Zmiana bazy przestrzeni wektorowej
Definicja 1.
(
B
e
B
)
(
)
1
2
1
2
, , ,
( , ,..., )
'
', ',..., '
n
n
X K
e
e
e e
e
+ ⋅
=
=
- nowa baza
- stara baza
- przestrzeń wektorowa nad ciałem K
Macierzą przejścia P od B do B’ nazywamy macierz odwzorowania
Identycznościowego przestrzeni X w siebie wyjściowo traktowanej z
bazą B’, a docelowo z bazą B
'
P
B
B
→
IdX
(
)
',
IdX
P M
B B
=
X
B’
X
B
WNIOSEK:
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
1
1
11 1
21 2
1
11
21
1
2
2
12 1
22 2
2
12
22
2
1
1
2
2
1
2
'
'
...
...
'
'
...
...
'
'
...
...
n
n
n
B
n
n
n
B
n
n
n
n
nn n
n
n
nn B
e
e
a e
a e
a e
a
a
a
e
e
a e
a e
a e
a
a
a
e
e
a e
a e
a e
a
a
a
=
=
+
+ +
=
+
+ +
=
=
+
+ +
=
+
+ +
=
=
+
+ +
=
+
+ +
IdX
IdX
IdX
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
P
a
a
a
=
…
…
…
Pierwszą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne pierwszego
wektora nowej bazy względem starej bazy.
Drugą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne drugiego
wektora nowej bazy względem starej bazy.
n-tą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne n-tego wektora
nowej bazy względem starej bazy.
Przykład 1.
(
)
dim
B
e
B
e
- prze
(
)
1
2
3
1
2
3
, , ,
3
( , , )
'
', ',
X K
X
e e
e e
+ ⋅
=
=
=
str
- nowa b
'
aza
- stara baza
zeń wektorowa
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
e
e
e
e
e
e
Sprawdzamy, ze B’ jest bazą:
1
1
2
1
2
3
1
2
'
'
'
e
e
e
=
= +
= + +
3
(
)
(
) (
)
(
)
( )
1
2
3
1
1
2
1
2
3
1
2
'
'
' 0
0
0
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
α
β
γ
α
β
γ
α β γ
β γ
γ
+
+
=
+
+
+
+ +
=
+ +
+
+
+
=
3
e e
1
2
3
, , e
- wektory liniowo niezależne
0
0
0
α β γ
β γ
γ
+ + =
+ =
=
0
0
0
α
β
γ
=
⇒
=
=
i dimX=3, więc B’ jest bazą
e
e
e
e
e
e
WNIOSEK
[
]
[
]
[
]
1
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
' 1
0
0
1,0,0
' 1
1
0
1,1,0
' 1
1
1
1,1,1
B
B
B
e
e
e
e
e
e
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
P
=
macierz P jest macierzą nieosobliwą oraz
jest macierzą
odwrotną
P
P
1
'
B
B
−
→
1)
2)
'
B
B
→
[
] [
]
1
2
1
2
, ,...,
',
',...,
'
n
n
B
B
x
x x
x
x x
x
=
=
1
2
n
x
x
X
x
=
1
2
'
'
'
'
n
x
x
X
x
=
Na podstawie postaci macierzowej:
1
'
'
X
P X
X
P
X
−
= ⋅
⇒
=
⋅
Przykład 1’.
x e
[
] [
]
1
2
3
1
2
3
'
2
3
1, 2,3
',
', '
B
B
e
e
x x x
= −
+
= −
=
=
1
2
3
1
1 1 1
2
0 1 1
3
0 0 1
x
x
x
− =
'
'
'
1
1
2
3
2
3
3
'
'
'
'
'
2
' 3
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+ = −
=
1
2
3
' 3
'
5
' 3
x
x
x
=
= −
=
=
−
[
]
'
3, 5,3
B
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
Twierdzenie 1.
(o zmianie macierzy odwzorowania przy zmianie baz
przestrzeni)
(
) (
)
, , , ,
, , ,
dim
dim
X K
Y K
X
m
Y
n
+ ⋅
+ ⋅
=
=
(
)
(
)
1
1
2
1
1
2
, ,...,
'
', ',...,
'
m
m
B
e e
e
B
e e
e
=
=
bazy w X
- przestrzenie wektorowe
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
, ,...,
'
', ',..., '
n
n
B
l l
l
B
l l
l
=
=
bazy w Y
Z:
2
2
'
B
B
Q Q
→
=
1
1
'
B
B
P P
→
=
:
f X
Y
→
f jest odwzorowaniem liniowym
A M
(
)
(
)
1
2
1
2
,
',
'
f
f
B B
M
B B
=
=
B
T: B Q
1
A P
−
=
⋅ ⋅
Przykład 2.
