LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ

Instrukcja do ćwiczenia

6

WYZNACZANIE PARAMETRÓW DYNAMICZNYCH UKŁADU

O JEDNYM STOPNIU SWOBODY

Cel

ć

wiczenia

Zapoznanie z zasadami modelowania obiektów rzeczywistych w celu zast

ą

pienia

prostego obiektu badanego modelem fizycznym i matematycznym. Dla otrzymanego układu
zast

ę

pczego - modelu fizycznego o jednym stopniu swobody nale

ż

y okre

ś

li

ć

, na drodze

analityczno - eksperymentalnej, parametry dynamiczne takie jak: masa zredukowana,
zast

ę

pczy współczynnik tłumienia i zast

ę

pczy współczynnik spr

ęż

ysto

ś

ci.

Literatura
J.Leyko, Mechanika Ogólna, tom II

Zagadnienia kontrolne

1. Zasady modelowania układów rzeczywistych.

2. Znajomo

ść

układania równa

ń

ruchu dla układów o jednym stopniu swobody.

3. Sposoby rozwi

ą

zywania, równa

ń

ró

ż

niczkowych zwyczajnych liniowych o stałych

współczynnikach.

4. Interpretacja parametrów dynamicznych układów.

5. Poj

ę

cia: okres drga

ń

, cz

ę

sto

ść

drga

ń

, cz

ę

stotliwo

ść

drga

ń

, dekrement tłumienia,

logarytmiczny dekrement tłumienia, tłumienie podkrytyczne, krytyczne i nadkrytyczne,

tłumienie wiskotyczne.

6. Znajomo

ść

modelu matematycznego opisu drga

ń

swobodnych (przebiegu w czasie)

tłumionych układu o 1SS.

Dodatkowo:

7. Charakterystyka amplitudowo cz

ę

stotliwo

ś

ciowa układu o 1SS (drgania wymuszone

harmonicznie) dla ró

ż

nych stopni tłumienia

8. Poj

ę

cie rezonansu.

Podstawy teoretyczne w zakresie dotycz

Wst

ę

p

W wielu zagadnieniach techni

rzeczywistych, przy okre

ś

leniu bezpiecznego za

obiektu na wyst

ę

puj

ą

ce wymu

pod wzgl

ę

dem wytrzymało

ś

własno

ś

ci dynamicznych obiektów. Du

powoduje,

ż

e równie

ż

ich mode

zło

ż

ono

ś

ci

ą

. Dlatego te

ż

w pierwszym przybli

prostszymi np. układami o jednym lub dwóch stopniach swobody i dla nich okre

parametry dynamiczne.

Drgania swobodne układu o jednym stopniu swobody, przedstawionego na r

mo

ż

emy opisa

ć

równaniem (1

Rys. 1.

gdzie: m – masa poruszaj

ą

ca si

x – współrz

ę

dna (wychylenie od poło

k – współczynnik spr

ęż

c – współczynnik tłumienia

siły oporu do pr

ę

dko

ś

Przyjmuj

ą

c nast

ę

puj

ą

ce oznaczenia:

2

ξω

=

m

c

w zakresie dotycz

ą

cym eksperymentu

W wielu zagadnieniach technicznych np. w zadaniu minimaliza

ś

leniu bezpiecznego zakresu pracy ze wzgl

ce wymuszenia (np. siłami w maszynie), przy optymalizacji konstrukcji

dem wytrzymało

ś

ciowym i w wielu innych przypadkach, istotna jest znajomo

ci dynamicznych obiektów. Du

ż

a zło

ż

ono

ść

budowy wielu układów rzeczywistyc

ich modele fizyczne i matematyczne charakteryzuj

ż

w pierwszym przybli

ż

eniu, układy takie zast

prostszymi np. układami o jednym lub dwóch stopniach swobody i dla nich okre

Drgania swobodne układu o jednym stopniu swobody, przedstawionego na r

równaniem (1):

Rys. 1. Model układu o jednym stopniu swobody

0

=

+

+

kx

x

c

x

m

&

&

&

masa poruszaj

ą

ca si

ę

ruchem post

ę

powym

dna (wychylenie od poło

ż

enia równowagi ),

współczynnik spr

ęż

ysto

ś

ci,

tłumienia (w przyj

ę

tym modelu przyj

ę

to proporcjonalno

dko

ś

ci ciała poruszaj

ą

cego si

ę

).

