Analiza matematyczna 1

Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2003/2004

Na pierwszej stronie pracy prosz
napisa nazw
kursu, z którego odbywa si
egzamin, nazw
egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi
i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imi
i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzcej wiczenia), dat
oraz sporzdzi po-
nisz tabelk
. Ponadto prosz
ponumerowa, podpisa i i spi zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.

A1

1

2

3

4

5

6

Suma

Treci zada prosz
nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze

naley napisa na

-tej

n

n

kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwizanie kadego zadania mona
otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn.
formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane
wnioski. Ponadto prosz
sporzdza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Wykorzystujc twierdzenie o trzech cigach znale granic
przy

cigu

n → ∞

.

a

n

=

n

1

2n + 3

+

1

2n + 3

+

... +

1

2n + 2n − 3

2. Znale wszystkie asymptoty wykresu funkcji

.

f ( x ) =

x

2

−

4

x −

3

3. Wykorzystujc róniczk
poda przyblion warto wyraenia

.

(

0, 995 )

2,995

4. Na osi

wyznaczy punkt

tak, aby suma jego odległoci od punktów

Ox

M

była moliwie najmniejsza.

A = (

0, 3 ), B = ( 4, 5 )

5. Obliczy całk

.

x

5

2 − x

2

dx

6. Obliczy obj
to bryły

ograniczonej powierzchni powstał przy obrocie krzywej

V

dla

y =

ctg x

π
6

≤

x ≤

3π

4

wokół osi

. Sporzdzi rysunek.

Ox

Analiza matematyczna 1

Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2003/2004

Na pierwszej stronie pracy prosz
napisa nazw
kursu, z którego odbywa si
egzamin, nazw
egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi
i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imi
i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzcej wiczenia), dat
oraz sporzdzi po-
nisz tabelk
. Ponadto prosz
ponumerowa, podpisa i i spi zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.

B1

1

2

3

4

5

6

Suma

Treci zada prosz
nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze

naley napisa na

-tej

n

n

kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwizanie kadego zadania mona
otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn.
formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane
wnioski. Ponadto prosz
sporzdza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Stosujc twierdzenie o trzech cigach obliczy granic

.

lim

n→∞

log

4

n

+

2

(

2

n

+

7 )

2. Obliczy z definicji pochodn funkcji

g ( x ) =

cos

1
x

w punkcie

.

x

0

≠

0

3. Znale wielomian, który na przedziale

przyblia funkcj

[−

1, 1 ]

f ( x ) = x e

x

z bł
dem nie przekraczajcym

.

0, 01

4. Wyznaczy przedziały wkl
słoci, wypukłoci oraz punkty przegi
cia wykresu funkcji

.

f ( x ) =

x

2

+

2x + 1

x

2

+

2x + 2

5. Znale wszystkie funkcje

, których pochodna jest równa

F

.

F ( x ) =

cos ln x

6. Obliczy pole figury ograniczonej wykresami funkcji

,

y = x

2

, y = x

2

−

1

prostymi

i znajdujcej si
w półpłaszczynie

.

x =

1, y = 9

x ≥

0

Analiza matematyczna 1

Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2003/2004

Na pierwszej stronie pracy prosz
napisa nazw
kursu, z którego odbywa si
egzamin, nazw
egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi
i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imi
i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzcej wiczenia), dat
oraz sporzdzi po-
nisz tabelk
. Ponadto prosz
ponumerowa, podpisa i i spi zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.

C1

1

2

3

4

5

6

Suma

Treci zada prosz
nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze

naley napisa na

-tej

n

n

kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwizanie kadego zadania mona
otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn.
formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane
wnioski. Ponadto prosz
sporzdza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Zbada istnienie granicy cigu

a

n

= ( p

2

−

3p − 3 )

n

w zalenoci od parametru

. Poda t
granic
.

p ∈ R

2. Wykorzystujc twierdzenie o trzech funkcjach obliczy granic

.

lim

x→∞

E (

4

x+

3

)

E (

2

2x

−

1 )

3. Wyprowadzi wzór na pochodn rz
du

funkcji

n

f ( x ) = ( x +

4 ) ln ( x + 3 )

i obliczy

.

f

(100)

(−2 )

4. Obliczy granic

.

lim

x→−∞





arcctg x

π





x

5. Obliczy całk

.

1 − 4x − x

2

dx

6. Obliczy obj
to bryły

powstałej z obrotu wokół osi

obszaru ograniczonego

V

Oy

osi

, prostymi

oraz wykresem funkcji

.

Ox

x =

π
3

, x =

π
2

f ( x ) =

cos x

2

Analiza matematyczna 1

Egzamin poprawkowy, semestr zimowy 2003/2004

Na pierwszej stronie pracy prosz
napisa nazw
kursu, z którego odbywa si
egzamin, nazw
egzaminu
(podstawowy, poprawkowy lub dodatkowy), swoje imi
i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek,
rok studiów, imi
i nazwisko wykładowcy (oraz osoby prowadzcej wiczenia), dat
oraz sporzdzi po-
nisz tabelk
. Ponadto prosz
ponumerowa, podpisa i i spi zszywaczem wszystkie pozostałe
kartki pracy.

D1

1

2

3

4

5

6

Suma

Treci zada prosz
nie przepisywa. Rozwizanie zadania o numerze

naley napisa na

-tej

n

n

kartce pracy. Na rozwizanie zada przeznaczono 120 minut, za rozwizanie kadego zadania mona
otrzyma od 0 do 5 punktów. W rozwizaniach naley dokładnie opisywa przebieg rozumowania, tzn.
formułowa wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytacza stosowane wzory, uzasadnia wycigane
wnioski. Ponadto prosz
sporzdza staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia !

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Wykorzystujc twierdzenie o cigu monotonicznym i ograniczonym uzasadni

zbieno cigu

i poda jego granic
, jeeli

(

a

n

)

a

n

=

n ⋅

3

n

(

n +

1) !

2. Wykorzystujc znane granice podstawowych wyrae nieoznaczonych obliczy

granic

.

lim

x→π

e

sin 2x

−

1

e

sin x

−

1

3. Dla jakich wartoci parametru

wykresy funkcji

p

g ( x ) =

sin px ⋅ cos

x
p

,

h ( x ) =

cos px ⋅ sin

x
p

przecinaj si
w punkcie

pod ktem

?

(

0, 0 )

π
3

4. Obliczy

z dokładnoci do

.

4

16, 4

2 ⋅ 10

−

4

5. Obliczy całk

.

dx

(

x

2

−

6x + 13 )

2

6. Obszar

D = { ( x

, y ) : 0 ≤ x ≤

3 , 0 ≤ y ≤ arctg x }

obraca si
wokół osi

. Poda obj
to otrzymanej w ten sposób bryły

Oy

obrotowej

.

V