(
B
e
B
e
e
e
e
e
e
e
)
(
)
(
)
1
1
2
3
1
1
2
3
1
1
2
2
2
3
3
1
2
3
, , ,
, ,
'
', ',
'
'
'
X K
e e
e e
e
e
e
e
+ ⋅
=
=
= +
= +
= + +
'
(
)
( )
(
)
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
, , ,
,
'
',
'
'
Y K
B
l l
B
l l
l
l
l
l
l
l
+ ⋅
=
=
= − +
= +
'
f
f
f e
( )
( )
( )
1
1
2
2
3
1
2
:
3
X
Y
e
l
l
e
l
l
→
= − +
=
= +
2
l
f
A M
B M
P
Q
B Q
(
)
(
)
1
1
2
2
1
2
1
2
'
'
1
1 0 1
,
1
3 1
',
'
1 0 1
1 1 1
0 1 1
1 1
1 1
f
f
B
B
B
B
B B
B B
A P
→
→
−
−
=
=
=
=
−
=
=
⋅ ⋅
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
Macierz znajdujemy rozwiązując układ:
Q
1
−
1
1
2
2
1 1
1 1
x
y
x
y
−
=
1
1 1
2 2
1
1
2
2
−
−
=
Q
1 1
5 3 5
1 0 1
1 0 1
2 2
2 2 2
1 1 1
1
1
1
3 1
3 5 5
0 1 1
2
2
2 2 2
−
−
=
⋅
⋅
=
B
WNIOSEK:
(
)
f
, , ,
:
X K
X
X
+ ⋅
→
f- endomorfizm
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
'
,
',
'
f
f
B
B
A M
B B
B M
B B
P
→
=
=
1
1
'
B
B
1
1
'
B
B
1
B P
A P
−
=
⋅ ⋅
Definicja 2.
a) macierze nazywamy macierzami
równoważnymi
A ,
n m
n m
B
×
×
1
,
:
:
P Q nieosobliwe
B Q
A P
−
−
⇔ ∃
=
⋅ ⋅
b) macierze nazywamy macierzami
podobnymi
A ,
n n
n n
B
×
×
1
:
:
P nieosobliwa
B P
A P
−
−
⇔ ∃
=
⋅ ⋅
WNIOSEK:
1)
dwie macierze tego samego odwzorowania liniowego względem różnych
baz są równoważne
2)
dwie macierze tego samego endomorfizmu w różnych bazach są
podobne
UWAGA
Można udowodnić, że dwie macierze równoważne reprezentują to samo
odwzorowanie liniowe w odpowiednio wybranych i ustalonych
przestrzeniach i bazach, oraz że dwie macierze podobne reprezentują ten
sam endomorfizm w odpowiednio wybranych i ustalonych przestrzeniach i
bazach.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
Definicja 3.
Rzędem macierzy nazywamy maksymalną ilość kolumn liniowo
niezależnych (traktowanych jako wektory w przestrzeni )
A
n
K
n n
×
UWAGA
Maksymalna ilość kolumn i wierszy jest taka sama
WNIOSEK:
1) a)
A
b)
rz
=
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
2)
A
3) a)
macierze A,B są równoważne
⇔
{ }
: rz
min ,
n m
A
n
×
≤
rz
T
A
A
r
rz
f
M
f
=
⇒
= A
m
rz
rz
A
B
=
rz
rz
A
B
⇔
=
b)
macierze są podobne
,
A
B
4)
rząd macierzy nie zmieni się, jeżeli
n n
n n
×
×
a)
macierz pomnożymy przez
α
b)
zmienimy kolejność wierszy albo kolejność kolumn
0
≠
c)
do jednego wiersza albo kolumny dodamy kombinacją liniową
pozostałych
Przykład 3.
rz
rz
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
5
rz 2
1
1
4
rz 0
3
3
6
rz 0
3
3
6
1
1
2
1
0
3
3
6
0
0
0
0
2
A
A
=
−
=
−
−
− =
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Analiza ekon 08 w2 id 60028 Nieznany
ei 2005 07 08 s085 id 154185 Nieznany
08 Zakladanie i prowadzenie szk Nieznany
08 Zastosowanie programow kompu Nieznany (2)
09 08 Rozdzielnice budowlane RB Nieznany (2)
08 wprowadzenie do programowani Nieznany
ei 2005 07 08 s033 id 154176 Nieznany
2006 08 25 Ustawa o biokomponen Nieznany (2)
08 mleko i nabialid 7454 Nieznany (2)
08 Sporzadzanie ciasta mieszane Nieznany (3)
K 08 SLUP id 229567 Nieznany
08 Stosowanie narzedzi marketin Nieznany (2)
IS wyklad 03 16 10 08 MDW id 22 Nieznany
312[01] 08 122 Arkusz egzaminac Nieznany (2)
08 Predkosc deformacjiid 7486 Nieznany (2)
08 skrecanie przekroje wszystki Nieznany
08 Odno[nikiid 7271 Nieznany (2)
zarzadzanie zmiana testy zarzad Nieznany
08 badanie wytrzymalosci skrosn Nieznany
więcej podobnych podstron