ce oznaczenia:

2

0

0

,

ω

ξω

=

m

k

,

niu minimalizacji drga

ń

układów

kresu pracy ze wzgl

ę

du na odpowied

ź

szenia (np. siłami w maszynie), przy optymalizacji konstrukcji

padkach, istotna jest znajomo

ść

budowy wielu układów rzeczywistych

le fizyczne i matematyczne charakteryzuj

ą

si

ę

du

żą

ie zast

ę

puje si

ę

modelami

prostszymi np. układami o jednym lub dwóch stopniach swobody i dla nich okre

ś

la si

ę

Drgania swobodne układu o jednym stopniu swobody, przedstawionego na rys.1,

układu o jednym stopniu swobody

(1)

to proporcjonalno

ść

równanie (1) mo

ż

na zapisa

ć

w postaci:

,

0

2

2

0

0

=

+

+

x

x

x

ω

ξω

&

&

&

(2)

gdzie:

ξ

- bezwymiarowy współczynnik tłumienia,

0

ω

- cz

ę

sto

ść

drga

ń

własnych, nietłumionych.

Rozwi

ą

zanie równania (2) ma posta

ć

(dla

ξ

<1):

(

)

(

)

[

]

t

B

t

A

e

x

t

2

0

2

0

1

cos

1

sin

0

ξ

ω

ξ

ω

ξω

−

+

−

=

−

.

Przyjmuj

ą

c warunki pocz

ą

tkowe:

,

0

,

0

0

0

=

=

=

=

t

t

x

x

x

&

(3)

otrzymujemy:

.

,

0

0

x

B

A

=

=

(4)

Tak wi

ę

c, rozwi

ą

zanie przyjmuje posta

ć

:

(

)

t

e

x

x

t

2

0

0

1

cos

0

ξ

ω

ξω

−

=

−

.

(5)

Aby zdefiniowa

ć

dany układ, nale

ż

y okre

ś

li

ć

cz

ę

sto

ść

0

ω

drga

ń

własnych nietłumionych

układu oraz współczynnik tłumienia

ξ

. Z wzoru (5) wynika,

ż

e cz

ę

sto

ść

drga

ń

swobodnych

wynosi:

.

1

2

0

ξ

ω

ω

−

=

Układ rzeczywisty

W

ć

wiczeniu rozpatrzymy układ przedstawiony schematycznie na rys. 2.

Układ składa si

ę

z pr

ę

ta i nało

ż

onych na pr

ę

t mas. Pr

ę

t mo

ż

e si

ę

obraca

ć

dokoła przegubu

A i jest utrzymywany w poło

ż

eniu poziomym przez spr

ęż

yn

ę

lub par

ę

spr

ęż

yn.

Dynamiczne równanie ruchu dla tego układu ma posta

poło

ż

enia równowagi):

gdzie:

I

- moment bezwładno

2

1

, m

m

- masy ci

ęż

arków,

b

m

- masa pr

ę

ta (jednorodny, sztywny),

2

1

, l

l

- odległo

ść

ś

rodków mas od osi obrotu,

3

l

- odległo

ść

od osi obrotu punktu prz

dyssypatywnego.

Współrz

ę

dna okre

ś

laj

ą

ca wychylenie od poło

spr

ęż

ysto-dyssypatywnego (punkt

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c to równanie (6) mo

1








m

Rys. 2. Model badanego układu

Dynamiczne równanie ruchu dla tego układu ma posta

ć

(dla niewielkich wychyle

ϕ

ϕ

ϕ

&

&

&

c

l

k

l

I

2

3

2

3

−

−

=

,

,

3

1

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

&

&

&

c

l

k

l

l

m

l

m

l

m

b

−

−

=













+

+

moment bezwładno

ś

ci układu wzgl

ę

dem osi przegubu A,

ęż

arków,

ta (jednorodny, sztywny),

rodków mas od osi obrotu,

od osi obrotu punktu przył

ą

czenia elementu spr

ęż

ca wychylenie od poło

ż

enia równowagi punktu doł

dyssypatywnego (punkt redukcji układu – punkt B):

.

