1. Zapisać symbolicznie następujące zdania:

(a) Liczba a jest naturalna i jest podzielna przez 3 oraz w dzieleniu przez 4 daje resztę

1.

(b) Jedynymi liczbami wymiernymi spełniającymi równanie 2x

4

−3x

3

+3x

2

−3x+1 = 0

są liczby 1 i

1
2

. (Czy to jest zdanie prawdziwe?).

(c) Ciąg (a

n

) jest od pewnego miejsca stały.

2. Napisać po polsku co wyrażają następujące zdania.

(a) (a ∈ R ∧ |a| = 2) ⇒ a = 2 ∨ −2 Czy to jest zdanie prawdziwe?

(b) z ∈ C ∧ |z| = 1 ⇒ z = 1 ∨ z = −1 Prawda?

(c) ((∃

M ∈R

∀

n∈N

a

n

< M ) ∧ ∀

n∈N

a

n

¬ a

n+1

) ⇒ ∃

g

lim a

n

= g. Prawda?

3. Dla jakich x ∈ R są prawdziwe zdania?

(a) ∀

y∈R

x + y ¬ xy

(b) ∃

y∈R

x + y ¬ xy

(c) ∃

y∈R

(x + y)

2

+ (x − y)

2

= 0.

(d) ∀

x∈R

∃

z∈R

x + y + z 6= 0.

Napisać zaprzeczenia tych zdań.

4. Udowodnić metodą indukcji

(a) 1

2

+ 3

2

+ 5

2

+ · · · + (2n − 1)

2

= n

2

(2n

2

− 1) dla wszystkich n ∈ N.

(b) Dla każdej liczby naturalnej n liczba n

3

+ 5n dzieli się przez 120.

(c) Dla jakich n prawdziwa jest nierówność 2

n

> n

2

+ 3n. Sformułować hipotezę i

udowodnić metodą indukcji.

4. Ocenić prawdziwość następujących zdań.

(a) ∃

x∈R

∃

y∈R

∃

z∈R

x + y + z = 1.

(b) ∃

x∈R

∀

y∈R

∃

z∈R

x + y + z = 1.

(c) ∀

x∈R

∃

y∈R

∃

z∈R

x + y + z = 1.

5. Rozstrzygnąć (i) przy pomocy funkcji charakterystycznych , (ii) przekształcając na od-
powiednie zdania logiczne, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C są prawdziwe następujące
relacje. Jeśli nie to podać odpowiedni konkretny przykład.

(a) A ∪ (A ∩ B) = A.

(b) A ∩ (A ∪ B) = B.

(c) (A ∩ B) ∪ (C ∩ B) = B.

(d) (A ∪ B) − C ⊂ (A − C) ∪ B.

6. Niech X = {x ∈ R : 2 < x ¬ 7}, Y = {x ∈ R : −1 ¬ x < 5}. Wyznaczyć: X ∪ Y, X ∩
Y, X − Y, X ÷ Y

1

1. Zapisać symbolicznie następujące zdanie:

Największym wspólnym dzielnikiem liczb naturalnych a i b jest 5.

2. Napisać po polsku co wyrażają następujące zdania:

(a) (∀

n∈N

a

n

> a

n+1

) ⇒ (lim a

n

= −∞ ∨ ∃

b∈R

lim a

n

= b).

(b) n ∈ N ∧ ∀

k∈N

k|n ⇒ (k = 1 ∨ k = n).

3. Dla jakich x ∈ R są prawdziwe zdania?

(a) ∃

y∈R

x + y = xy

(b) ∀

y∈R

x(y − 1) ¬ x

2

y − x

2

.

Napisać zaprzeczenia tych zdań nie używając znaku negacji.
(a)

(b)

4. Udowodnić metodą indukcji

(a) 1

2

+ 3

2

+ 5

2

+ · · · + (2n − 1)

2

= n

2

(2n

2

− 1) dla wszystkich n ∈ N. Na osobnej kartce.

5. Niech X = {x ∈ R : 2 < x ¬ 7}, Y =< −1, 6). Wyznaczyć: X ∪ Y, X ∩ Y, X − Y, X ÷ Y

1

6. Rozstrzygnąć przy pomocy funkcji charakterystycznych czy dla dowolnych zbiorów
A, B, C są prawdziwe następujące relacje. Jeśli nie to podać odpowiedni konkretny przy-
kład.

(a) (A ∪ B) ∩ B) = B.

(b) C − (A ∪ B) = (C − A) ∪ (C − B).

7. Niech a będzie liczbą rzeczywistą. Rozpatrzmy zdanie

a

2

­ 1 ∧ ∃

x∈R

x

2

= a

Które z poniższych warunków są konieczne a które są wystarczające dla tego zdania

(1) a < 0 ,

(2) a > −1 ,

(3) a ­ 0 ,

(4) a = 0 , (5) a = 1,

(6 ) |a| ­ 1,

(7)

x ∈< 2, 5 >

Odp. Konieczne: ...................................., Dostateczne....................................

2