Równanie ogólne płaszczyzny w E

3

.

Dane:

i

P

π

n

π

⊥

o

∈

n=[A,B,C]

P

0

(x

0

,y

0

,z

0

)

Wówczas:
P

0

P=[x-x

0

,y-y

0

,z-z

0

]

G

J

P

n

0

o

o

P P

n P P

π

∈ <=> ⊥

<=>

=

JJG

G JJJG

D

Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

A(x-x

0

)+B(y-y

0

)+C(z-z

0

)=0 (1’)

Ax+By+Cz+D=0

Przykład 1

E

3

y=x jest to równanie płaszczyzny π w E

3

π: x-y=0

]

0

,

1

,

1

[

v

n

−

=

⊥

Równanie parametryczne prostej w przestrzeni.

Dane:

i

P

π

n

o

∈

π

⊥

l

u=[a,b,c]

P

0

P

l

l: P=P

0

+tu ,t

∈R

l: (x,y,z)=(x

0

,y

0

,z

0

)+t[a,b,c] ,t

∈R











+

=

+

=

+

=

ct

z

z

bt

y

y

at

x

x

:

l

0

0

0

Powyższe postacie równania prostej w przestrzeni E

3

są równoważne.

Inne postacie równania prostej i płaszczyzny.

- równanie odcinkowe płaszczyzny

π: Ax+By+Cz+D=0

założenie: A

≠0, B≠0, C≠0, D≠0

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 1 z 10

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

Wówczas równanie ma postać:

1

=

−

+

−

+

−

C

D

B

D

A

D

z

y

x

Przyjmujemy:

C

D

B

D

A

D

c

b

a

−

=

−

=

−

=

,

,

Czyli:

1

=

+

+

c

z

b

y

a

x

(*)

y

x

z

b

a

c

(*) – Postać tą nazywamy
równaniem odcinkowym
płaszczyzny




- równanie krawędziowe prostej:

π

1

: A

1

x+B

1

y+C

1

z+D

1

=0

π

2

: A

2

x+B

2

y+C

2

z+D

2

=0

1

2

&

π

π

Jeśli:

to mamy równanie krawędziowe prostej. (Prosta jest

wyznaczona przez krawędź przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn)

Wniosek:

2

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

n

n

v

||

l

]

C

,

B

,

A

[

n

π

]

C

,

B

,

A

[

n

π

×

=

=

⊥

=

⊥

Aby znaleźć równanie prostej l należy (przyjmując dowolnie jedną z
niewiadomych) rozwiązać układ równań:







π

π

2

1

- postać kanoniczna równania prostej:

c

z

z

b

y

y

a

x

x

0

0

0

−

=

−

=

−

Aby przejść do równania parametrycznego należy przyrównać kolejne
składniki do parametru i wyznaczyć x, y, z.

Def. 1

Pęk płaszczyzn

1.

π

1

||

π

2

pękiem płaszczyzn nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn

równoległych do

π

1

(

π

2

).

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 2 z 10

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

2.

1

2

π

π

&

pękiem płaszczyzn nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn

przechodzących przez wspólną krawędź

π

1

i

π

2

.

Uwaga

Dla pęku płaszczyzn zachodzi:

Jeśli:

π

1

: A

1

x+b

1

y+C

1

z+D

1

=0

π

2

: A

2

x+B

2

y+C

2

z+D

2

=0

∀k

1

,k

2

∈R: k

1

(A

1

x+b

1

y+C

1

z+D

1

)+k

2

(A

2

x+B

2

y+C

2

z+D

2

)=0

Odległość punktu od płaszczyzny w E

3

.

. P(x

1

,y

1

,z

1

)

P

1

Dana jest płaszczyzna o równaniu ogólnym:

π: Ax+By+Cz+D=0

Wówczas odległość punktu P od płaszczyzny

π dana jest wzorem:

2

2

2

1

1

1

C

B

A

D

Cz

By

Ax

)

,

P

(

d

+

+

+

+

+

=

π

Wzajemne położenie prostych w przestrzeni E

3

.

Prosa l

1

dana jest równaniem

l

1

: (x,y,z)=(x

1

,y

1

,z

1

) + t[a

1

,b

1

,c

1

]

l

1

:

1

1

v

t

P

P

+

=

Prosta l

2

dana jest równaniem:

l

2

: (x,y,z)=(x

2

,y

2

,z

2

) + t[a

2

,b

2

,c

2

]

l

2

:

2

2

v

t

P

P

+

=

I. proste są równoległe

2

1

2

1

v

||

v

l

||

l

⇔

II. proste przecinają się

}

P

{

l

l

l

||

l

0

2

1

2

1

=

∩

∧

¬

Warunkiem aby proste przecinały się jest

1.

)

v

||

v

(

2

1

¬

2. układ równań



ma dokładnie jedno rozwiązanie





2

1

l

l

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 3 z 10

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

Interpretacja geometryczna:

l

2

l

1

v

2

P

1

P

2

v

1

Warunek, aby proste się przecinały ma postać:

0

P

P

)

v

v

2

1

2

1

=

×

D

(

III. Proste są skośne
Warunek, aby proste były skośne ma postać:

1.

)

v

||

v

(

2

1

¬

2. układ równań

jest sprzeczny







2

1

l

l

Geometrycznie warunek ten ma postać:

0

P

P

)

v

v

(

2

1

2

1

≠

×

D

Odległość prostych w przestrzeni E

3

.

Dane są proste l

1

,l

2

1. Jeśli

to odległość prostych l

2

1

l

||

l

1

i l

2

jest równa odległości

dowolnego punktu z jednej prostej od drugiej.

2. Jeśli proste są skośne to odległość między nimi jest równa długości

najkrótszego odcinka łączącego obie proste.