3

ϕ

l

y

=

równanie (6) mo

ż

na zapisa

ć

w postaci:

,

0

3

1

2

3

2

3

2

2

2

3

1

1

=

+

+




















+













+













ky

y

c

y

l

l

m

l

l

m

l

l

b

&

&

&

dla niewielkich wychyle

ń

ϕ

od

(6)

czenia elementu spr

ęż

ysto-

enia równowagi punktu doł

ą

czenia elementu

(7)

(8)

Przyjmuj

ą

c:

,

3

1

2

3

2

3

2

2

2

3

1

1













+













+













=

l

l

m

l

l

m

l

l

m

m

b

z

(9)

równanie ruchu zapiszemy:

0

2

2

0

0

=

+

+

y

y

y

ω

ξω

&

&

&

,

(10)

gdzie:

.

,

2

2

0

0

ω

ξω

=

=

z

z

m

k

m

c

Okres drga

ń

swobodnych układu wynosi:

.

1

2

2

0

ξ

ω

π

−

=

T

(11)

Kolejne maksymalne wychylenia tworz

ą

ci

ą

g geometryczny o ilorazie równym:

( )

(

)

δ

ξω

=

=

=

+

+

T

i

i

e

A

A

T

t

y

t

y

0

1

max

max

,

(12)

nazywanym dekrementem tłumienia drga

ń

. Bardzo cz

ę

sto wykorzystuje si

ę

logarytmiczny

dekrement tłumienia drga

ń

zdefiniowany nast

ę

puj

ą

co:

( )

T

A

A

i

i

0

1

ln

ln

ξω

δ

=













=

=

∆

+

.

(15)

Na podstawie znanej warto

ś

ci zredukowanej masy m

z

mo

ż

emy obliczy

ć

warto

ść

zredukowanego współczynnika tłumienia c

z

i zredukowanej sztywno

ś

ci k

z

:

,

2

T

m

c

z

z

∆

=

(

)

2

2

2

4

∆

+

=

π

T

m

k

z

z

,

(16)

gdzie warto

ś

ci logarytmicznego współczynnika tłumienia i okresu drga

ń

swobodnych

tłumionych T okre

ś

lamy na podstawie przebiegu przemieszcze

ń

drga

ń

swobodnych punktu

redukcji obiektu rzeczywistego.

Opis stanowiska

Stanowisko laboratoryjne składa si

a) Cz

ęść

mechaniczna

Rys.3. Schemat stanowiska pomiarowego: 1

dyssypatywny), 2 –

Ć

wiczenie przeprowadza si

przymocowana rama (3). Najwa

wymiennymi ci

ęż

arkami m

miejscach – przegubowo

dyssypatywny).

b) Cz

ęść

elektroniczna

Rys.

Pierwszym elementem elektroniczn

przetwornik drga

ń

mocowany do

transformacj

ę

wielko

ś

ci mechanicz

elektryczny o napi

ę

ciu proporcjonalnym do przyspieszania drga

Czujnik
przyspieszeń
drgań

jne składa si

ę

z dwóch cz

ęś

ci: mechanicznej i elektronicznej

Schemat stanowiska pomiarowego: 1 – spr

ęż

yna (element spr

– podstawa, 3 – rama, 4 – pr

ę

t mocowany przegubowo.

przeprowadza si

ę

na specjalnym przyrz

ą

dzie: Do podstawy (2) jest

Najwa

ż

niejsza cz

ęść

układu, a mianowicie stalowy pr

m

1

i m

2

o ró

ż

nych masach, jest doł

ą

czona do ramy w dwóch

przegubowo w punkcie 0 oraz poprzez spr

ęż

yn

ę

(1) (element spr

Rys. 4. Schemat blokowy układu badawczego

Pierwszym elementem elektronicznego układu pomiarowego jest pie

mocowany do elementu układu mechanicznego. Umo

ci mechanicznych na elektryczne. Z przetwornika uzyskujemy sygnał

ciu proporcjonalnym do przyspieszania drga

ń

. Nast

Wzmacniacz

Filtr

dolno-

przepustowy

Oscyloskop

ci: mechanicznej i elektronicznej.

