły

przewy

ż

szaj

ą

bł

ę

dy przypadkowe.

•

Wielokrotne powtarzanie pomiarów, gdy dominuje

bł

ą

d systematyczny, nie ma sensu. W takim

przypadku dokonujemy tylko 3-5 pomiarów w
tych warunkach w celu sprawdzenia
powtarzalno

ś

ci.

• Gdy bł

ą

d przypadkowy dominuje w

eksperymencie, nale

ż

y sprawdzi

ć

czy rozkład

wyników mo

ż

e by

ć

opisany funkcj

ą

Gaussa czy

te

ż

nale

ż

y spodziewa

ć

si

ę

innego rozkładu. W

tym celu dokonujemy wielokrotnego (np. 100
razy) pomiaru w tych samych warunkach,
obliczamy

ś

redni

ą

i wariancj

ę

rozkładu, rysujemy

histogram, etc.)

•

Jako miar

ę

niepewno

ś

ci stosujemy raczej

niepewno

ść

standardow

ą

, rzadziej niepewno

ść

maksymaln

ą

.

• W przypadku wielko

ś

ci zło

ż

onej, stosujemy prawo

przenoszenia bł

ę

du. Staramy si

ę

przeprowadzi

ć

analiz

ę

niepewno

ś

ci wielko

ś

ci zło

ż

onej tak, aby

uzyska

ć

informacje dotycz

ą

ce wagi

przyczynków, jakie wnosz

ą

do całkowitej

niepewno

ś

ci pomiary poszczególnych wielko

ś

ci

prostych. W tym celu nale

ż

y analizowa

ć

niepewno

ś

ci wzgl

ę

dne.

•

Wa

ż

nym elementem sprawozdania z przebiegu

eksperymentu (i to nie tylko w laboratorium
studenckim) jest wykres. Wykresy sporz

ą

dzamy

zgodnie z dobrymi zasadami, pami

ę

taj

ą

c o

jednoznacznym opisie.

• Zawsze, gdy to mo

ż

liwe, dokonujemy linearyzacji

danych eksperymentalnych, np. rysuj

ą

c y i ln (x),

lub log y i log x, lub y i 1/x itp. Do tak
przygotowanych danych mo

ż

na zastosowa

ć

metod

ę

regresji liniowej

•

Je

ż

eli znane s

ą

podstawy teoretyczne badanego

zjawiska, na wykresie zamieszczamy krzyw

ą

teoretyczn

ą

(linia ci

ą

gła) na tle wyra

ź

nych

punktów eksperymentalnych (dobieramy
odpowiednie symbole i nanosimy niepewno

ś

ci

eksperymentalne). Mo

ż

emy wcze

ś

niej dokona

ć

dopasowania parametrów przebiegu
teoretycznego w oparciu o znane metody
„dopasowania”

Zasada rysowania wykresów

2. Trzeba nanie

ść

bł

ą

d pomiaru

3. Dobra

ć

zakresy osi współrz

ę

dnych odpowiednio do

zakresu zmienno

ś

ci danych pomiarowych !!!

4. Wła

ś

ciwie opisa

ć

osie współrz

ę

dnych i dobra

ć

skal

ę

, tak aby łatwo mo

ż

na było odczyta

ć

warto

ś

ci

zmierzone.

5. Nie ł

ą

czy

ć

punktów eksperymentalnych lini

ą

łaman

ą

!!! Je

ś

li znany jest przebieg teoretyczny to

dokona

ć

dopasowania teorii do do

ś

wiadczenia

6. Zadba

ć

o aspekt estetyczny wykresu (opis,

zamkni

ę

cie ramk

ą

, itp.)

Metoda najmniejszych kwadratów

Regresja liniowa