2

1

2

1

2

1

2

1

v

v

P

P

)

v

v

(

)

l

,

l

(

d

×

×

=

D

Przykład

Badamy wzajemne położenie prostych.











=

−

−

=

+

=

t

z

t

3

2

y

t

4

9

x

:

l

1











+

=

−

−

=

−

=

s

2

2

z

s

9

7

y

s

2

x

:

l

2

P

1

=(9,-2,0)

P

2

=(-2,-7,2)

]

1

,

3

,

4

[

v

||

l

1

1

−

=

]

2

,

9

,

2

[

v

||

l

2

2

−

=

czyli

1

2

||

v v

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 4 z 10

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

Rozwiązujemy układ równań:





















+

=

−

−

=

−

=

=

−

−

=

+

=

s

2

2

z

s

9

7

y

s

2

x

t

z

t

3

2

y

t

4

9

x











=

+

−

−

=

−

−

+

=

−

t

s

2

2

(**)

t

3

2

s

9

7

t

4

9

s

2







=

+

+

=

−

t

s

2

2

t

4

9

s

2







−

=

−

=

10

14

10

17

t

s

Sprawdzamy, czy ta para spełnia równanie (**)
-7-9s

≠ -2-3t

Wniosek: Proste są skośne.

Teraz znajdziemy równanie płaszczyzny

π, która zawiera prostą l

1

i do

której prosta l

2

jest równoległa.

π: l

1

⊂ π ∧ l

2

||

π

P

1

∈l

1

⇒ P

1

∈ π

P

1

=(9,-2,0)

∈ π

π

⊥

n

k

30

j

10

i

15

2

9

2

1

3

4

k

j

i

v

v

n

2

1

+

−

−

=

−

−

=

×

=

]

30

,

10

,

15

[

n

−

−

=

π: -15(x-9) – 10(y+2) + 30(z-0) = 0
π: -3x - 2y + 6z + 23 = 0

Wzajemne położenie płaszczyzn w przestrzeni E

3

.

Dane są trzy płaszczyzny

π

1

,

π

2

,

π

3

.

1. płaszczyzny przecinają się wzdłuż wspólnej prostej

⇔ układ

na nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego

parametru











π

π

π

3

2

1

2. płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie

⇔ układ





ma

dokładnie jedno rozwiązanie.







π

π

π

3

2

1

Powierzchnie stopnia drugiego w E

3

Równanie postaci:

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 5 z 10

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

0

c

z

b

y

b

x

b

yz

a

xz

a

2

xy

a

2

z

a

y

a

x

a

3

2

1

23

13

12

2

33

2

22

2

11

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

jest równaniem powierzchni stopnia drugiego (właściwej lub niewłaściwej).

Postacie kanoniczne krzywych drugiego stopnia różnych rodzajów.
I. rodzaj: powierzchnia elipsoidalna.

1

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

2

2

=

+

+

elipsoida obrotowa

II. rodzaj: powierzchnia hiperboloidalna

hiperboloida jednopowłokowa











−

=

−

+

1

0

1

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

2

2

stożek eliptyczny
hiperboloida dwupowłokowa

hiperboloida jednopowłokowa

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 6 z 10

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

stożek eliptyczny

hiperboloida dwupowłokowa

III. rodzaj: płaszczyzna paraboliczno – eliptyczna

paraboloida eliptyczna







=

+

1

z

2

b

y

a

x

2

2

2

2

walec eliptyczny

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 7 z 10

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

paraboloida eliptyczna

walec eliptyczny

IV. rodzaj: paraboloidalno – hiperboliczny

paraboloida hiperboliczna







±

=

−

1

z

2

b

y

a

x

2

2

2

2

walec hiperboliczny

paraboloida hiperboloidalna

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 8 z 10

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna

walec hiperboliczny

V. rodzaj: powierzchnia paraboloidalna

px

2

y

2

=

walec paraboliczny

walec paraboliczny

Uwaga

Równania postaci kanonicznych są wyznaczone tak, że osią symetrii jest
oś OZ a (jeśli istnieje) środkiem geometrycznym punktu (0,0,0)

FORMY KWADRATOWE

Def.

Formą kwadratową n zmiennych nazywamy odwzorowanie g, takie że:

g: R

n

→

R

∑

=

=

n

1

j

,

i

j

i

ij

n

2

1

x

x

a

)

x

,...,

x

,

x

(

g

a

ij

= a

ji

Macierzą formy kwadratowej nazywamy macierz A, taką że:

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 9 z 10

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna





















=

nn

1

n

n

1

11

a

a

a

a

A

"

"

"

"

"

Z warunku a

ij

= a

ji

wynika, że macierz A jest macierzą symetryczną, tzn.

A

T

=A.

Przykład

g(x

1

,x

2

,x

3

)=x

1

2

-2x

2

2

+3x

3

2

-4x

1

x

2

+5x

2

x

3

-x

1

x

3





















−

−

−

−

−

−

=

3

2

2

2

1

A

2

5

2

1

2

5

2

1

Postać kanoniczna formy kwadratowej.
Def.

Postać formy kwadratowej:

∑

=

=

n

1

i

2

i

i

n

2

1

)

'

x

(

a

)

'

x

,...,

'

x

,

'

x

(

g

, gdzie

∑

=

α

=

n

1

i

i

i

i

x

'

x

nazywamy postacią kanoniczną formy kwadrwtowej.]

Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej metodą
Lagrange’a.
Założenia

∑

=

=

n

1

j

,

i

j

i

ij

n

2

1

x

x

a

)

x

,...,

x

,

x

(

g

a

ii

≠ 0

Schemat metody jest następujący:

1. grupujemy wyrazy zawierające x

i

2. uzupełniamy do kwadratu

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 10 z 10

Część 15 – Euklid. przest. afiniczna