yna (element spr

ęż

ysto-

t mocowany przegubowo.

dzie: Do podstawy (2) jest

a mianowicie stalowy pr

ę

t (4) wraz z

ą

czona do ramy w dwóch

ę

(1) (element spr

ęż

ysto-

Schemat blokowy układu badawczego

ego układu pomiarowego jest piezoelektryczny

du mechanicznego. Umo

ż

liwia on

Z przetwornika uzyskujemy sygnał

ń

. Nast

ę

pnie sygnał ten

Oscyloskop

cyfrowy

musi by

ć

wzmocniony. Aby ograniczy

znajduje si

ę

cz

ę

stotliwo

ść

dolnoprzepustowy. Filtr ten ogranicza wpływ zakłóce

badana. Sygnał jest rejestrowany za pomoc

Przebieg

ć

wiczenia

Eksperyment najlepiej przeprowadzi

Badania nale

ż

y przeprowadzi

i /lub spr

ęż

ysto

ś

ci) w celu porównania wpływu okre

i sztywno

ś

ci na identyfikowane parametry.

Dla wybranego układu mechanicznego (rys.3) okre

- mas

ę

m

1

i m

2

(+masa czujnika).

- długo

ść

pr

ę

ta l ,

- współrz

ę

dn

ą

mocowania masy skupionej

- g

ę

sto

ść

materiału pr

ę

-

ś

rednic

ę

pr

ę

ta d (przyj

Nast

ę

pnie nale

ż

y pobudzi

ć

i zarejestrowa

ć

przebieg drga

warto

ś

ci kolejnych maksymalnych przemieszcze

dla dodatniej i ujemnej cz

ęś

Rys.5. Wykres drga

ń

swobodnych tłumionych; oznaczenia pomocne przy obliczaniu okresu

drga

ń

swobodnych tłumionych T i logarytmicznego dekrementu tłumienia

Aby ograniczy

ć

pasmo cz

ę

stotliwo

ś

ci sygnału do zakresu, w którym

ść

drga

ń

zanikaj

ą

cych badanego układu, zastosowano filtr

Filtr ten ogranicza wpływ zakłóce

ń

o wy

ż

szych cz

badana. Sygnał jest rejestrowany za pomoc

ą

oscyloskopu cyfrowego.

Eksperyment najlepiej przeprowadzi

ć

zgodnie z podanymi poni

ż

ej wytycznymi.

y przeprowadzi

ć

dwukrotnie (dla dwóch ró

ż

nych rozmieszcze

w celu porównania wpływu okre

ś

lonego rozmieszczenia mas

ci na identyfikowane parametry.

Dla wybranego układu mechanicznego (rys.3) okre

ś

li

ć

nast

ę

puj

ą

ce warto

masa czujnika).

mocowania masy skupionej l

1

i l

2

,

pr

ę

ta (dla stali

ρ

= 7800 [kg/m

3

]),

(przyj

ąć

przekrój jako okr

ą

gły).

y pobudzi

ć

układ do drga

ń

(wychyli

ć

układ z poło

przebieg drga

ń

zanikaj

ą

cych na oscyloskopie cyfrowym. Zarejestrowa

ci kolejnych maksymalnych przemieszcze

ń

układu A

ij

oraz czasu ich wyst

ęś

ci wykresu (rys. 5.).

swobodnych tłumionych; oznaczenia pomocne przy obliczaniu okresu

swobodnych tłumionych T i logarytmicznego dekrementu tłumienia

ci sygnału do zakresu, w którym

cych badanego układu, zastosowano filtr

szych cz

ę

stotliwo

ś

ciach ni

ż

oscyloskopu cyfrowego.

ej wytycznymi.

ż

nych rozmieszcze

ń

mas

lonego rozmieszczenia mas

ą

ce warto

ś

ci:

układ z poło

ż

enia równowagi)

cych na oscyloskopie cyfrowym. Zarejestrowa

ć

oraz czasu ich wyst

ą

pienia t

ij

swobodnych tłumionych; oznaczenia pomocne przy obliczaniu okresu

swobodnych tłumionych T i logarytmicznego dekrementu tłumienia

Obliczy

ć

ś

redni

ą

warto

ść

okresu drga

ń

swobodnych T

ś

r

i logarytmicznego dekrementu

tłumienia

∆

ś

r

zgodnie z zale

ż

no

ś

ciami:

,

1

1

2

1

1

2

1

1















+

=

∑

∑

=

=

m

j

j

n

j

j

ś

r

T

m

T

n

T

(17)

gdzie:

1

+

−

=

ij

ij

ij

t

t

T

,





























+















=

∆

∑

∑

=

+

=

+

l

j

j

j

k

j

j

j

ś

r

A

A

l

A

A

k

1

1

2

2

1

1

1

1

1

ln

1

ln

2

1

.

(18)

Korzystaj

ą

c

z

wspomnianych

wcze

ś

niej

wzorów

obliczy

ć

warto

ś

ci

zredukowanego współczynnika tłumienia c

z

i zredukowanej sztywno

ś

ci k

z

.

Podawanie wyniku bez oszacowania niepewno

ś

ci pomiarowych nie daje pełnego

opisu warto

ś

ci pomiaru, dlatego te

ż

nale

ż

y uwzgl

ę

dni

ć

wyniki oblicze

ń

poszczególnych

warto

ś

ci wraz z oszacowanymi warto

ś

ciami „bł

ę

du”.

Dalej zakłada

ć

b

ę

dziemy,

ż

e najistotniejszym składnikiem niepewno

ś

ci jest składnik

losowy.

Oszacowanie niepewno

ś

ci pomiarowej logarytmicznego dekrementu tłumienia ma posta

ć

:

2

1

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

δ

δ

∆















+

∆















=

∆∆

∑

∑

=

+

=

+

l

j

j

j

k

j

j

j

sr

A

A

l

A

A

k

(19)

gdzie

1

δ

∆

i

2

δ

∆

stanowi

ą

rozszerzone odchylenia standardowe od

ś

redniej dla stosunku

kolejnych amplitud, odpowiednio dla cz

ęś

ci dodatniej i ujemnej. Ogólnie wi

ę

c, przy

przyj

ę

ciu współczynnika rozszerzenia 3 otrzymamy:

∑

∑

=

=

+

+















−













−

=

∆

N

i

N

j

j

j

i

i

A

A

N

A

A

N

N

1

2

1

1

1

1

)

1

(

1

3

δ

(20)

Podobny tok post

ę

powania mo

ż

na zastosowa

ć

dla oszacowania niepewno

ś

ci pomiarowej

okresu T.

Warto

ść

ś

redni

ą

okresu obliczamy z wzoru (17) co zapiszemy jeszcze raz w postaci:

(

)

2

1

2

1

T

T

T

+

=

,

(21)

gdzie:

∑

=

=

n

i

i

T

n

T

1

1

1

1

, -

ś

redni okres dla cz

ęś

ci dodatniej wykresu,

∑

=

=

m

i

i

T

m

T

1

2

2

1

, -

ś

redni okres dla cz

ęś

ci ujemnej wykresu,

Ostateczne oszacowanie niepewno

ś

ci pomiarowej okresu drga

ń

nale

ż

y wyznaczy

ć

z:

2

1

2

1

2

1

T

T

T

∆

+

∆

=

∆

,

(22)

gdzie:

1

1

T

T

σ

=

∆

,

2

2

T

T

σ

=

∆

,

a

2

1

T

T

i

z

σ

σ

obliczamy jak poprzednio, przyjmuj

ą

c wzór na odchylenie standardowe

i zało

ż

enie o rozkładzie normalnym bł

ę

du, oraz współczynnik rozszerzenia 3. Niepewno

ś

ci

oszacowania kolejnych wyznaczanych wielko

ś

ci (wzory 16) wykonuje si

ę

przenosz

ą

c

wyznaczone niepewno

ś

ci zgodnie z regułami przenoszenia bł

ę

dów.

Szczegółowe kroki oblicze

ń

znajduj

ą

si

ę

w arkuszu sprawozdania.